【备战】历高考数学真题汇编专题7 平面向量 理（2000）.doc

【2006高考试题】一、选择题（共28题）1（安徽卷）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则a和都是锐角三角形b和都是钝角三角形c是钝角三角形，是锐角三角形d是锐角三角形，是钝角三角形2（北京卷）若与都是非零向量，则“”是“”的（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充分必要条件 （d）既不充分也不必要条件3（福建卷）已知=1，=,=0,点c在aob内，且aoc=30，设=m+n(m、nr)，则等于a. b.3 c. d. 4（福建卷）已知向量与的夹角为，则等于（a）5（b）4（c）3（d）1图1解析：向量与的夹角为， ， ，则=1(舍去)或=4，选b.5（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量a. b. c. d. 解析：，故选a.6（湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则a（） b（） c（） d（）7（湖北卷）已知非零向量a、b，若a2b与a2b互相垂直，则a. b. 4 c. d. 2解：由a2b与a2b互相垂直（a2b）（a2b）0a24b20即|a|24|b|2|a|2|b|，故选d8（湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )a.0, b. c. d.9（湖南卷）已知向量若时，；时，则 a b. c. d. 10（湖南卷）如图1：omab，点p由射线om、线段ob及ab的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是abom图1ab. c. d. 解析：如图，omab，点p由射线om、线段ob及ab的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，由图知，x0，当x=时，即=，p点在线段de上，=，=，而， 选c.11（辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(a) (b) (c) (d) 12（辽宁卷）设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是(a) (b) (c) (d) 【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.13（辽宁卷）已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是（） 解：依题意，结合图形可得，故，选d14（全国卷i）的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则a b c d15（全国卷i）设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则a b c d16（全国卷i）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为a b c d解：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为，选b.17（全国卷i）已知向量满足，且，则与的夹角为a b c d18（全国ii）已知向量（4，2），向量（，3），且/,则 （a）9 (b)6 (c)5 (d)3解：/432x0，解得x6，选b19（山东卷）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c,a=,a=,b=1，则c=1 （b）2 （c）1 （d）20（山东卷）设向量a=(1, 2),b=(2,4),c=(1,2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(a)(2,6) (b)(2,6) (c)(2,6) (d)(2,6)解：设d（x，y），因为4a（4，12），4b2c（6，20），2(ac)（4，2），依题意，有4a（4b2c）2(ac)d0，解得x2，y6，选d21（山东卷）设向量a=(1,3),b=(2,4),若表示向量4a、3b2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(a)（1，1） (b)（1， 1） (c) （4，6） (d) （4，6）解：4a（4，12），3b2a（8，18），设向量c（x，y），依题意，得4a（3b2a）c0，所以48x0，1218y0，解得x4，y6，选d22(陕西卷) 已知非零向量与满足(+)=0且= , 则abc为( )a.三边均不相等的三角形 b.直角三角形 c.等腰非等边三角形 d.等边三角形23(上海卷)如图，在平行四边形abcd中，下列结论中错误的是 （ ）abcd（a）； （b）；（c）； （d）解：由向量定义易得， （c）选项错误；24（四川卷）如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（a） （b） （c） （d）25（四川卷）设分别是的三个内角所对的边，则是的（a）充要条件 （b）充分而不必要条件（c）必要而充分条件 （d）既不充分又不必要条件26（浙江卷）设向量满足,则 (a)1 (b)2 (c)4 (d)527(重庆卷)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是(a) (b) 或（c） （d）或解析：与向量的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则，解得或，选b. 28(重庆卷)已知三点，其中为常数。若，则与的夹角为（a） （b）或 （c） （d）或二、填空题（共15题）29（安徽卷）在中，m为bc的中点，则_。（用表示）解：，所以。30.（北京卷）若三点共线，则的值等于_.31（北京卷）在中，若，则的大小是_.解： a:b:c5:7:8设a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小为.32.（北京卷）若三点a(2，2)，b(a,0),c(0,4)共线，则a的值等于 。解：（a2，2），（2，2），依题意，向量 与共线，故有2（a2）40，得a433.（北京卷）在abc中，a，b，c所对的边长分别为a,b,c.若sinasinbsinc=578,则abc= , b的大小是 .34（北京卷）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 . 35.（湖北卷）在abc中，已知，b4，a30，则sinb .解：由正弦定理易得结论sinb。aompb图236.（湖南卷）如图2,omab,点p在由射线om、线段ob及ab的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;当时,的取值范围是 . 解析:如图, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且，由向量加法的平行四边形法则，op为平行四边形的对角线，该四边形应是以ob和oa的反向延长线为两邻边， 的取值范围是(，0)； 当时，要使p点落在指定区域内，即p点应落在de上，cd=ob，ce=ob， 的取值范围是(，).37.（江苏卷）在abc中，已知bc12，a60，b45，则ac38.（江西卷）已知向量，则的最大值为解：|sinqcosq|sin（q）|。39.（全国ii）已知abc的三个内角a、b、c成等差数列，且ab1，bc4，则边bc上的中线ad的长为 解析: 由的三个内角a、b、c成等差数列可得a+c=2b而a+b+c=可得ad为边bc上的中线可知bd=2,由余弦定理定理可得。本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。40.（天津卷）设向量与的夹角为，则解析：设向量与的夹角为且 ，则。41.（浙江卷）设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab,若a=1,则a+c的值是【考点分析】本题考查向量的代数运算，基础题。解析：，所以【名师点拔】向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想。42.（上海春）在中，已知，三角形面积为12，则 .43.（上海春）若向量的夹角为，则 .三、解答题（共11题）44.（湖北卷）设函数，其中向量，。（）、求函数的最大值和最小正周期；（）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。45.（湖北卷）设向量a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，xr，函数f(x)a(ab).（）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（）求使不等式f(x)成立的x的取值集。解：（） 的最大值为，最小正周期是。（）由（）知 即成立的的取值集合是.bdca图346 （湖南卷）如图3,d是直角abc斜边bc上一点,ab=ad,记cad=,abc=.证明 ;若ac=dc,求的值.解：(1)如图3， 即47（江西卷）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）因为锐角abc中，abcp，所以cosa，则（2），则bc3。将a2，cosa，c代入余弦定理：中得解得b 48.（江西卷）如图，已知abc是边长为1的正三角形，m、n分别是边ab、ac上的点，线段mn经过abc的中心g，设mgaa（）试将agm、agn的面积（分别记为s1与s2）表示为a的函数（2）求y的最大值与最小值因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240当a时，y取得最小值ymin21649.（全国卷i）的三个内角为，求当a为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。.解: 由a+b+c=, 得 = , 所以有cos =sin .cosa+2cos =cosa+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 当sin = , 即a=时, cosa+2cos取得最大值为50.（全国ii）已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大51.（全国ii）在,求（1）(2)若点解：（1）由,由正弦定理知（2）由余弦定理知52. （四川卷）已知是三角形三内角，向量，且（）求角；（）若，求tanc.（）由题知，整理得 或而使，舍去 53（四川卷）已知a、b、c是三内角，向量且（）求角a（）若求tanb.本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。（）由题知，整理得 或,而使，舍去54.（天津卷）如图，在中，（1）求的值；（2）求的值. 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解决问题的能力.满分12分.（）解： 由余弦定理， 那么，55(上海卷)如图，当甲船位于a处时获悉，在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？解 连接bc,由余弦定理得bc2=202+10222010cos120=700. 于是,bc=10. , sinacb=, acb90 acb=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往b处救援.【2005高考试题】1.（全国卷）的外接圆的圆心为o，两条边上的高的交点为h，则实数m = 1 2（全国卷）已知点a（，1），b（0，0）c（，0）.设bac的平分线ae与bc相交于e，那么有等于（ c ）a2bc3d3（全国卷）点p在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，3）（即点p的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点p的坐标为（10，10），则5秒后点p的坐标为（ c ）a（2，4）b（30，25）c（10，5）d（5，10）4. （全国卷iii）已知向量，且a、b、c三点共线，则k=5.（北京卷）若，且，则向量与的夹角为(c ) （a）30 （b）60 （c）120 （d）1506.（上海卷）直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点p的轨迹方程是x+2y-4=0 _。7.（天津卷）在直角坐标系xoy中，已知点a(0,1)和点b(-3,4)，若点c在aob的平分线上且| |=2,则=8.（福建卷）在abc中，c=90，则k的值是（ d ）a5b5cd9.（广东卷）已知向量，且，则x为_4_10.（湖北卷）已知向量不超过5，则k的取值范围是 6，211.（江苏卷）在中，o为中线am上一个动点，若am=2，则的最小值是_-2_。12.（江西卷）已知向量（ c ）a30b60c120d15015. （全国i）点o是三角形abc所在平面内的一点，满足，则点o是的（b）（a）三个内角的角平分线的交点（b）三条边的垂直平分线的交点（c）三条中线的交点（d）三条高的交点16.(湖南)p是abc所在平面上一点，若，则p是abc的（d）a外心b内心c重心d垂心【2004高考试题】一）选择题1(2004.全国理)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b|=（c ）abcd43（2004. 福建理）已知a、b是非零向量且满足(a2b) a，(b2a) b，则a与b的夹角是（ b ）a b c d4（2004. 重庆理）若向量的夹角为，,则向量的模为（ c ） a2 b4 c6 d125、(2004. 四川理）已知平面上直线l的方向向量e=(-)，点o(0,0)和点a(1,-2)在l上的射影分别为和，则e，其中=（ d ）a b - c 2 d -26（04. 上海春季高考）在中，有命题；若，则为等腰三角形；若，则为锐角三角形.上述命题正确的是 （ c ）（a） （b） （c） （d）10、（2004.上海理）已知点a(1, 2),若向量与=2,3同向, =2,则点b的坐标为 (5,4) .三）解答题11（2004.湖北理）（本小题满分12分）如图，在rtabc中，已知bc=a，若长为2a的线段pq以点a为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.11本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.解法二：以直角顶点a为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.12. （04. 上海春季高考）（本题满分12分） 在直角坐标系中，已知点和点，其中. 若向量与垂直，求的值.12. 由，得，利用，化简后得，于是或，.【2003高考试题】一、选择题3.（2001江西、山西、天津文）若向量a=（3，2），b=（0，1），则向量2ba的坐标是（ ）a.（3，4） b.（3，4） c.（3，4） d.（3，4）4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为o，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于a、b两点，则等于（ ）a. b. c.3 d.35.（2001上海）如图51，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若=a，=b，=c.则下列向量中与相等的向量是（ ）图51a.a+b+cb. a+b+cc. ab+cd.ab+c7.(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（ab）c（ca）b=0 |a|b|ab| （bc）a（ca）b不与c垂直（3a+2b）（3a2b）=9|a|24|b|2中，是真命题的有（ ）a. b. c. d.8.（1997全国，5）如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率为（ ）a. b.3 c. d.3二、填空题9.（2002上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120，且|a|=2，|b|=5，则（2ab）a=_.10.（2001上海春，8）若非零向量、满足|+|=|，则与所成角的大小为_.11.（2000上海，1）已知向量=（1，2），=（3，m），若，则m= .12.（1999上海理，8）若将向量a=（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为_.13.（1997上海，14）设a=（m+1）i3j，b=i+（m1）j，（a+b）（ab），则m=_.14.（1996上海，15）已知a+b=2i8j，ab=8i+16j，那么ab=_.15.（1996上海，15）已知o（0，0）和a（6，3）两点，若点p在直线oa上，且，又p是线段ob的中点，则点b的坐标是_.三、解答题18.（2002上海，17）如图54，在直三棱柱aboabo中，oo=4，oa=4，ob=3，aob=90，d是线段ab的中点，p是侧棱bb上的一点，若opbd，求op与底面aob所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）图53 图54 图5521.（2001江西、山西、天津理）如图56，以正四棱锥vabcd底面中心o为坐标原点建立空间直角坐标系oxyz，其中oxbc，oyab，e为vc的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.（1）求cos；（2）记面bcv为，面dcv为，若bed是二面角vc的平面角，求bed.图56 图57 图5822.（2001上海春）在长方体abcda1b1c1d1中，点e、f分别在bb1、dd1上，且aea1b，afa1d.（1）求证：a1c平面aef；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.试根据上述定理，在ab=4，ad=3，aa1=5时，求平面aef与平面d1b1bd所成角的大小.（用反三角函数值表示）（ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（）的绝对值的值；说明其与四棱锥pabcd体积的关系，并由此猜想向量这一运算（）的绝对值的几何意义.25.（2000上海，18）如图59所示四面体abcd中，ab、bc、bd两两互相垂直，且ab=bc=2，e是ac中点，异面直线ad与be所成的角的大小为arccos，求四面体abcd的体积.图59 图510 图51126.（2000天津、江西、山西）如图510所示，直三棱柱abca1b1c1中，ca=cb=1，bca=90，棱aa1=2，m、n分别是a1b1、a1a的中点.（1）求的长；（2）求cos的值；（3）求证：a1bc1m.图51228.（1999上海，20）如图512，在四棱锥pabcd中，底面abcd是一直角梯形，bad=90，adbc，ab=bc=a，ad=2a，且pa底面abcd，pd与底面成30角.（1）若aepd，e为垂足，求证：bepd；（2）求异面直线ae与cd所成角的大小.图51329.（1995上海，21）如图513在空间直角坐标系中bc=2，原点o是bc的中点，点a的坐标是（，0），点d在平面yoz上，且bdc=90，dcb=30.（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为，求cos的值.答案解析3.答案：d解析：设（x，y）=2ba=2（0，1）（3，2）=（3，4）.评述：考查向量的坐标表示法.4.答案：b5.答案：a解析：=c+（a+b）=a+b+c评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.6.答案：b解析：设c=ma+nb，则（1，2）=m（1，1）+n（1，1）=（m+n，mn）. 评述：本题考查平面向量的表示及运算.7.答案：d解析：平面向量的数量积不满足结合律.故假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|ab|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（bc）a（ca）bc=（bc）ac（ca）bc=0，所以垂直.故假；（3a+2b）（3a2b）=9aa4bb=9|a|24|b|2成立.故真.评述：本题考查平面向量的数量积及运算律.8.答案：a解析：设直线l的方程为y=kx+b（此题k必存在），则直线向左平移3个单位，向上平移1个单位后，直线方程应为y=k（x+3）+b+1即y=kx+3k+b+1因为此直线与原直线重合，所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1=b.k=.评述：本题考查平移变换与函数解析式的相互关系.9.答案：13解析：（2ab）a=2a2ba=2|a|2|a|b|cos120=2425（）=13.评述：本题考查向量的运算关系.11.答案：4解析：=1，2，=3，m，=4，m2，又，14+2（m2）=0，m=4.评述：本题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件.12.答案：（）解析：设a=2+i，b=，由已知、的夹角为，由复数乘法的几何意义，得=（cos+isin）=（2+i）.b=（）评述：本题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法，以及运用数学知识解决问题的能力.14.答案：63解析：解方程组a=3i+4j=（3，4）b=5i12j=（5，12）得ab=（3）5+4（12）=63.评述：本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法.15.答案：（4，2）解析：设p（x，y），由定比分点公式，则p（2，1），又由中点坐标公式，可得b（4，2）.coab，平面abc平面abb1a1，co平面abb1a1，即ca1o为直线ca1与平面a1abb1所成的角.在rtca1o中，co=m，ca1=，sinca1o=，即ca1o=45.图51517.解：（1）取ob的中点d，连结o1d，则o1dob.平面obb1o1平面oab，o1d平面oab. 过d作ab的垂线，垂足为e，连结o1e.则o1eab.deo1为二面角o1abo的平面角.由题设得o1d=，sinoba=，de=dbsinoba=在rto1de中，tandeo1=，deo1=arctan，即二面角o1abo的大小为arctan.18.解法一：如图516，以o点为原点建立空间直角坐标系.图516由题意，有b（3，0，0），d（，2，4），设p（3，0，z），则=，2，4，=3，0，z.bdop，=+4z=0，z=.bb平面aob，pob是op与底面aob所成的角.tanpob=，pob=arctan.（以下同解法一）图51819.解：（1）如图518，以点a为坐标原点o，以ab所在直线为oy轴，以aa1所在直线为oz轴，以经过原点且与平面abb1a1垂直的直线为ox轴，建立空间直角坐标系.由已知，得a（0，0，0），b（0，a，0），a1（0，0， a），c1（）.（2）坐标系如图，取a1b1的中点m，于是有m（0， a），连am，mc1有=（a，0，0），且=（0，a，0），=（0，0， a）由于=0，=0，所以mc1面abb1a1.ac1与am所成的角就是ac1与侧面abb1a1所成的角.=（），=（0，a），20.解：（1）记p（x，y），由m（1，0），n（1，0）得=（1x，y），=（1x，y），=（2，0）=2（1+x），=x2+y21，=2（1x）.于是，是公差小于零的等差数列等价于 即所以，点p的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.（2）点p的坐标为（x0，y0）.=x02+y021=2.|=.cos=（2）若bed是二面角vc的平面角，则，则有0.又由c（a，a，0），v（0，0，h），有（a，a，h）且，.即ha，这时有cos，bedarccos（）arccos评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.如图519建立直角坐标系，则得点a（0，0，0），g（，3，0），a1（0，0，5），c（4，3，0）.ag=，3，0，a1c=4，3，5.因为ag与a1c所成的角为，所以cos=.由定理知，平面aef与平面d1b1bd所成角的大小为arccos.注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：设ag与bd交于m，则am面bb1d1d，再作anef交ef于n，连接mn，则anm即为面aef与d1b1bd所成的角，用平面几何的知识可求出am、an的长度.解法二：用面积射影定理cos=.评述：立体几何考查的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.因此，三棱锥bbef的体积取得最大值时be=bf=，过b作bdef于d，连bd，可知bdef.bdb是二面角befb的平面角在直角三角形bef中，直角边be=bf=，bd是斜边上的高.bd=a.tanbdb=故二面角befb的大小为arctan2.评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值