【备战】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题08 立体几何 理.doc

【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题08 立体几何 理【2012高考真题精选】1（2013重庆）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()a(0，) b(0，)c(1，) d(1，)2（2013辽宁）一个几何体的三视图如图13所示则该几何体的表面积为_3（2013北京）某三棱锥的三视图如图14所示，该三棱锥的表面积是()图14a286 b306c5612 d6012【答案】b【解析】本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知s底面5410，s后5410，s左626，s右4510，所以s表1036306.4（2013安徽）某几何体的三视图如图13所示，该几何体的表面积是_5（2013天津）一个几何体的三视图如图12所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.图12【答案】189【解析】本题考查几何体的三视图及体积公式，考查运算求解及空间想象力，容易题由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体，其体积v63123189.6（2013福建）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()a球 b三棱锥c正方体 d圆柱【答案】d【解析】本题考查简单几何体的三视图，大小、形状的判断以及空间想象能力，球的三视图大小、形状相同三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有圆柱不同7（2013广东）某几何体的三视图如图11所示，它的体积为()图11a12 b45c57 d818（2013湖北）已知某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12a. b3c. d69（2013湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图11所示，则该几何体的俯视图不可能是()10（2013课标全国）如图12，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()12（2013浙江）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图13所示，则该三棱锥的体积等于_cm3.13（2013陕西）(1)如图16所示，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真；图16(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)14（2013全国）如图11，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac2，pa2，e是pc上的一点，pe2ec.(1)证明：pc平面bed；(2)设二面角apbc为90，求pd与平面pbc所成角的大小因为面pab面pbc，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因为pd与平面pbc所成角和n，互余，故pd与平面pbc所成的角为30.15（2013福建）如图13，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长图13设与n所成的角为，则cos.二面角ab1ea1的大小为30，|cos|cos30，即，解得a2，即ab的长为2.16（2013辽宁）如图14，直三棱柱abcabc，bac90，abacaa，点m，n分别为ab和bc的中点(1)证明：mn平面aacc；(2)若二面角amnc为直二面角，求的值517（2013重庆）如图12，在直三棱柱abca1b1c1中，ab4，acbc3，d为ab的中点(1)求点c到平面a1abb1的距离；(2)若ab1a1c，求二面角a1cdc1的平面角的余弦值图12【答案】解：(1)由acbc，d为ab的中点，得cdab.又cdaa1，故cd面a1abb1，所以点c到平面a1abb1的距离为cd.(2)解法一：如图，取d1为a1b1的中点，连结dd1，则dd1aa1cc1.又由(1)知cd面a1abb1，故cda1d，cddd1，所以a1dd1为所求的二面角a1cdc1的平面角因a1d为a1c在面a1abb1上的射影，又已知ab1a1c，由三垂线定理的逆定理得ab1a1d，从而a1ab1、a1da都与b1ab互余，因此a1ab1a1da，所以rta1adrtb1a1a.因此，即aaada1b18，得aa12.从而a1d2.所以，在rta1dd1中，cosa1dd1.cosm，n.所以二面角a1cdc1的平面角的余弦值为.18（2013浙江）如图15所示，在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，bad120，且pa平面abcd，pa2，m，n分别为pb，pd的中点(1)证明：mn平面abcd；(2)过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值由，知取z1，得m(2，0，1)设n(x，y，z)为平面qmn的法向量由，知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.方法二：在菱形abcd中，bad120，得acabbccdda，bdab.又因为pa平面abcd，所以paab，paac，paad.所以pbpcpd.所以pbcpdc.而m，n分别是pb，pd的中点，所以mqnq，且ampbpdan.取线段mn的中点e，连结ae，eq，则aemn，qemn，所以aeq为二面角amnq的平面角由ab2，pa2，故19（2013四川）如图14所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是棱cd、cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是_20（2013湖南）如图16，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab4，bc3，ad5，dababc90，e是cd的中点(1)证明：cd平面pae；(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积解法2：如上图(2)，以a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设pah，则相关各点的坐标为：a(0,0,0)，b(4,0,0)，c(4,3,0)，d(0,5,0)，e(2,4,0)，p(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以cdae，cdap.而ap，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.(2)由题设和(1)知，分别是平面pae，平面abcd的法向量而pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故.解得h.又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.19（2013广东）如图15所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，点e在线段pc上，pc平面bde.(1)证明：bd平面pac；(2)若pa1，ad2，求二面角bpca的正切值图15【答案】证明：(1)pcbd.pabd.papcp，pa平面pac，pc平面pac，bd平面pac.(2)法一：如图所示，记bd与ac的交点为f，连接ef.由pc平面bde，be平面bde，ef平面bde，pcbe，pcef.即bef为二面角bpca的平面角由(1)可得bdac，所以矩形abcd为正方形，abad2，acbd2，fcbf.在rtpac中，pa1，pc3，即二面角bpca的正切值为3.法二：以a为原点，、的方向分别作为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示设abb，则：a(0,0,0)，b(b,0,0)，c(b,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)于是(b,2，1)，(b，2,0)因为pcdb，所以b240，从而b2.结合(1)可得(2，2,0)是平面apc的法向量现设n(x，y，z)是平面bpc的法向量，则n，n，即n0，n0.因为(0,2,0)，(2,2，1)，所以2y0,2xz0.取x1，则z2，n(1,0,2)令n，则cos，sin，tan3.由图可得二面角bpca的正切值为3.20（2013北京）如图19(1)，在rtabc中，c90，bc3，ac6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图18(2)(1)求证：a1c平面bcde；(2)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(3)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由图19所以sin|cos(n，)|.所以cm与平面a1be所成角的大小为.(3)线段bc上不存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直，理由如下：假设这样的点p存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3设平面a1dp的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0.又(0,2，2)，(p，2,0)，所以令x2，则yp，z.所以m.平面a1dp平面a1be，当且仅当mn0，即4pp0.解得p2，与p0,3矛盾所以线段bc上不存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直21（2013安徽）设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件【答案】a【解析】本题考查线面关系的判断，证明，充要条件的判断由题知命题是条件命题为“”，命题“ab”为结论命题，当时，由线面垂直的性质定理可得ab，所以条件具有充分性；但当ab时，如果am，就得不出，所以条件不具有必要性，故条件是结论的充分不必要条件22（2013福建）如图13，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长图13【答案】解：(1)以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故ad1(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.|cos|cos30，即，解得a2，即ab的长为2.23（2013安徽）平面图形abb1a1c1c如图14(1)所示，其中bb1c1c是矩形，bc2，bb14，abac，a1b1a1c1.图14现将该平面图形分别沿bc和b1c1折叠，使abc与a1b1c1所在平面都与平面bb1c1c垂直，再分别连接a1a，a1b，a1c，得到如图14(2)所示的空间图形对此空间图形解答下列问题(1)证明：aa1bc；(2)求aa1的长；(3)求二面角abca1的余弦值【答案】解：(向量法)：(1)证明：取bc，b1c1的中点分别为d和d1，连接a1d1，dd1，ad.由bb1c1c为矩形知，dd1b1c1，因为平面bb1c1c平面a1b1c1，所以dd1平面a1b1c1，又由a1b1a1c1知，a1d1b1c1.故以d1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系d1xyz.由题设，可得a1d12，ad1.由以上可知ad平面bb1c1c，a1d1平面bb1c1c，于是ada1d1.所以a(0，1,4)，b(1,0,4)，a1(0,2,0)，c(1,0,4)，d(0,0,4)故(0,3，4)，(2,0,0)，0，因此，即aa1bc.(2)因为(0,3，4)，所以5，即aa15.(3)连接a1d，由bcad，bcaa1，可知bc平面a1ad，bca1d，所以ada1为二面角abca1的平面角因为(0，1,0)，(0,2，4)，所以cos，.即二面角abca1的余弦值为.sind1da1，cosada1cos.即二面角abca1的余弦值为.24（2013课标全国）如图15，直三棱柱abca1b1c1中，acbcaa1，d是棱aa1的中点，dc1bd.(1)证明：dc1bc；(2)求二面角a1bdc1的大小图15【答案】解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点，故dcdc1.又acaa1，可得dcdc2cc，所以dc1dc.而dc1bd，dcbdd，所以dc1平面bcd.bc平面bcd，故dc1bc.(2)由(1)知bcdc1，且bccc1，则bc平面acc1，所以ca，cb，cc1两两相互垂直以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.25（2013山东）在如图15所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab60，fc平面abcd，aebd，cbcdcf.(1)求证：bd平面aed；(2)求二面角fbdc的余弦值在等腰三角形bcd中，由于bcd120，因此cgcb.又cbcf，所以gfcg，故cosfgc，因此二面角fbdc的余弦值为.解法二：由(1)知adbd，所以acbc.又fc平面abcd，因此ca，cb，cf两两垂直，以c为坐标原点，分别以ca，cb，cf26（2013陕西）(1)如图16所示，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真；图16(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)27（2013浙江）已知矩形abcd，ab1，bc.将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()a存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直b存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直c存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直d对任意位置，三对直线“ac与bd”，“ab与cd”，“ad与bc”均不垂直【答案】b【解析】本题主要考查空间几何体的判定与分析问题考查空间想象能力和动手操作能力对于abcd，因为bccd，由线面垂直的判定可得cd平面acb，则有cdac，而abcd1，bcad，可得ac1，那么存在ac这样的位置，使得abcd成立，故应选b.28（2013重庆）如图12，在直三棱柱abca1b1c1中，ab4，acbc3，d为ab的中点(1)求点c到平面a1abb1的距离；(2)若ab1a1c，求二面角a1cdc1的平面角的余弦值图12取z11，得m(，0,1)，设平面c1cd的法向量为n(x2，y2，z2)，则n，n，即取x21，得n(1,0,0)，所以cosm，n.所以二面角a1cdc1的平面角的余弦值为.29（2013上海）如图12所示，ad与bc是四面体abcd中互相垂直的棱，bc2，若ad2c，且abbdaccd2a，其中a、c为常数，则四面体abcd的体积的最大值是_31（2013山东）如图13所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段 aa1，b1c上的点，则三棱锥d1edf的体积为_图13【答案】【解析】本题考查棱锥的体积公式，考查空间想象力与转化能力，中档题vd1edfvfdd1e111.32（2013课标全国）已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc2，则此棱锥的体积为()a. b.c. d.【答案】a【解析】设三角形abc的中心为m，球心为o，则om平面abc，且om.所以此棱锥的高h2om.所以此棱锥的体积v1.故选a.33（2013江苏）如图12，在长方体abcda1b1c1d1中，abad3 cm，aa12 cm，则四棱锥abb1d1d的体积为_cm3.34（2013浙江）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图13所示，则该三棱锥的体积等于_cm3.图13【答案】1【解析】本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查 学生对数据的运算处理能力和空间想象能力由三视图可知，几何体为一个三棱锥，则vsh1321.35（2013浙江）如图15所示，在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，bad120，且pa平面abcd，pa2，m，n分别为pb，pd的中点(1)证明：mn平面abcd；(2)过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值a(，0,0)，b(0，3,0)，c(，0,0)，d(0,3,0)，p(，0,2)，m，n，q.设m(x，y，z)为平面amn的法向量由，知取z1，得m(2，0，1)设n(x，y，z)为平面qmn的法向量由，知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.qe.在aeq中，ae，qe，aq2，得cosaeq.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.36（2013浙江）已知矩形abcd，ab1，bc.将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()a存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直b存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直c存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直d对任意位置，三对直线“ac与bd”，“ab与cd”，“ad与bc”均不垂直37（2013上海）如图13所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd.e是pc的中点，已知ab2，ad2，pa2，求：(1)三角形pcd的面积；(2)异面直线bc与ae所成的角的大小38（2013北京）如图19(1)，在rtabc中，c90，bc3，ac6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图18(2)(1)求证：a1c平面bcde；(2)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(3)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由图19【答案】解：(1)证明：因为acbc，debc，所以deac，所以dea1d，decd，所以de平面a1dc，所以dea1c.又因为a1ccd，所以m.平面a1dp平面a1be，当且仅当mn0，即4pp0.解得p2，与p0,3矛盾所以线段bc上不存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直39（2013安徽）某几何体的三视图如图13所示，该几何体的表面积是_图13【答案】92【解析】本题考查三视图的识别，四棱柱等空间几何体的表面积如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积为s424254445492.40（2013北京）某三棱锥的三视图如图14所示，该三棱锥的表面积是()图14a286 b306c5612 d6012【答案】b【解析】本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知s底面5410，s后5410，s左626，s右4510，所以s表1036306.41（2013全国）如图11，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac2，pa2，e是pc上的一点，pe2ec.(1)证明：pc平面bed；(2)设二面角apbc为90，求pd与平面pbc所成角的大小令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面pbc的法向量，则n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n.因为面pab面pbc，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因为pd与平面pbc所成角和n，互余，故pd与平面pbc所成的角为30.42（2013湖北）如图17所示，acb45，bc3，过动点a作adbc，垂足d在线段bc上且异于点b，连结ab，沿ad将abd折起，使bdc90(如图18)(1)当bd的长为多少时，三棱锥abcd的体积最大？(2)当三棱锥abcd的体积最大时，设点e，m分别为棱bc，ac的中点，试在棱cd上确定一点n，使得enbm，并求en与平面bmn所成角的大小设n(0，0)，则.因为enbm等价于0，即(1,1,1)10，故，n.所以当dn(即n是cd的靠近点d的一个四等分点)时，enbm.设平面bmn的一个法向量为n(x，y，z)，由及，得可取n(1,2，1)设en与平面bmn所成角的大小为，则由，n(1,2，1)，可得sincos(90)，即60.故en与平面bmn所成角的大小为60.43（2013课标全国）如图12，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()图12a6 b9 c12 d1844（2013辽宁）已知正三棱锥pabc，点p，a，b，c都在半径为的球面上若pa，pb，pc两两相互垂直，则球心到截面abc的距离为_45（2013湖北）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积v，求其直径d的一个近似公式d.人们还用过一些类似的近似公式根据3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是()ad bdcd dd【答案】d【解析】设球的直径为d，则球的体积为v3，所以d.a项中，d；c项中，d；d项中，d；比较各选项可知， d项中的d与d最接近，故选d.46（2013北京）如图19(1)，在rtabc中，c90，bc3，ac6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图18(2)(1)求证：a1c平面bcde；(2)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(3)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由 47（2013湖南）如图16，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab4，bc3，ad5，dababc90，e是cd的中点(1)证明：cd平面pae；(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积因为8800，0，所以cdae，cdap.而ap，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.(2)由题设和(1)知，分别是平面pae，平面abcd的法向量而pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故.解得h.又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.48（2013北京）如图19(1)，在rtabc中，c90，bc3，ac6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图18(2)(1)求证：a1c平面bcde；(2)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(3)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由 (2) 49（2013安徽）平面图形abb1a1c1c如图14(1)所示，其中bb1c1c是矩形，bc2，bb14，abac，a1b1a1c1.图14现将该平面图形分别沿bc和b1c1折叠，使abc与a1b1c1所在平面都与平面bb1c1c垂直，再分别连接a1a，a1b，a1c，得到如图14(2)所示的空间图形对此空间图形解答下列问题(1)证明：aa1bc；(2)求aa1的长；(3)求二面角abca1的余弦值 (2)因为(0,3，4)，所以5，即aa15.即二面角abca1的余弦值为.50（2013重庆）如图12，在直三棱柱abca1b1c1中，ab4，acbc3，d为ab的中点(1)求点c到平面a1abb1的距离；(2)若ab1a1c，求二面角a1cdc1的平面角的余弦值由，有8h20，h2.故(2,0,2)，(0,0,2)，(0，0)设平面a1cd的法向量为m(x1，y1，z1)，则m，m，即取z11，得m(，0,1)，设平面c1cd的法向量为n(x2，y2，z2)，则n，n，即取x21，得n(1,0,0)，所以cosm，n.所以二面角a1cdc1的平面角的余弦值为.51（2013全国）三棱柱abca1b1c1中，底面边长和侧棱长都相等，baa1caa160，则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为_52（2013全国）已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab2，cc12，e为cc1的中点，则直线ac1与平面bed的距离为()a2 b. c. d153（2013辽宁）如图14，直三棱柱abcabc，bac90，abacaa，点m，n分别为ab和bc的中点(1)证明：mn平面aacc；(2)若二面角amnc为直二面角，求的值设aa1，则abac，于是a(0,0,0)，b(，0,0)，c(0，0)，a(0,0,1)，b(，0,1)，c(0，1)所以m，n.设m(x1，y1，z1)是平面amn的法向量，由得可取m(1，1，)设n(x2，y2，z2)是平面mnc的法向量，由得可取n(3，1，)因为amnc为直二面角，所以mn0.即3(1)(1)20，解得.54（2013课标全国）如图15，直三棱柱abca1b1c1中，acbcaa1，d是棱aa1的中点，dc1bd.(1)证明：dc1bc；(2)求二面角a1bdc1的大小图15【答案】解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点，故dcdc1.又acaa1，可得dcdc2cc，所以dc1dc.而dc1bd，dcbdd，所以dc1平面bcd.bc平面bcd，故dc1bc.(2)由(1)知bcdc1，且bccc1，则bc平面acc1，所以ca，cb，cc1两两相互垂直以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.55（2013湖南）如图16，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab4，bc3，ad5，dababc90，e是cd的中点(1)证明：cd平面pae；(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积图16【答案】解：解法1：(1)如下图(1)，连结ac.由ab4，bc3，abc90得ac5.又ad5，e是cd的中点，所以cdae.因为pa平面abcd，cd平面abcd，所以pacd.而pa，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.(2)过点b作bgcd，分别与ae、ad相交于点f，g，连结pf.由(1)cd平面pae知，bg平面pae.于是bpf为直线pb与平面pae所成的角，且bgae.由pa平面abcd知，pba为直线pb与平面abcd所成的角由题意pbabpf，因为sinpba，sinbpf，所以pabf.由dababc90知，adbc，又bgcd，所以四边形bcdg是平行四边形故gdbc3.于是ag2.在rtbag中，ab4，ag2，bgaf，所以bg2，bf.于是pabf.又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.56（2013湖北）如图17所示，acb45，bc3，过动点a作adbc，垂足d在线段bc上且异于点b，连结ab，沿ad将abd折起，使bdc90(如图18)(1)当bd的长为多少时，三棱锥abcd的体积最大？(2)当三棱锥abcd的体积最大时，设点e，m分别为棱bc，ac的中点，试在棱cd上确定一点n，使得enbm，并求en与平面bmn所成角的大小设平面bmn的一个法向量为n(x，y，z)，由及，得可取n(1,2，1)设en与平面bmn所成角的大小为，则由，n(1,2，1)，可得sincos(90)，即60.故en与平面bmn所成角的大小为60.方法2：由(1)知，当三棱锥abcd的体积最大时，bd1，adcd2.如图(b)，取cd的中点f，连结mf，bf，ef，则mfad.由(1)知ad平面bcd，所以mf平面bcd.如图(c)，延长fe至p点使得fpdb，连bp，dp，则四边形dbpf为正方形，所以dpbf.取df的中点n，连结en，又e为fp的中点，则endp，所以enbf，因为mf平面bcd，又en平面bcd，所以mfen.又mfbff，所以en面bmf，又bm面bmf，所以enbm.因为enbm当且仅当enbf，而点f是唯一的，所以点n是唯一的即当dn(即n是cd的靠近点d的一个四等分点)，enbm.连结mn，me，由计算得nbnmebem，所以nmb与emb是两个共底边的全等的等腰三角形如图(d)所示，取bm的中点g.连结eg，ng，则bm平面egn，在平面egn中，过点e作ehgn于h，则eh平面bmn.故enh是en与平面bmn所成的角在egn中，易得eggnne，所以egn是正三角形，故enh60，即en与平面bmn所成角的大小为60.57（2013上海）如图13所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd.e是pc的中点，已知ab2，ad2，pa2，求：(1)三角形pcd的面积；(2)异面直线bc与ae所成的角的大小在aef中，由ef、af、ae2知aef是等腰直角三角形，所以aef.因此，异面直线bc与ae所成的角的大小是.58（2013广东）如图15所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，点e在线段pc上，pc平面bde.(1)证明：bd平面pac；(2)若pa1，ad2，求二面角bpca的正切值图15【答案】证明：(1)pcbd.pabd.papcp，pa平面pac，pc平面pac，bd平面pac.(2)法一：如图所示，记bd与ac的交点为f，连接ef.由pc平面bde，be平面bde，ef平面bde，pcbe，pcef.即bef为二面角bpca的平面角由(1)可得bdac，所以矩形abcd为正方形，abad2，acbd2，fcbf.在rtpac中，pa1，pc3，即二面角bpca的正切值为3.法二：以a为原点，、的方向分别作为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示设abb，则：a(0,0,0)，b(b,0,0)，c(b,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)于是(b,2，1)，(b，2,0)因为pcdb，所以b240，从而b2.结合(1)可得(2，2,0)是平面apc的法向量现设n(x，y，z)是平面bpc的法向量，则n，n，即n0，n0.因为(0,2,0)，(2,2，1)，所以2y0,2xz0.取x1，则z2，n(1,0,2)令n，则cos，sin，tan3.由图可得二面角bpca的正切值为3.59（2013重庆）如图12，在直三棱柱abca1b1c1中，ab4，acbc3，d为ab的中点(1)求点c到平面a1abb1的距离；(2)若ab1a1c，求二面角a1cdc1的平面角的余弦值图12【答案】解：(1)由acbc，d为ab的中点，得cdab.又cdaa1，故cd面a1abb1，所以点c到平面a1abb1的距离为cd.(2)解法一：如图，取d1为a1b1的中点，连结dd1，则dd1aa1cc1.又由(1)知cd面a1abb1，故cda1d，cddd1，所以a1dd1为所求的二面角a1cdc1的平面角因a1d为a1c在面a1abb1上的射影，又已知ab1a1c，由三垂线定理的逆定理得ab1a1d，从而a1ab1、a1da都与b1ab互余，因此a1ab1a1da，所以rta1adrtb1a1a.因此，即aaada1b18，得aa12.从而a1d2.所以，在rta1dd1中，cosa1dd1.解法二：如图，过d作dd1aa1交a1b1于点d1，在直三棱柱中，易知db，dc，dd1两两垂直以d为原点，射线db，dc，dd1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.设直三棱柱的高为h，则a(2,0,0)，a1(2,0，h)，b1(2,0，h)，c(0，0)，c1(0，h)，从而(4,0，h)，(2，h)由，有8h20，h2.故(2,0,2)，(0,0,2)，(0，0)设平面a1cd的法向量为m(x1，y1，z1)，则m，m，即取z11，得m(，0,1)，设平面c1cd的法向量为n(x2，y2，z2)，则n，n，即取x21，得n(1,0,0)，所以cosm，n.所以二面角a1cdc1的平面角的余弦值为.60（2013福建）如图13，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长61（2013山东）在如图15所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab60，fc平面abcd，aebd，cbcdcf.(1)求证：bd平面aed；(2)求二面角fbdc的余弦值图15【答案】解：(1)证明：因为四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab60，所以adcbcd120.又cbcd，所以cdb30，因此adb90，adbd，又aebd，且aeada，ae，ad平面aed，所以bd平面aed.(2)解法一：取bd的中点g，连接cg，fg，由于cbcd，因此cgbd，又fc平面abcd，bd平面abcd，所以fcbd，由于fccgc，fc，cg平面fcg，所以bd平面fcg，故bdfg，所以fgc为二面角fbdc的平面角在等腰三角形bcd中，由于bcd120，因此cgcb.又cbcf，所以gfcg，故cosfgc，因此二面角fbdc的余弦值为.解法二：由(1)知adbd，所以acbc.又fc平面abcd，因此ca，cb，cf两两垂直，以c为坐标原点，分别以ca，cb，cf62（2013天津）如图14所示，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac45，paad2，ac1.(1)证明pcad；(2)求二面角apcd的正弦值；(3)设e与棱pa上的点，满足异面直线be与cd所成的角为30，求ae的长【答案】解：方法一：如图所示，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，d(2,0,0)，c(0,1,0)，b，p(0,0,2)(1)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以pcad.角.在rtpac中，pa2，ac1，由此得ah.由(1)知adah.故在rtdah中，dh.因此sinahd.所以二面角apcd的正弦值为.(3)如图所示，因为adc45，故过点b作cd的平行线必与线段ad相交，设交点为f，连接be，ef.故ebf或其补角为异面直线be与cd所成的角由bfcd，故afbadc.在rtdac中，cd，sinadc，故sinafb .在afb中，由，ab，sinfabsin135，可得bf.由余弦定理，bf2ab2af22abafcosfab，可得af.设aeh.在rteaf中，ef.在rtbae中，be.在ebf中，因为efbe，从而ebf30，由余弦定理得cos30，可解得h.所以ae.63（2013全国）如图11，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac2，pa2，e是pc上的一点，pe2ec.(1)证明：pc平面bed；(2)设二面角apbc为90，求pd与平面pbc所成角的大小图11【答案】解：方法一：(1)因为底面