山东省泰安宁阳实验中学九年级数学《2.4二次函数表示方法》练习题（无答案） 北师大版.doc

山东省泰安宁阳实验中学九年级数学2.4二次函数表示方法北师大版通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yabxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)。除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示。为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yabxc(a0)的图象与x轴交点个数。当抛物线yabxc(a0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有abxc0。 ，并且方程的解就是抛物线yabxc(a0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线yabxc(a0)与x轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac有关，由此可知，抛物线yabxc(a0)与x轴交点个数与根的判别式b24ac存在下列关系：（1）当0时，抛物线yabxc(a0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线yabxc(a0)与x轴有两个交点，则0也成立。（2）当0时，抛物线yabxc(a0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线yabxc(a0)与x轴有一个交点，则0也成立。（3）当0时，抛物线yabxc(a0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线yabxc(a0)与x轴没有交点，则0也成立。于是，若抛物线yabxc(a0)与x轴有两个交点a(x1，0)，b(x2，0)，则x1，x2是方程abxc0的两根，所以x1x2，x1x2，即(x1x2)， x1x2。所以，yabxca()= a(x1x2)xx1x2a(xx1)(xx2)。 由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于a(x1，0)，b(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1)(xx2)(a0)。这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标。今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题。例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式。分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a。解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2。又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1。顶点坐标是（1，2）。设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2。二次函数解析式为，即y2x28x7。说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题。因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题。例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式。分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式。解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3)(x1)(a0)，展开，得：ya2ax3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a。所以，二次函数的表达式为y，或y。分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式。解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1。又顶点到x轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或2。于是可设二次函数为ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22。a，或a。所以，所求的二次函数为y(x1)22，或y(x1)22。说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题。例3已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式。解：设二次函数为。由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得，解得故所求二次函数为y2x212x8。通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1.选择题:（1）函数yx2x1图象与x轴的交点个数是（ ）（a）0个 （b）1个 （c）2个 （d）无法确定（2）函数y(x1)22的顶点坐标是（ ）（a）(1，2) （b）(1，2) （c）(1，2) （d）(1，2)2.填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为ya (a0) 。（2）二次函数yx2+2x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 。3.据下