【备考】高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 选修4系列 文.DOC

选修4系列n1选修4-1 几何证明选讲21n12013江苏卷 a选修41：几何证明选讲如图11所示，ab和bc分别与圆o相切于点d，c，ac经过圆心o，且bc2oc.求证：ac2ad.图11证明：联结od，因为ab和bc分别与圆o相切于点d，c，所以adoacb90.又因为aa，所以rtadortacb，所以.又bc2oc2od.故ac2ad.n22013江苏卷 b选修42：矩阵与变换已知矩阵a0,2)，b1,0)2,6)，求矩阵a1b.解：设矩阵a的逆矩阵为a,c)b,d)，则1,0)0,2)a,c)b,d)1,0)0,1)即a,2c)b,2d)1,0)0,1)，故a1，b0，c0，d，从而a的逆矩阵为a10,)所以a1b0,)1,0)2,6)1,0)2,3)n32013江苏卷 c选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线c的参数方程为(为参数)，试求直线l和曲线c的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线c的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，1.n42013江苏卷 d选修45：不等式选讲已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0.从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.22n12013辽宁卷 选修41：几何证明选讲如图16，ab为o直径，直线cd与o相切于e，ad垂直cd于d，bc垂直cd于c，ef垂直ab于f，联结ae，be，证明：(1)febceb；(2)ef2adbc.图1622解：证明：(1)由直线cd与o相切，得cebeab.由ab为o的直径，得aeeb，从而eabebf.又efab，得febebf，从而febeab.故febceb.(2)由bcce，efab，febceb，be是公共边，得rtbcertbfe，所以bcbf.类似可证：rtadertafe，得adaf.又在rtaeb中，efab，故fe2afbf.所以ef2adbc.bn12013陕西卷 (几何证明选做题)如图14所示，ab与cd相交于点e，过e作bc的平行线与ad的延长线交于点p，已知ac，pd2da2，则pe_图14解析 利用已知图形关系可得bcepedbap，可得pdepea，可得，而pd2da2，则pa3，则pe2papd6，pe.22n12013新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图16，直线ab为圆的切线，切点为b，点c在圆上，abc的平分线be交圆于点e，db垂直be交圆于点d.(1)证明：dbdc；(2)设圆的半径为1，bc，延长ce交ab于点f，求bcf外接圆的半径图1622解：(1)联结de，交bc于点g.由弦切角定理得，abebce.而abecbe，故cbebce，bece.又因为dbbe，所以de为直径，dce90，由勾股定理可得dbdc.(2)由(1)知，cdebde，dbdc，故dg是bc的中垂线，所以bg.设de的中点为o，联结bo，则bog60，从而abebcecbe30，所以cfbf，故rtbcf外接圆的半径等于.13n12013天津卷 如图12所示，在圆内接梯形abcd中，abdc.过点a作圆的切线与cb的延长线交于点e.若abad5，be4，则弦bd的长为_图1213.解析 联结ac.由圆内接梯形的性质得，dcbabe，dabdcb180，abcdcb180，dababc，dababe180，又adbacb，cabdba，又adbabd，bacbca，bcab5.由切割线定理得ae2beec4(45)36，由cosabecosdab，得，即，解之得bd.22n12013新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图110，cd为abc外接圆的切线，ab的延长线交直线cd于点d，e，f分别为弦ab与弦ac上的点，且bcaedcaf，b，e，f，c四点共圆(1)证明：ca是abc外接圆的直径；(2)若dbbeea，求过b，e，f，c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值图11022解：(1)因为cd为abc外接圆的切线，所以dcba，由题设知，故cdbaef，所以dbcefa.因为b，e，f，c四点共圆，所以cfedbc，故efacfe90.所以cba90，因此ca是abc外接圆的直径图111(2)联结ce，因为cbe90，所以过b，e，f，c四点的圆的直径为ce，由dbbe，有cedc.又bc2dbba2db2，所以ca24db2bc26db2.而dc2dbda3db2，故过b，e，f，c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值为.15n12013广东卷 (几何证明选讲选做题)如图13，在矩形abcd中，ab，bc3，beac，垂足为e，则ed_图1315.解析 ab，bc3ac2 ，ab2aeac，ae.又tanacb，acb，故ead.在aed中，由余弦定理得ed2ae2ad22aeadcos ead923cos ，故ed.n2选修4-2 矩阵n3选修4-4 参数与参数方程14n32013广东卷 (坐标系与参数方程选做题)已知曲线c的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线c的参数方程为_14.(为参数)解析 将曲线c的极坐标方程2cos 化为普通方程为(x1)2y21，则其参数方程为(为参数)11n32013湖南卷 在平面直角坐标系xoy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为_114解析 l1：即x2y10，l2：即2xaya0.由两直线平行，得，解得a4.23n32013辽宁卷 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆c1，直线c2的极坐标方程分别为4sin ，cos2 .(1)求c1与c2交点的极坐标；(2)设p为c1的圆心，q为c1与c2交点连线的中点已知直线pq的参数方程为(tr为参数)，求a，b的值23解：(1)圆c1的直角坐标方程为x2(y2)24.直线c2的直角坐标方程为xy40.解得所以c1与c2交点的极坐标为4，2 ，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，p点与q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线pq的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得yx1.所以解得a1，b2.23n32013新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程已知动点p，q都在曲线c：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，m为pq的中点(1)求m的轨迹的参数方程；(2)将m到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断m的轨迹是否过坐标原点23解：(1)依题意有p(2cos ，2sin )，q(2cos 2 ，2sin 2)，因此m(cos cos 2，sin sin 2)m的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)m点到坐标原点的距离d(00，b0，已知函数f(x).(1)当ab时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数(i)判断f(1)，f，f是否成等比数列，并证明ff；(ii)a，b的几何平均数记为g，称为a，b的调和平均数，记为h.若hf(x)g，求x的取值范围21解：(1)f(x)的定义域为(，1)(1，)，f(x).当ab时，f(x)0，函数f(x)在(，1)，(1，)上单调递增；当ab时，f(x)0，函数f(x)在(，1)，(1，)上单调递减(2)(i)计算得f(1)0，f0，f0.故f(1)fab，即f(1)f.所以f(1)，f，f成等比数列因，即f(1)f，结合得ff.(ii)由(i)知fh，fg，故由hf(x)g，得ff(x)f.当ab时，ff(x)fa.这时，x的取值范围为(0，)；当ab时，01，从而，由f(x)在(0，)上单调递增与式，得x，即x的取值范围为；当ab时，1，从而，由f(x)在(0，)上单调递减与式，得x，即x的取值范围为.24n42013辽宁卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值24解：(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x2，则关于实数x的不等式|xa|xb|2的解集是_(，)解析 利用绝对值不等式的性质可得|xa|xb|(xa)(xb)|ba|ab|.又由|ab|2恒成立，故不等式解集为(，)14n42013天津卷 设ab2，b0，则的最小值为_14.解析 21.24n42013新课标全国卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围24解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x(0，2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2，即a.从而a的取值范围是.n5选修4-7 优选法与试验设计p图113bp2013安徽卷 如图11所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为()a.b.c.d.3c解析 依次运算的结果是s，n4；s，n6；s，n8，此时输出s，故输出结果是.12013漳州五校期末 在平面直角坐标系xoy中，已知曲线c的参数方程为(为参数)以直角坐标系原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos2 .(1)求直线l的直角坐标方程；(2)点p为曲线c上的动点，求点p到直线l距离的最大值2解：(1)cos2 化简为cos sin 4，直线l的直角坐标方程为xy4.(2)设点p的坐标为(2cos ，sin )，得p到直线l的距离d，即d，其中cos ，sin .当sin()1时，dmax2 .42013云南师大附中月考 如图x84所示，已知圆o外有一点p，作圆o的切线pm，m为切点，过pm的中点n，作割线nab，交圆于a，b两点，联结pa并延长，交圆o于点c，连pb交圆o于点d，若mcbc.(1)求证：apmabp；