【备战】历高考数学真题汇编专题13 统计 理（2000）.doc

【2006高考试题】20（四川卷）设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4。（1，2，3，4）。又的数学期望，则 ;22（安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。（）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）解：（）123456789p（）27（广东卷）某运动员射击一次所得环数的分布如下：6789100现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为. (i)求该运动员两次都命中7环的概率(ii)求的分布列28（湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。31（江西卷）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：（1）x的分布列 （2）x的的数学期望解:(1)的所有可能的取值为0,10,20,50,60.33（辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(i) 求、的概率分布和数学期望、;(ii) 当时,求的取值范围.【解析】(i)解法1: 的概率分布为1.21.181.17pe=1.2+1.18+1.17=1.18.由题设得,则的概率分布为012p故的概率分布为1.31.250.2p所以的数学期望为e=+=.解法2: 的概率分布为1.21.181.17pe=1.2+1.18+1.17=1.18.设表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则p(=0)= ;p(=1)=;p(=2)=故的概率分布为1.31.250.2p所以的数学期望为e=+=.35（全国卷i）a、b是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用a，另2只服用b，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用a有效的小白鼠的只数比服用b有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用a有效的概率为，服用b有效的概率为。（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。解: (1)设ai表示事件“一个试验组中，服用a有效的小鼠有i只 , i=0,1,2,bi表示事件“一个试验组中，服用b有效的小鼠有i只 , i=0,1,2, 依题意有: p(a1)=2 = , p(a2)= = . p(b0)= = , p(b1)=2 = , 所求概率为: p=p(b0a1)+p(b0a2)+p(b1a2)= + + = ()的可能值为0,1,2,3且b(3,) . p(=0)=()3= , p(=1)=c31()2=,p(=2)=c32()2 = , p(=3)=( )3= 0123p的分布列为: 37（全国ii）某批产品成箱包装，每箱5件一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品（）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率 所以的分布列为0123p的数学期望e()= (2)p()=本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大39（山东卷）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布和数学期望；(3)计分介于20分到40分之间的概率. 解：（i）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则所以随机变量的概率分布为2345因此的数学期望为（）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则41(陕西卷)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .()现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;()用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望e.解: ()记甲投篮1次投进为事件a1 ， 乙投篮1次投进为事件a2 ， 丙投篮1次投进为事件a3， 3人都没有投进为事件a 则 p(a1)= ， p(a2)= ， p(a3)= ， p(a) = p(.)=p()p()p() = 1p(a1) 1p (a2) 1p (a3)=(1)(1)(1)=3人都没有投进的概率为 ()解法一: 随机变量的可能值有0，1，2，3)， b(3， )， p(=k)=c3k()k()3k (k=0，1，2，3) ， e=np = 3 = 解法二: 的概率分布为: 0123pe=0+1+2+3= 44（天津卷）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，及分析和解决实际问题的能力.所以，的分布列为：34kp47(重庆卷)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：（）随机变量的分布列；（）随机变量的期望.【2005高考试题】2.(全国卷)9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列并求的数学期望。（精确到）20本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为所以甲坑不需要补种的概率为 3个坑都不需要补种的概率恰有1个坑需要补种的概率为恰有2个坑需要补种的概率为3个坑都需要补种的概率为补种费用的分布为0102030p0.6700.2870.0410.002的数学期望为3.（全国卷）（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001） 所以的概率分布表如下 3 4 5 0.28 0.3744 0.3456所以的数学期望是e=30.28+40.3744+50.3456=4.0656 6.（北京卷）（i）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望e； （ii）求乙至多击中目标2次的概率； （iii）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率（17）（共13分） 9.（福建卷）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望；（）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 解：（）依题意，记“甲投一次命中”为事件a，“乙投一次命中”为事件b，则 甲、乙两人得分之和的可能取值为0、1、2，则概率分布为：012p e=0+1+2=10.（广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为：现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次以表示取球结束时已取到白球的次数（）求的分布列；（）求的数学期望解：(i)的可能取值为：0,1,2,n的分布列为012n-1np(ii) 的数学希望为(1)(2)(2)得12.（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.李明实际参加考试次数的分布列为1234p0.60.280.0960.024的期望e=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544.李明在一年内领到驾照的概率为1(10.6)(10.7)(1-0.8)(10.9)=0.9976.13.（湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求的分布及数学期望；（）记“函数f(x)x23x1在区间2，上单调递增”为事件a，求事件a的概率.1 3 p0.760.24p（=1）=10.24=0.76.所以的分布列为e=10.76+30.24=1.48.（）解法一 因为所以函数上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而解法二：的可能取值为1，3.当=1时，函数上单调递增，当=3时，函数上不单调递增.0所以15.（江西卷）a、b两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时a赢得b一张卡片，否则b赢得a一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求的取值范围；（2）求的数学期望e.17（辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有a、b两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为a级时，产品为一等品，其余均为二等品. （）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为a级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率p甲、p乙； （）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（i）的条件下，求、的分布列及e、e； （）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（ii）的条件下，x、y为何值时，最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示）（）解：2分52.5p0.680.322.51.5p0.60.4（）解：随机变量、的分别列是 6分19（浙江卷）袋子a和b中装有若干个均匀的红球和白球，从a中摸出一个红球的概率是，从b中摸出一个红球的概率为p () 从a中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望e () 若a、b两个袋子中的球数之比为12，将a、b中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值随机变量的分布列是0123的数学期望是（ii） 设袋子a有m个球，则袋子b中有2m个球。由得21.(山东)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.（i）求袋中所有的白球的个数；（ii）求随机变量的概率分布；（iii）求甲取到白球的概率.所以的分布列为:12345(iii)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则【2004高考试题】 1（全国1）一接待中心有a、b、c、d四部热线电话，已知某一时刻电话a、b占线的概率均为0.5，电话c、d占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有部电话占线.试求随机变量的概率分布和它的期望.解：p(=0)=0.520.62=0.09. p(=1)= 0.520.62+ 0.520.40.6=0.3 p(=2)= 0.520.62+0.520.40.6+ 0.520.42=0.37. p(=3)= 0.520.40.6+0.520.42=0.2 p(=4)= 0.520.42=0.04于是得到随机变量的概率分布列为：01234p0.090.30.370.20.04所以e=00.09+10.3+20.37+30.2+40.04=1.8.2（湖南）同时抛物线两枚相同的均匀硬币，随机变量=1表示结果中有正面向上，=0表示结果中没有正面向上，则e= 0.75 .3. （天津） 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数 （1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数”的概率解析： （1）解：可能取的值为0，1，2 所以，的分布列为012p（2）解：由（1），的数学期望为（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为【2003高考试题】1.（2003京春理，9）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）a.42 b.30 c.20 d.122.（2003京春文，10）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）a.6 b.12 c.15 d.303.（2002京皖春理，6）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）a.280种 b.240种 c.180种 d.96种4.（2002京皖春文，6）若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有（ ）a.180种 b.360种 c.15种 d.30种 7.（2002全国文，12、理，11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）a.8种 b.12种 c.16种 d.20种8.（2002北京文，9）5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（ ）a.480 b.240 c.120 d.969.（2002北京理，9）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）a.种 b.3种 c.种 d.种10.（2001京皖春，3）等于（ ）a.0 b.2 c. d.11.（2001天津理，9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）a.3种 b.4种 c.5种 d.6种12.（2000京皖春，8）从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“u”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ）a.120个 b.480个 c.720个 d.840个14.（1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）a.5种 b.6种 c.7种 d.8种15.（1998全国理，11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有（ ）a.90种 b.180种 c.270种 d.540种16.（1997全国理，15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）a.150种 b.147种 c.144种 d.141种17.（1997全国文）四面体的一个顶点为a，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点a在同一平面上，不同的取法有（ ）a.30种 b.33种 c.36种 d.39种18.（1996全国文）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）a.720种 b.360种 c.240种 d.120种19.（1995全国文15，理13）用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）a.24个 b.30个 c.40个 d.60个21.（1994全国，10）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）a.1260种 b.2025种 c. 2520种 d.5040种22.（1994上海，18）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不