高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理（一）课件 北师大版必修2.ppt

4空间图形的基本关系与公理4 1空间图形基本关系的认识4 2空间图形的公理 一 学习目标1 理解空间中点 线 面的位置关系 重点 2 理解空间中平行直线 相交直线 异面直线 平行平面 相交平面等概念 重点 3 掌握三个公理及推论 并能运用它们去解决有关问题 重 难点 知识点一点 线 面之间的位置关系一些文字语言与数学符号的对应关系 a b o a a a a a 任何一个平面内 预习评价 1 若a a a 是否可以推出a 提示根据直线在平面内定义可知 若a a a 则a 2 长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪些位置关系 提示顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上 或不在棱上 顶点和6个面的关系是在面内 或在面外 3 长方体的棱所在直线与面之间有几种位置关系 提示棱在平面内 棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交 知识点二平面的基本性质及作用 两点 l 有且只有 通过这个点的公共直线 预习评价 1 两个平面的交线可能是一条线段吗 提示不可能 由公理3知 两个平面的交线是一条直线 2 经过空间任意三点能确定一个平面吗 提示不一定 只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面 题型一三种语言间的相互转化 例1 用符号语言表示下列语句 并画出图形 1 三个平面 相交于一点p 且平面 与平面 相交于pa 平面 与平面 相交于pb 平面 与平面 相交于pc 2 平面abd与平面bdc相交于bd 平面abc与平面adc相交于ac 解 1 符号语言表示 p pa pb pc 图形表示如图 2 符号语言表示 平面abd 平面bdc bd 平面abc 平面adc ac 图形表示如图 规律方法 1 用文字语言 符号语言表示一个图形时 首先仔细观察图形有几个平面 几条直线且相互之间的位置关系如何 试着用文字语言表示 再用符号语言表示 2 根据符号语言或文字语言画相应的图形时 要注意实线和虚线的区别 训练1 如图 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的位置关系 解在 1 中 l a a a b 在 2 中 l a b a l p b l p 题型二空间点 线 面的位置关系 例2 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ac与bd相交于点m 则下列说法中正确的是 点m在直线ac上 点b在直线a1b1外 直线ac与bd相交 直线ac与a1d1相交 平面aa1b1b与平面d1dcc1平行 直线ac与平面a1b1c1d1相交 直线bc与a1b1异面 a b c d 解析 中 点m是直线ac与bd的交点 点m在直线ac上 点b显然在直线a1b1外 故 正确 中 直线ac与a1d1异面 故 错误 中 两平面没有公共点 即互相平行 故 正确 中 直线ac与平面a1b1c1d1平行 故 错误 中 直线bc与a1b1既不平行也不相交 只能为异面 故 正确 答案c 规律方法 1 正确理解点 线 面之间的位置关系 2 异面直线是一种特殊的关系 它们不同在任何一个平面内 3 通过观察图形 能够更准确地判断点 线 面的位置关系 训练2 正方体abcd a1b1c1d1中 与对角线ac1异面的棱有 a 3条b 4条c 6条d 8条解析与ac1异面的棱是a1b1 dc bc a1d1 bb1 dd1 答案c 方向1共面问题 例3 1 已知 如图所示 l1 l2 a l2 l3 b l1 l3 c 求证 直线l1 l2 l3在同一平面内 证明方法一 纳入平面法 l1 l2 a l1和l2确定一个平面 l2 l3 b b l2 又 l2 b 同理可证c 又 b l3 c l3 l3 直线l1 l2 l3在同一平面内 方法二 辅助平面法 l1 l2 a l1 l2确定一个平面 l2 l3 b l2 l3确定一个平面 a l2 l2 a a l2 l2 a 同理可证b b c c 不共线的三个点a b c既在平面 内 又在平面 内 平面 和 重合 即直线l1 l2 l3在同一平面内 方向2点共线问题 例3 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点m n e f分别是棱cd ab dd1 aa1上的点 若mn与ef交于点q 求证 d a q三点共线 证明 mn ef q q 直线mn q 直线ef 又 m 直线cd n 直线ab cd 平面abcd ab 平面abcd m n 平面abcd mn 平面abcd q 平面abcd 同理 可得ef 平面add1a1 q 平面add1a1 又 平面abcd 平面add1a1 ad q 直线ad 即d a q三点共线 方向3线共点问题 例3 3 如图所示 在四面体a bcd中 e g分别为bc ab的中点 f在cd上 h在ad上 且有df fc dh ha 2 3 求证 ef gh bd交于一点 证明 e g分别为bc ab的中点 ge ac 又 df fc dh ha 2 3 fh ac 从而fh ge 故e f h g四点共面 fh ac dh da 2 5 fh ac 2 5 即fh ac 又 e g分别为bc ab的中点 ge ac fh ge 四边形efhg是一个梯形 gh和ef交于一点 设为o o gh gh 平面abd o ef ef 平面bcd o在平面abd内 又在平面bcd内 o在这两个平面的交线上 而这两个平面的交线是bd 且交线只有这一条 点o在直线bd上 故ef gh bd交于一点 规律方法 1 证明点 线共面问题 一般先由部分点线确定一个平面 再证其他的点和线在所确定的平面内 2 证明点共线 证明多点共线通常利用公理3 即两相交平面交线的唯一性 通过证明点分别在两个平面内 证明点在相交平面的交线上 也可选择其中两点确定一条直线 然后证明其他点也在其上 3 证明三线共点 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线 然后再证两条直线的交点在此直线上 此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线 证明该交线与另两条直线分别交于两点 再证点重合 从而得三线共点 课堂达标1 在下列各种面中 不能被认为是平面的一部分的是 a 黑板面b 乒乓球桌面c 篮球的表面d 平静的水面解析平面的各部分都是 平 的 那么不能作为平面的部分只能是 曲 的 所以黑板面 乒乓球桌面和平静的水面均可作为平面的一部分 而篮球的表面是一个曲面 不能作为平面的一部分 答案c 2 若点m在直线a上 a在平面 内 则m a 之间的关系可记为 a m a a b m a a c m a a d m a a 解析点与直线的关系为元素与集合的关系 能用 直线与平面的关系为集合间的关系 不能用 答案b 3 设平面 与平面 相交于l 直线a 直线b a b m 则m l 解析因为a b m a b 所以m m 又因为 l 所以m l 答案 4 如图 已知d e是 abc的边ac bc上的点 平面 经过d e两点 若直线ab与平面 的交点是p 则点p与直线de的位置关系是 解析因为p ab ab 平面abc 所以p 平面abc 又p 平面abc 平面 de 所以p 直线de 答案p 直线de 5 已知a b c l a a l b b l c c 求证 a b c和l共面 证明如图 a b a与b确定一个平面 l a a l b b a b 又 a l b l l b c b与c确定一个平面 同理l 平面 与 都包含l和b 且b l b 由公理2的推论 经过两条相交直线有且只有一个平面 平面 与平面 重合 a b c和l共面 课堂小结1 三个公理的作用 公理1 判定直线在平面内的依据 公理2 判定点共面 线共面的依据 公理3 判定点共线 线共点的依据 2 证明几点共线的方法 先考虑两个平面的交线 再证有关的点都是这两个平面的公共点 或先由某两点作一直线 再证明其