【备战】高考数学专题讲座 第22讲 高频考点分析之立体几何探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】第22讲：高频考点分析之立体几何探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力。在课程标准中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。一般来说，平面向量在高考中所占份量较大，结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下五方面探讨立体几何问题的求解：1. 多面体及球体的概念、性质、计算；2. 由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算：3. 关于线线、线面及面面平行的问题；4. 关于线线、线面及面面垂直的问题；5. 关于空间距离和空间角的问题。一、多面体及球体的概念、性质、计算：典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为【 】 【答案】。【考点】三棱锥的性质。【解析】的外接圆的半径，点到面的距离。 又为球的直径，点到面的距离为。 此棱锥的体积为。故选。例2. （2012年全国课标卷文5分）平面截球o的球面所得圆的半径为1，球心o到平面的距离为，则此球的体积为 【 】（a） （b）4 （c）4 （d）6【答案】b。【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。【解析】由勾股定理可得球的半径为，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为：。故选b。例3. （2012年江西省理5分）如下图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为【 】【答案】a。【考点】棱锥的体积公式，线面垂直，函数的思想。【解析】对于函数图象的识别问题，若函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，可采用定性排它法：观察图形可知，当时，随着的增大， 单调递减，且递减的速度越来越快，不是的线性函数，可排除c，d。当时，随着的增大， 单调递减，且递减的速度越来越慢，可排除b。只有a图象符合。故选a。如求解具体的解析式，方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃，并且作为选择题也没有太多的时间去解答。我们也解答如下：连接ac，bd，二者交于点o，连接so，过点e作底面的垂线eh。 当e为sc中点时，sbsdbccd，sebe，sede。se面bde。当时，截面为三角形ebd，截面下面部分锥体的底为bcd。又sasc1，ac，so。此时。当时，截面与ad和ab相交，分别交于点f、d，设fg与ac相交于点i，则易得。由ehso，得，即。由eisa，得，即。易知是等腰直角三角形，即。当时，截面与dc和bc相交，分别交于点m、n，设mn与ac相交于点j，则易得。由ehso，得，即。由ejsa，得，即。易知是等腰直角三角形，即。综上所述，。结合微积分知识，可判定a正确。例4. （2012年湖北省理5分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积v，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159.判断，下列近似公式中最精确的一个是【 】a. b. c. d. 【答案】d。【考点】球的体积公式以及估算。【解析】由球的体积公式得，由此得。对选项逐一验证： 对于a. 有，即；对于b. 有，即；对于c. 有，即；对于d. 有，即；中的数值最接近。故选d。例5. （2012年重庆市理5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是【 】（a） （b） （c） （d）【答案】a。【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。【分析】如图所示，设四面体的棱长为，取中点p，连接，所以，在中，由勾股定理得=。在中，。，。故选a。例6. （2012年上海市理4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .【答案】。【考点】空间几何体的体积公式和侧面展开图。【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为，母线长为，根据条件得到，解得母线长，所以该圆锥的体积为：。例7. （2012年上海市文4分）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 【答案】。【考点】圆柱的表面积。【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：。例9. （2012年上海市理4分）如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 .【答案】。【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。【解析】作于，连接，则，平面。又平面，。 由题设，与都在以为焦距的椭球上，且、都垂直于焦距所在直线。=。 取中点，连接，。四面体的体积。显然，当在中点，即是短轴端点时，有最大值为。例10. （2012年山东省理4分）如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1。e，f分别为线段aa1，b1c上的点，则三棱锥d1edf的体积为 。【答案】【考点】三棱锥的面积。【解析】三棱锥与三棱锥表示的是同一棱锥，。 又的底dd1e的面积是正方形面积的一半，等于；底dd1e上的高等于正方形的棱长1， 。例11. （2012年安徽省文5分）若四面体的三组对棱分别相等，即，则 _.(写出所有正确结论编号) 四面体每组对棱相互垂直四面体每个面的面积相等从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【答案】。【考点】四面体的性质。【解析】四面体每组对棱不相互垂直，命题错误；四面体每个面是全等三角形，面积相等，命题正确； 从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于，命题错误； 连接四面体每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分，命题正确；例12. （2012年辽宁省文5分）已知点是球o表面上的点，pa平面abcd，四边形abcd是边长为2正方形。若,则oab的面积为 .【答案】。【考点】组合体的的位置关系，转化思想的应用。【解析】点是球o表面上的点，pa平面abcd， 点为球o内接长方体的顶点，球心o为长方体对角线的中点。 oab的面积是该长方体对角面面积的。 ，。例13. （2012年江苏省5分）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱锥的体积为。二、由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算：典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为【 】 【答案】。【考点】由三视图判断几何体。【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为。因此此几何体的体积为：。故选。例2. （2012年北京市理5分）某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是【 】a. b. c. d. 【答案】 b。【考点】三棱锥的三视图问题。【解析】如下图所示。图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系、等腰三角形的性质和三角形面积公式，可得：这里有两个直角三角形，一个等腰三角形。 该三梭锥的表面积是。故选b。例3. （2012年广东省理5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为【】a12 b.45 c.57 d.81【答案】c。【考点】由三视图求体积。【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，几何体的直观图如图所示。圆锥的高几何体的体积。故选c。例4. （2012年广东省文5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为【 】 a b c d 【答案】c。【考点】由三视图求体积。【解析】由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4， 则它的体积。故选c。例5. （2012年江西省文5分）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为【 】a b.5 c.4 d. 【答案】c。【考点】由三视图求面积、体积。【解析】根据三视图判断此几何体为直六棱柱，再分别计算棱柱的底面积和高，最后由棱柱的体积计算公式求得结果：由图可知，此几何体为直六棱柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形，上底边为1，下底边为3，高为1，棱柱的底面积为，棱柱的高为1。例6. （2012年浙江省文5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是【 】a.1cm3 b.2cm3 c.3cm3 d.6cm3【答案】c。【考点】三棱锥的三视图。【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为。故选c。例7. （2012年湖北省理5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【 】a. b. c. d. 【答案】b。【考点】由何体的三视图求体积。【解析】此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为。故选b。例8. （2012年湖南省理5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是【 】【答案】d。【考点】组合体的三视图。【解析】由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形。故选d。例9. （2012年福建省理5分）一个几何体的三视图形状都相同大小均相等，那么这个几何体不可以是【 】a球 b三棱锥c正方体 d圆柱【答案】d。【考点】简单几何体的三视图。【解析】球的三视图大小形状相同三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有圆柱不同。故选d。例10. （2012年陕西省文5分）将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 【 】a. b. c. d. 【答案】b。【考点】空间图像的直观图与三视图。【解析】因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形，其中的正投影是正方形右斜的对角线（实线），的正投影是正方形左斜的对角线（被遮住是虚线）。故选b。例11. （2012年天津市理5分）个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为 .【答案】。【考点】简单组合体的三视图的画法与体积的计算。【分析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：=。例12. （2012年天津市文5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积 .【答案】。【考点】由三视图求几何体的体积。【分析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为，五棱柱的体积是，所以几何体的总体积为。例13. （2012年安徽省理5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 来【答案】。【考点】由三视图判断几何体。【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱。 几何体的表面积是例14. （2012年安徽省文5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 【答案】。【考点】由三视图判断几何体。【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱。几何体的的体积是。例15. （2012年浙江省理4分）已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的体积等于 【答案】1。【考点】由三棱锥的三视图求体积。【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形故体积等于（）。例16. （2012年湖北省文5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.【答案】。【考点】由几何体的三视图求体积【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是。例17. （2012年辽宁省理5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 。【答案】38。【考点】由几何体的三视图求面积。【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为。例18. （2012年辽宁省文5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【答案】。【考点】由几何体的三视图求体积。【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为。三、关于线线、线面及面面平行的问题：典型例题：例1. （2012年四川省文5分）下列命题正确的是【 】a、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行b、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行c、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行d、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】c。【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以a错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故b错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故d错；故选项c正确。故选c。例2. （2012年浙江省文5分）设是直线，是两个不同的平面【 】a. 若，则a b. 若，则c. 若，则 d. 若, ，则【答案】b。【考点】线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。【解析】利用面面垂直的判定定理可证明b是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题：a，若，则满足题意的两平面可能相交，排除a；b，若，则在平面内存在一条直线垂直于平面，从而两平面垂直，故b正确；c，若，则可能在平面内，排除c；d，若, ，则可能与平行，相交，排除d。故选 b。例3. （2012年山东省文12分）如图，几何体eabcd是四棱锥，abd为正三角形，cb=cd，ecbd.()求证：be=de；()若bcd=1200，m为线段ae的中点，求证：dm平面bec.【答案】解：()证明：取bd中点为o，连接oc，oe，bc=cd，cobd，又ecbd，coec=c，bd平面oce.。又oe平面oce.，bdoe，即oe是bd的垂直平分线。be=de。()取ab中点n，连接mn，dn，m是ae的中点，mnbe。abd是等边三角形，dnab，abd60。bcd120，bc=cd，cbd30。abc60+3090，即bcab。ndbc。又mnnd=n，bebc=b，平面mnd平面bec。又dm平面mnd，dm平面bec。【考点】线面垂直和平行的证明，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质。【解析】()要证be=de，只要证点e是bd垂直平分线上的点即可。故取bd中点为o，连接oc，oe，由已知证明bdoe即可。 ()要证dm平面bec只要证明dm在一个平行于平面bec的另一个平面上，故取ab中点n，连接mn，dn，证明平面mnd平面bec即可。例4. （2012年福建省理13分） 如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点（i）求证：b1ead1；（ii）在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；（iii）若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长【答案】解：（i）如图，以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)。1(0,1,1)，(a,0,1)，。011(1)10，b1ead1。（ii）假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae，此时(0，1，z0)。又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n。要使dp平面b1ae，只要n，即az00，解得z0。又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap。（iii）连接a1d，b1c，由长方体abcda1b1c1d1及aa1ad1，得ad1a1d。b1ca1d，ad1b1c。又由（i）知b1ead1，且b1cb1eb1，ad1平面dcb1a1。是平面a1b1e的一个法向量，此时(0,1,1)。设与n所成的角为，则cos。二面角ab1ea1的大小为30，|cos|cos30，即，解得2，即ab的长为2。【考点】用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定。【解析】（）由题意及所给的图形，以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。设aba，给出图形中各点的坐标，可求出向量1和 的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直。（ii）由题意，可先假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae，求出平面b1ae法向量，可法向量与直线dp的方向向量内积为0，由此方程解出z0的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的z0的值，说明不存在这样的点p满足题意。（iii）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30建立关于的方程，解出的值即可得出ab的长。例5. （2012年辽宁省文12分）如图，直三棱柱，=1，点m，n分别为和的中点。 ()证明：平面; ()求三棱锥的体积。（椎体体积公式，其中为底面面积，为高）【答案】解：（i）证明：连接，三棱柱为直三棱柱。m为中点。又n为的中点，mnac。又平面，mn平面。 ()连接bn，由题意得，平面平面， 平面。 又， 。【考点】与二面角有关的立体几何综合题，直线与平面平行的判定，棱锥体积的计算，转化思想的应用。【解析】（i）连接，说明三棱柱为直三棱柱，推出mnac，然后证明mn平面。另解：取ab的中点p，连接mp、np。m、n分别为ab、bc的中点，mpaa，npac。mp平面aacc，pn平面aacc。又mpnp=p，平面mpn平面aacc。又mn平面mpn， mn平面aacc。()连接bn，由可求。例6. （2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面【答案】证明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。 又平面，平面平面。 （2），为的中点，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 又平面平面，直线平面【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。 （2）要证直线平面，只要证平面上的即可。四、关于线线、线面及面面垂直的问题：典型例题：例1. （2012年浙江省理5分）已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【 】 a存在某个位置，使得直线与直线垂直 b存在某个位置，使得直线与直线垂直 c存在某个位置，使得直线与直线垂直 d对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直【答案】b。【考点】空间中直线与直线之间的位置关系。【解析】 如图，依题意，=，。 a，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则，平面，从而，这与已知矛盾，排除a；b，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，平面平面。取中点，连接，则，就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故b正确；c，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，从而平面平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除c；d，由上所述，可排除d。故选 b。例2. （2012年全国课标卷文12分）如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直底面，acb=90，ac=bc=aa1，d是棱aa1的中点()证明：平面bdc1平面bdc（）平面bdc1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。【答案】解：()证明：由题设，三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直底面，acb=90，bccc1，bcac，cc1ac=c，bc平面acc1a1。 又dc1平面acc1a1，dc1bc。 由题设，ac=bc，=aa1，d是棱aa1的中点，a1dc1=adc=450，cdc=900，即dc1dc。又dcbc=c，dc1平面bdc。又dc1平面bdc1，平面bdc1平面bdc。（）设棱锥bdacc1的体积为v1，则。 又三棱柱abca1b1c1的体积， 。 平面bdc1分此棱柱为两部分体积的比为1：1。【考点】直三棱柱的性质，平面和平面的位置关系，棱柱和棱锥的体积。【解析】()要证明平面bdc1平面bdc，只要证一个平面的一条直线垂直于另一个平面即可。由由题设可证得dc1bc，dc1dc，由dcbc=c得dc1平面bdc，而dc1平面bdc1，因此平面bdc1平面bdc。 （）求出三棱柱abca1b1c1的体积和棱锥bdacc1的体积即可求得结果。例3. （2012年北京市理14分）如图1，在rtabc中，c=90，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de=2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图2.（1）求证：a1c平面bcde；（2）若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；（3）线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由【答案】解：（1）cdde，a1ede，de平面a1cd。又a1c平面a1cd ，a1cde。又a1ccd，a1c平面bcde。（2）如图建立空间直角坐标系，则b（0，3，0），c（0，0，0），d（2，0，0），e（2。2。0），a1（0，0，）。设平面a1be法向量为，则，即，。又m是a1d的中点，m（1，0，）。设cm与平面a1be法向量所成角为，则。cm与平面a1be所成角为。（3）设线段bc上点p，设p点坐标为，则。则设平面a1dp法向量为则 。假设平面a1dp与平面a1be垂直，则，即，解得。与不符。线段bc上不存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直。【考点】线面垂直的判定，线面角的计算，两平面垂直的条件。【解析】（1）根据线面垂直的判定进行判定。 （2）建立空间直角坐标系可易解决。 （3）用反证法，假设平面a1dp与平面a1be垂直，得出与已知相矛盾的结论即可。例4. （2012年北京市文14分）如图1，在rtabc中，c=90，d，e分别为ac，ab的中点，点f为线段cd上的一点，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如图2。（1） 求证：de平面a1cb；（2） 求证：a1fbe；（3） 线段a1b上是否存在点q，使a1c平面deq？说明理由。【答案】解：（1）证明：在图1 rtabc中，c=90，d，e分别为ac，ab的中点， debc。 在图2中，de平面a1cb，de平面a1cb。 （2）证明：dea1d，decd，a1dcd=d，de平面a1cd。a1f平面a1cb，dea1f。 又a1fcd，cdde=d，cd平面bedc，de平面bedc，a1f平面bedc。 又be平面bedc，a1fbe， （3）线段a1b上存在点q，使a1c平面deq，点q为a1b的中点。理由如下： 取a1c中点p，连接dp，qp。 pdcb，decb ，pdde。 deqp是平行四边形，d、e、q、p四点共面。 由（2）知，de平面a1cd，又a1c平面a1cd，dea1c。 p，q是a1b和a1c的中点，pqcbde。pq a1c。又ad=cd，a1p=cp，pda1c 。又pqpd=p， a1c平面pqd，即a1c平面deq。【考点】线面平行，线线垂直，线面垂直的判定，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质。【解析】（1）由线面平行的判定理直接证出。 （2）要证两异面直线垂直，就要证一条直线垂直于另一条直线所在的平面。因此考虑证明a1f平面bedc即可。 （3）在线段a1b上找出使a1c平面deq的点q，进行证明。例5. （2012年安徽省文12分） 如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。（）证明： ；（）如果=2,=, , 求 的长。【答案】解；（i）连接。，共面。长方体中，底面是正方形，。面。（）连接。在矩形中，。 。，解得。【考点】两直线的位置，相似三角形的判定和性质。【解析】（i）要证，只要面即可。一方面，由正方形的性质有，另一方面由长方体的性质有，且和是相交的，从而面。 （）由，根据角的转换可知，从而根据相似三角形的性质可由对应边比求出 的长。例6. （2012年广东省文13分）如图所示，在四棱锥p-abcd中，ab平面pad，abcd，pd=ad，e是pb的中点，f是dc上的点且df=ab，ph为pad中ad边上的高（1）证明：ph平面abcd；（2）若ph=1，ad=，fc=1，求三棱锥e-bcf的体积；（3）证明：ef平面pab 【答案】解：（1）证明：平面，平面，。为中边上的高，。 ，平面。（2）连接，取中点，连接。是的中点，。 平面 ，平面。 。（3）证明：取中点，连接，。 是的中点，。，。四边形是平行四边形。，。平面，平面， 。 ， 平面。平面。【考点】空间线线、线面的平行和垂直，三棱锥的体积。【解析】（1）证明垂直于平面内的两条相交直线和即可。 （2）连接，取中点，连接，则由三角形中位线定理和（1）平面，可得三棱锥e-bcf底面上的高，从而三棱锥e-bcf的体积可求。 （3）取中点，连接，。一方面由三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，即；另一方面，由垂直于平面的两条相交直线和可证明平面，从而可得平面。例7. （2012年江西省文12分）如图，在梯形abcd中，abcd，e，f是线段ab上的两点，且deab，cfab，ab=12，ad=5，bc=4，de=4.现将ade，cfb分别沿de，cf折起，使a，b两点重合与点g，得到多面体cdefg.（1）求证：平面deg平面cfg；（2）求多面体cdefg的体积。【答案】解：（1）证明：在平面图中，abcd，deef，cfef，四边形cdef为矩形。deab，ad=5，de=4，bc=4，ae=3，bf=4。ab=12，ef=5。将ade，cfb分别沿de，cf折起，使a，b两点重合与点g，得到多面体cdefg，ge=ae=3，gf=bf=4。在efg中，有，eggf。又cfef，cffg，effg=f，cf平面efg。又eg平面efg，cfeg。eg平面cfg，即平面deg平面cfg。（2）在平面egf中，过点g作ghef于h，则。平面cdef平面efg，gh平面cdef，.。【考点】平面与平面垂直的判定，棱锥的体积。【解析】（1）判断四边形cdef为矩形，然后证明eggf，推出cfeg，然后证明平面deg平面cfg。（2）在平面egf中，过点g作ghef于h，求出gh，说明gh平面cdef，利用求出体积。例8. （2012年浙江省文15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥abcd-a1b1c1d1中，adbc，adab，ab=。ad=2，bc=4，aa1=2，e是dd1的中点，f是平面b1c1e与直线aa1的交点。（1）证明：（i）efa1d1；（ii）ba1平面b1c1ef；（2）求bc1与平面b1c1ef所成的角的正弦值。【答案】（1）证明：（i），平面add1 a1，平面add1 a1.。又平面平面add1 a1=，。又，。（ii），。又，。又，。由（i），e是dd1的中点，f是aa1的中点，即。又，平面。(2) 设与交点为h，连结。由（1）知，是与平面所成的角。如图，在矩形中，由勾股定理得，。又，由rtrt，得，即。又由，得。在rt中，。所以bc与平面所成角的正弦值是。【考点】四棱锥中线线平行，线面垂直和线面角证明和的计算，平面几何知识。【解析】（1）（i）根据一直线平行于两相交平面，则这条直线平行于两平面的交线即可得。 （ii）证明ba1垂直于平面b1c1ef中的两条相交直线和即可。（2）设与交点为h，连结，则是与平面所成的角，应用平面几何勾股定理、相似三角形的知识即可求出，根据锐角三角函数定义即可求得，即bc与平面所成角的正弦值。例9. （2012年湖北省文12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台a1b1c1d1abcd，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱abcda2b2c2d2.（）证明：直线b1d1平面acc2a2；（）现需要对该零部件表面进行防腐处理已知ab10，a1b120，aa230，aa113(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？【答案】解：（）四棱柱abcda2b2c2d2的侧面是全等的矩形，aa2ab，aa2ad。又abada，aa2平面abcd。连接bd，bd平面abcd，aa2bd。底面abcd是正方形，acbd。根据棱台的定义可知，bd与b1d1共面，又已知平面abcd平面a1b1c1d1，且平面bb1d1d平面abcdbd，平面bb1d1d平面a1b1c1d1b1d1，b1d1bd。由aa2bd，acbd，b1d1bd，可得aa2b1d1，acb1d1。又aa2aca，b1d1平面acc2a2。（）四棱柱abcda2b2c2d2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，s1s四棱柱上底面s四棱柱侧面(a2b2)24abaa2102410301 300(cm2)。又四棱台a1b1c1d1abcd的上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，s2s四棱台下底面s四棱台侧面(a1b1)24(aba1b1)h等腰梯形的高2024(1020)1 120(cm2)该实心零部件的表面积为ss1s21 3001 1202 420(cm2)。所需加工处理费为0.2s0.22 420484(元)。【考点】直线与平面垂直的判定，棱柱、棱台的侧面积和表面积。【解析】（）依题意易证acb1d1，aa2b1d1，由线面垂直的判定定理可证直线b1d1平面acc2a2。（）需计算上面四棱柱abcd-a2b2c2d2的表面积（除去下底面的面积）s1，四棱台a1b1c1d1-abcd的表面积（除去下底面的面积）s2即可。例10. （2012年湖南省理12分） 如图，在四棱锥中，平面，是的中点.（）证明：平面；（）若直线pb与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积.【答案】解：（）如图（1），连接ac，ab=4，根据勾股定理得。 又 ，是的中点，。平面，平面 ，。，平面。 （）过点作，分别与相交于点，连接。由（）平面知，平面。为直线与平面所成的角，且，由平面知，为直线与平面所成的角。由题意，知。，。又，四边形是平行四边形。又在中， 。又梯形的面积为四棱锥的体积为。【考点】空间角的应用，几何体体积计算。【解析】（）证明垂直于平面两条相交直线和即可。（）算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积。另解，建立空间直角坐标系，用空间向量求解： 如图，以a为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系。设则相关的各点坐标为：。（）易知，。是平面内的两条相交直线，平面。()由题设和（）知，分别是，的法向量，而pb与所成的角和pb与所成的角相等，。由（）知，由 ，解得。又梯形abcd的面积为，四棱锥的体积为。例11. （2012年湖南省文12分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，（）证明： ；（）若，直线pd与平面pac所成的角为30，求四棱锥的体积. 中国教*育出#版%【答案】解：（）平面，平面，。又是平面内的两条相交直线，平面。又平面，。（）设ac和bd相交于点o，连接po，由（）知，平面，是直线pd和平面所成的角。直线pd与平面pac所成的角为30，。由平面，平面，得。在中，由，得pd=2od。四边形为等腰梯形，均为等腰直角三角形。梯形的高为。梯形面积。在等腰中，。四棱锥的体积为。【考点】空间直线垂直关系的证明，空间角的应用，几何体体积计算。【解析】（）只要由证明垂直于平面内和两条相交直线得到平面，而 平面，从而。 （）由（）知，平面，所以是直线pd和平面所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积。例12. （2012年福建省文12分） 如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m为棱dd1上的一点（i）求三棱锥amcc1的体积；（ii）当a1mmc取得最小值时，求证：b1m平面mac. 【答案】解：（i）由长方体abcda1b1c1d1知，ad平面cdd1c1，点a到平面cdd1c1的距离等于ad1。又=21=1， 。（ii）将侧面cdd1c1绕dd1逆时针转90展开，与侧面add1a1共面(如图)，当a1，m，c共线时，a1mmc取得最小值。由adcd1，aa12，得m为dd1中点连接c1m，在c1mc中，mc1，mc，cc12，ccmcmc2，得cmc190，即cmmc1。又由长方体abcda1b1c1d1知，b1c1平面cdd1c1，b1c1cm。又b1c1c1mc1，cm平面b1c1m，得cmb1m。同理可证，b1mam。又ammcm，b1m平面mac。【考点】棱锥的体积，直线与直线、直线与平面的位置关系。【解析】（i）由题意可知，a到平面cdd1c1的距离等于ad=1，易求=1，从而可求。（ii）侧面cdd1c1绕dd1逆时针转90展开，与侧面add1a1共面，当a1，m，c共线时，a1mmc取得最小值易证cm平面b1c1m，从而cmb1m，同理可证，b1mam，问题得到解决。例13. （2012年陕西省文12分）直三棱柱abc- a1b1c1中，ab=a a1 ， （）证明; （）已知ab=2，bc=，求三棱锥的体积 【答案】解：（i）连接ab1，abc-a1b1c1是直三棱柱，平面abc平面abb1a1。又平面abc平面abb1a1=ab，acab，ac平面abb1a1。ba1平面abb1a1，acba1。矩形abb1a1中，ab=aa1，四边形abb1a1是正方形。ab1ba1。又ab1、ca是平面