【备战】高考数学 高频考点归类分析 应用单调性等性质求最值（真题为例）.doc

应用单调性等性质求最值典型例题： 例1. （2012年四川省理12分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（）求，的值；（）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。【答案】解：（）取n=1，得 取n=2，得 由，得 （1）若=0, 由知=0。 （2）若，则, 由得：。（）当时，由（i）知，。当时，有 ， ，即=。 令，则 数列是以为公差，且单调递减的等差数列。b1b2b3b7=；当n8时，bnb8=。n=7时，取得最大值，且的最大值为=。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，方程、分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（）取n=1和n=2可得关于，的方程，解之即得。 （）作差求得，代入，根据对数的性质求解。例2. （2012年湖南省文5分）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.中国教#*育&出版网（1）b2+b4+b6+b8=.；（2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是.【答案】（1）3；（2）2。【考点】数列问题。【解析】（1）观察知；依次类推；，；b2+b4+b6+b8=。（2）由（1）知cm的最大值为。例3. （2012年四川省文12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。（）求数列的通项公式；（）设，当为何值时，数列的前项和最大？【答案】解：（）取n=1，得，。 若=0，则=0, 当n时，。 若，则，有当n时，两个相减得：，。数列公比是2的等比数列。综上所述，若=0, 则 ；若，则。（）当且时，令，则。 是单调递减的等差数列（公差为lg2） 则 b1b2b3b6=；当n7时，bnb7=。数列lg的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（i）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。 （ii）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项 。例4. （2012年四川省理14分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（）由已知得，交点a的坐标为，对求导得。 抛物线在点a处的切线方程为，即。（）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到。当时,。当n=0，1，2时，显然。当时，对所有自然数都成立。满足条件的的最小值是。（）由（1）知，则，。下面证明：。首先证明：当0x1时，设函数，则。当时，；当时，在区间（0,1）上的最小值min=g。当0x1时，0,即得。由0a1知0ak1()，。从而。【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】（）根据抛物线与x轴正半轴相交于点a，可得a，进一步可求抛物线在点a处的切线方程，从而可得（）由（）知，则 成立的充要条件是，即知，对所有n成立。当时，；当n=0，1，2时，由此可得的最小值。（）由（）知，证明当0x1时， 即可证明： 。例5.（2012年四川省文14分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（）由已知得，交点a的坐标为，对求导得。 抛物线在点a处的切线方程为，即。（）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=1时，得到。当时,。当n=0时，。当时，对所有自然数都成立。满足条件的的最小值是3。（）由（1）知，下面证明：。首先证明：当0x1时， ，设函数，则。当时，；当时，在区间（0,1）上的最小值min=g。当0x1时，0,即得。由0a1知0ak1()，。从而。【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】（）根据抛物线与x轴正半轴相交于点a，可得a，进一步可求抛物线在点a处的切线方程，从而可得（）由（）知，则成立的充要条件是，即知，对所有n成立。当时，；当n=0时，由此可得的最小值。（）由（）知，证明当0x1时，即可证明：。例6. （2012年北京市文5分）某棵果树前n年的总产量s与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为【 】a.5 b.7 c.9 d.11【答案】c。【考点】直线斜率的几何意义。【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量s与n的商：，在图象上体现为这一点有纵坐标与横坐标之比。 因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。从而m值为9。故选c。例7. （2012年山东省理13分）在平面直角坐标系xoy中，f是抛物线c：x2=2py（p0）的焦点，m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点，过m，f，o三点的圆的圆心为q，点q到抛物线c的准线的距离为。（）求抛物线c的方程；（）是否存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由；（）若点m的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线c有两个不同的交点a，b，l与圆q有两个不同的交点d，e，求当时，的最小值。【答案】解：（）f抛物线c：x2=2py（p0）的焦点f，设m，。由题意可知，则点q到抛物线c的准线的距离为，解得。抛物线c的方程为。（）假设存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m，而，即。由可得，则，即，解得，点m的坐标为。（）点m的横坐标为，点m，。由可得。设，则。圆，圆心到直线l 的距离。，令。设，则。当时，即当时，。当时，。【考点】抛物线和圆的性质，切线斜率的应用和意义，韦达定理的应用，