圆锥曲线中最值问题的求解策略.doc

圆锥曲线中最值问题的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从四个方面予以阐述。一、求点的坐标的最值例1.定长为l(l)的线段AB的端点在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为A、B、C、D、FAABB MM Oy解析：如图，作出双曲线的右准线，过A，B作AA、BB垂直于准线，垂足为A，B。又过AB的中点M作MM垂直于准线，垂足为M，则求M点横坐标的最小值，实质上是求线段|MM|的最小值.因为|MM|=(|AA|+|BB|)， 据双曲线的第二定义：=e,可得|AA|=|AF|，|BB|=|BF|，将此二式代入，结合三角形两边之和大于第三边可得：|MM|=(|AF|+|BF|)|AB|，当且仅当A、F、B三点共线时，即AB过焦点F时，有|AF|+|BF|=|AB|。即|MM|min=|AB|=，此时x=.故x=+. 选(D)评注：求解本题的关键是审题时对双曲线定义及平几知识的把握和应用。二、求两条线段的和的最值MFxF OyB例2.点M和F分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B(2,2).求|MF|+|MB|的最小值.求|MF|+|MB|的最小值.解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F(-4,0)，离心率e=，准线方程x=.FxOyBMH|MF| + |MB| = 10|MF | + |MB| =10（|MF|MB|）10|FB|. 当M，B，F三点共线时，|MF|MB|取最大值|FB|.此时|MF|+|MB|10|FB|=102.过动点M作右准线x=的垂线，垂足为H，则.于是|MF|+|MB|=|MH|+|MB|HB|=.可见，当且仅当点B、M、H共线时，|MF|+|MB|取最小值.评注：从椭圆的两个等价定义出发，再将问题转化为平几中的问题：三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。是解决此类问题的常见思路。三、求面积的最值ABOPxy例3.如图，A、B、P(2,4)是抛物线y=x2+6上的点，且直线PA、PB的倾斜角互补，若直线AB在y轴上的截距为正，求APB面积的最大值.解析：设A(x1,y1), B(x2,y2)，则 得y14=(x1+2)(x12)kPA=(x1+2)；得y24=(x2+2)(x22)kPB=(x2+2) .直线PA与PB的倾斜角互补，kPAkPB=（x1+x2+4）=0x1+x2=4.得y1y2=(x1+x2)(x1x2)，kAB(x1+x2)=2.设直线AB为y=2x+b(b0)，代入y=x2+6，得x2+4x+2b12=0.|AB|=又P(2,4)到直线AB：2xy+b=0的距离为，SABC=d|AB|=b=.当且仅当b=时，SABC取到最大值.评注：本题关键是用“点差法”求得kAB，在求SABC最大值时应注意基本不等式的合理应用。四、求最值条件下的曲线方程例4.已知椭圆的焦点F1(3,0)、F2(3,0)且与直线xy+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.解法1：设椭圆为=1与直线方程xy+9=0联立并消去y得：(2 a2 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2a4= 0， 由题设=(18 a2)24(2 a29) (90 a2a4) 0a454 a2 + 405 0a245或a29.a29 0, a245, 故amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆方程为.解法2：设椭圆=1与直线xy+9=0的公共点为M(acos,)，则acos+9=0有解.=9cos(+)=，|19a245, amin=3，得（2a）min=6,MF2xF1 1OyF此时椭圆的方程.解法3：先求得F1(3，0)关于直线xy+9=0的对称点F(9,6)，设直线F1F2与椭圆的交点为M，则2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6，于是(2a)min=6,易得a2=45,b2=36， 此时椭圆的方程为.评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线中的最值问题，必须在熟练并准确地掌握圆锥曲线的定