【四维备课】高中数学 3.1.1—2《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案 新人教A版必修4.doc

3.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学案【学习目标】1.掌握两角和与差公式的推导过程；2.培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；3.发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质；4.引导学生建立两角差的余弦公式.通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.【导入新课】创设情景，揭示课题以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题.并针对问题中的用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题.教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的c点处往该点正对的地面上的a点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)问题：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ，？（2）设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向.新授课阶段一、两角差的余弦公式的推导过程1.三角函数线法：问：怎样作出角、的终边？怎样作出角的余弦线om？怎样利用几何直观寻找om的表示式？设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识.（1） 设角终边与单位圆地交点为p1，.（2） 过点p作pmx轴于点m，那么om就是 的余弦线.（3） 过点p作paop1于a，过点a作abx轴于b，过点p作pcab于c那么oa表示 ，ap 表示，并且于是om=ob+bm=ob+cp=oa+ap=最后要提醒注意，公式推导的前提条件：、都是锐角，且.2.向量法：问：结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果？ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论.设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性.如图,建立单位圆o aobxy由向量数量积的概念,有 由向量数量积的坐标表示,有因为 、都是任 意 角,所以也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个，使得 . 于是对于任意角、都有， 例1 利用差角余弦公式求的值. （求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）解： （让学生联系公式和本题的条件，考虑清楚要计算，应作那些准备.） 解： 二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导与运用 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到注意：以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？注意： 例3 已知是第四象限角，求的值.解： 例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）分析： 解： 例5 化简解： 思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.课堂小结本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.作业见同步练习拓展提升一、选择题1. 的值为 （ ）a. b. c. d. 2. 的值为 （ ）a. b. c. d .3.已知，则的值等于（ ）a. b. c. d. (a) (b) (c) (d)(a) (b) (d)(a) (b) (c) (d)二、填空题7.化简= 8.若，则= 三、解答题12.已知，求的值.参考答案例1. 解法1：解法2：例2 解：由，得又由，是第三象限角，得所以让学生结合公式，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决. 例3 解：因为是第四象限角，得， ，于是有 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？例4 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）；（2）；（3）例5 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 思考：是怎