【备考 志鸿优化设计】中考数学总复习 基础讲练 第14讲 三角形与全等三角形（含答案点拨） 新人教版.doc

第14讲三角形与全等三角形考纲要求命题趋势1了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系2理解三角形内角和定理及推论3理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质4掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明.中考中多以填空题、选择题的形式考查三角形的边角关系，通过解答题来考查全等三角形的性质及判定全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，考查学生综合运用知识的能力.知识梳理一、三角形的概念及性质1概念(1)由三条线段_顺次相接组成的图形，叫做三角形(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形2性质(1)三角形的内角和是_；三角形的一个外角等于与它不相邻的_；三角形的一个外角大于与它_的任何一个内角(2)三角形的任意两边之和_第三边；三角形任意两边之差_第三边二、三角形中的重要线段1三角形的角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线特性：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的_2三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作_，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高特性：三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的_3三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边_的线段叫做三角形的中线特性：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的_4三角形的中位线连接三角形两边_的线段叫做三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的_三、全等三角形的性质与判定1概念能够_的两个三角形叫做全等三角形2性质全等三角形的_、_分别相等3判定(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(sss)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(sas)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(asa)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(aas)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(hl)四、定义、命题、定理、公理1定义对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义2命题判断一件事情的语句(1)命题由_和_两部分组成命题通常写成“如果，那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论(2)命题的真假：正确的命题称为_；错误的命题称为_(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的_，而第一个命题的结论是第二个命题的_，那么这两个命题称为互逆命题每一个命题都有逆命题3定理经过证明的真命题叫做定理因为定理的逆命题不一定都是真命题所以不是所有的定理都有逆定理4公理有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理五、证明1证明从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过_，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明2证明的一般步骤(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密3反证法先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的这种证明的方法叫做反证法自主测试1abc的内角和为()a180 b360c540 d7202下列长度的三条线段，不能组成三角形的是()a3,8,4 b4,9,6c15,20,8 d9,15,83如图，已知12，则不一定能使abdacd的条件是()aabac bbdcdcbc dbdacda4下面的命题中，真命题是()a有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等b有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等c有一条边对应相等的两个等腰三角形全等d有一条高对应相等的两个等边三角形全等5如图，d，e分别是ab，ac上的点，且abac，adae.求证：bc.考点一、三角形的边角关系【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是()a1 b5 c7 d9解析：设第三边为x，根据三角形三边的关系可得43x34，即1x7.答案：b方法总结 1在具体判断时，可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形否则就不能组成三角形2三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系触类旁通1 已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为()a2 b3 c5 d13考点二、全等三角形的性质与判定【例2】如图，在rtabc中，bac90，ac2ab，点d是ac的中点，将一块锐角为45的直角三角板aed如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与a，d重合，连接be，ec.试猜想线段be和ec的数量及位置关系，并证明你的猜想解：beec，beec.证明如下：ac2ab，点d是ac的中点，abadcd.eadeda45，eabedc135.又eaed，eabedc.aebdec，ebec.becaed90.beec，beec.方法总结 1判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法2全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系触类旁通2 如图，在abc中，acb90，acbc，bece于点e，adce于点d.求证：beccda.考点三、真假命题的判断【例3】下列命题，正确的是()a如果|a|b|，那么abb等腰梯形的对角线互相垂直c顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形d相等的圆周角所对的弧相等解析：a项错误，例如：|2|2|，但22；b项错误，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；c项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到；d项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中答案：c方法总结 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题触类旁通3 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：如果ab，ac，那么bc；如果ba，ca，那么bc；如果ba，ca，那么bc；如果ba，ca，那么bc.其中为真命题的是_(填写所有真命题的序号)考点四、证明的方法【例4】如图，已知在梯形abcd中，adbc，bcdc，cf平分bcd，dfab，bf的延长线交dc于点e.求证：(1)bfcdfc；(2)adde.证明：(1)cf平分bcd，bcfdcf.在bfc和dfc中，bfcdfc.(2)如图，连接bd.bfcdfc，bfdf.fbdfdb.dfab，abdfdb.abdfbd.adbc，bdadbc.bcdc，dbcbdc.bdabdc.又bd是公共边，badbed.adde.方法总结 1证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法2证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；(2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法触类旁通4 如图，在abc中，ad是中线，分别过点b，c作ad及其延长线的垂线be，cf，垂足分别为点e，f.求证：becf.1(2012浙江嘉兴)已知abc中，b是a的2倍，c比a大20，则a等于()a40 b60 c80 d902(2012贵阳)如图，已知点a，d，c，f在同一条直线上，abde，bcef，要使abcdef，还需要添加一个条件是()abcaf bbecbcef daedf3(2012四川雅安)在adb和adc中，下列条件：bddc，abac；bc，badcad；bc，bddc；adbadc，bddc.能得出adbadc的序号是_4(2012广东广州)如图，点d在ab上，点e在ac上，abac，bc，求证：becd.5(2012江苏苏州)如图，在梯形abcd中，已知adbc，abcd，延长线段cb到e，使bead，连接ae，ac.(1)求证：abecda；(2)若dac40，求eac的度数1如图，为估计池塘两岸a，b间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点p，测得pa16 m，pb12 m，那么ab间的距离不可能是()a5 m b15 mc20 m d28 m2如图，已知abc中，abc45，f是高ad和be的交点，cd4，则线段df的长度为()a2 b4c3 d43如图，在abc中，a80，点d是bc延长线上一点，acd150，则b_.4如图，在abc中，bc边不动，点a竖直向上运动，a越来越小，b，c越来越大，若a减少度，b增加度，c增加度，则，三者之间的等量关系是_5如图所示，三角形纸片abc中，a65，b75，将纸片的一角折叠，使点c落在abc内，若120，则2的度数为_6如图，点b，c，f，e在同一直线上，12，bcfe，1_(填“是”或“不是”)2的对顶角，要使abcdef，还需添加一个条件，这个条件可以是_(只需写出一个)7如图，已知在abc中，acb90，cdab于点d，点e在ac上，cebc，过点e作ac的垂线，交cd的延长线于点f.求证：abfc.8如图，点a，b，d，e在同一直线上，adeb，bcdf，cf.求证：acef.参考答案导学必备知识自主测试1a2a3b4d5证明：在abe和acd中，abac，aa，aead，abeacd.bc.探究考点方法触类旁通1b由三角形三边的关系可得132x132，即11x15，x为正整数，x为12,13,14，故选b.触类旁通2证明：becf于点e，adce于点d，beccda90.在rtbec中，bcecbe90，在rtbca中，bceacd90，cbeacd.在bec和cda中，beccda.触类旁通3触类旁通4证明：在abc中，ad是中线，bdcd.cfad，beae，cfdbed90.在bed与cfd中，bedcfd，bdecdf，bdcd，bedcfd，becf.品鉴经典考题1a设ax，则b2x，cx20，则x2xx20180，解得x40，即a40.2b由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角对应相等，只有b能满足条件3由题意知adad，条件可组成三边对应相等，条件可组成两角和其中一角的对边对应相等，条件可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出adbadc，条件组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出adbadc.4证明：在abe和acd中，bc，abac，aa，abeacd(asa)becd.5(1)证明：在梯形abcd中，adbc，abcd，abebad，badcda.abecda.在abe和cda中，abecda.(2)解：由(1)得aebcad，aeac，aebace.dac40，aebace40.eac1804040100.研习预测试题1d由三角形三边关系知1612ab1612，故选d.2b因为由已知可