【备考】全国名校高考数学试题分类汇编（12月 第一期）B11 导数及其运算（含解析）.doc

b11 导数及其运算【数学理卷2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】20. （本题满分13分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.()求实数的值;()设,讨论的单调性;()已知且,证明:【知识点】导数的几何意义；导数的应用；不等式的证明. b11 b12 e7【答案】【解析】（）1；() 在区间和都是单调递增的，此函数无减区间；() 证明：见解析. 解析：（） 所以1分由题意,得3分()，所以4分设当时，是增函数，所以，故在上为增函数； 5分当时，是减函数，所以，故在上为增函数；所以在区间和都是单调递增的。 8分()因为，由（）知成立，即，9分从而，即 12分 所以。13分【思路点拨】（）、由导数的几何意义得 ，解得m值；()、定义域上导函数大于零的x范围是增区间，导函数小于零的x范围是减区间；()、由()知在上单调递增，而，所以，即.【典例剖析】综合法是证明不等式的常用方法，但寻找推证不等式的基础不等式比较困难.本题第()问的证明，采用了第()问的结论：函数在上单调递增，从而得，由此变形、拆项，再用对数函数的性质证得结论,总的来说这是一个较典型的考题.【数学理卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】21、（本小题满分12分） 已知函数，在处的切线与直线垂直，函数 （1）求实数的值； （2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值。【知识点】导数与函数.b11,b12【答案】【解析】(1) a=1（2）b|b3（3）2ln2 解析：解：（1）f（x）=x+alnx，f（x）=1+，f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，k=f（x）|x=1=1+a=2，解得a=1（2）g（x）=lnx+（b1）x，g（x）=，x0，由题意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，定义域x0，x+2，x+b1有解，只需要x+的最小值小于b1，2b1，解得实数b的取值范围是b|b3（3）g（x）=lnx+（b1）x，g（x）=0，x1+x2=b1，x1x2=1g（x1）g（x2）=ln（）0x1x2，设t=，0t1，令h（t）=lnt（t），0t1，则h（t）=0，h（t）在（0，1）上单调递减，又b，（b1）2，0t1，4t217t+40，0t，h（t）h（）=2ln2，故所求的最小值为2ln2【思路点拨】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值（2），由题意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，由此能求出实数b的取值范围（3）g（x1）g（x2）=ln（），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）g（x2）的最大值【数学理卷2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）(1)】21. （14分）设函数,.（1）求的极大值；（2）求证：（3）当方程有唯一解时，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在.研究的值的个数；若不存在，请说明理由.【知识点】导数.b11【答案】【解析】(1) (2) (3)略解析：（1）由得从而在单调递增,在单调递减. 4分（2）证明： 6分分别令 ， 9分（3）解：由（1）的结论：方程有唯一解 函数假设的图象在其公共点处存在公切线， 由得：，即： 又函数的定义域为：当时， 函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，令即： 即：下面研究方程在解的个数令： 在递减，递增； 且且当； 当在有两个零点方程在解的个数为2综上：当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，符合题意的的值有2个 【思路点拨】利用导数研究函数的最值，再根据导数证明函数的单调性来证明不等式，构造函数说明结论.【数学文卷2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】21.（本小题满分14分）.已知函数，（a为实数）() 当a=5时，求函数在处的切线方程；() 求在区间t，t+2（t 0）上的最小值；() 若存在两不等实根，使方程成立，求实数a的取值范围【知识点】导数；导数与函数的最值；导数与函数的单调性.b3,b11【答案】【解析】(i) (ii) 当时 (iii) 解析：()当时,. 1分，故切线的斜率为. 2分所以切线方程为:,即. 4分(), 6分 当时,在区间上为增函数, 所以 7分当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数, 所以 8分() 由，可得：， 9分, 令, . 10分, . 实数的取值范围为 . 14分【思路点拨】根据导数求出切线斜率，再列出切线方程，再根据函数的导数判定函数的单调性，讨论t的取值范围求出函数的最小值，第三问利用导数与已知条件可解出a的取值范围.【数学文卷2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】9、已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）a b c d 【知识点】导数与函数的单调性 b11,b12【答案】【解析】a 解析：构造函数g（x）=，则g（x）=（f（x）cosx+f（x）sinx），对任意的x（，）满足f（x）cosx+f（x）sinx0，g（x）0，即函数g（x）在x（，）单调递增，则g（）g（），即，即f（）f（），故a正确g（0）g（），即，f（0）2f（），故选：a【思路点拨】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论【数学文卷2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】6、已知函数，则它们的图象可能是【知识点】导数 b11【答案】【解析】b 解析：因为，则函数即图象的对称轴为，故可排除；由选项的图象可知，当时，故函数在上单调递增，但图象中函数在上不具有单调性，故排除本题应选【思路点拨】根据函数的导数判定函数的单调性，再根据图像找出正确结果.【数学文卷2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】19. （本小题满分13分）已知函数()讨论函数在定义域内的极值点的个数；()若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；【知识点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件b11 b12【答案】【解析】() 当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点 () 。 解析：()，当时，在上恒成立，函数 在单调递减，在上没有极值点；当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点6分()函数在处取得极值，令， 可得在上递减，在上递增，即13分【思路点拨】() 由f（x）=ax1lnx可求得f（x）=，对a分a0与a0讨论f（x）的符号，从而确定f（x）在其定义域（0，+）单调性与极值，可得答案； () 函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）bx21+b，构造函数g（x）=1+，g（x）min即为所求的b的值【数学文卷2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】15、对于三次函数，给出定义：设是函数 的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。若，请你根据这一发现，求解下列问题：（1）函数的对称中心为 ;（2）计算： 【知识点】函数的值；函数的零点；导数的运算b1 b9 b11【答案】【解析】（1） （2）2012 解析：（1）f（x）=x3x2+3x，f（x）=x2x+3，f（x）=2x1，令f（x）=2x1=0，得x=，f（）=+3=1，f（x）=x3x2+3x的对称中心为，（2）f（x）=x3x2+3x的对称中心为，f（x）+f（1x）=2，=21006=2012故答案为：，2012【思路点拨】（1）根据函数f（x）的解析式求出f（x）和f（x），令f（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数的对称中心（2）由的对称中心为，知f（x）+f（1x）=2，由此能够求出【数学文卷2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】10.已知定义在r上的奇函数f(x)，设其导函数为f(x)，当x(，0时，恒有xf(x)f(2x1)的实数x的取值范围是(c) a. b(2,1) c(1,2) d. 【知识点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算b11【答案】【解析】c 解析：由f(x)xf(x)，得f(x)f(x)xf(x)xf(x)f(x)0，所以f(x)在(，0)上单调递减，又可证f(x)为偶函数，从而f(x)在0，)上单调递增，故原不等式可化为32x13，解得1x2.【思路点拨】根据函数的奇偶性和条件，判断函数f（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【数学文卷2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】13、若函数有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是 .【知识点】利用导数研究函数的单调性b11【答案】【解析】或 解析：函数有三个不同的单调区间，的图象与x轴有两个交点，或，故答案为：或【思路点拨】根据函数有三个不同的单调区间，可知y有正有负，而导函数是二次函数，故导函数的图象与x轴有两个交点，0，即可求得a的取值范围【数学文卷2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】6. 函数在点处的切线斜率是（ ） a. b. c. d. 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程b11【答案】【解析】c 解析：由得，故选：c【思路点拨】求出原函数的导函数，然后直接取得在点处的导数值，即切线的斜率【数学文卷2015届江西省师大附中高三上学期期中考试（201411）】4若函数，则此函数图像在点(4，f(4)处的切线的倾斜角为( )a. b0 c钝角d锐角【知识点】导数的几何意义b11【答案】【解析】c 解析：因为，则切线的斜率小于0，所以切线的倾斜角为钝角，则选c.【思路点拨】抓住在点(4，f(4)处的切线的斜率等于函数在x=4处的导数值，再通过判断斜率的符号判断倾斜角的范围.【数学文卷2015届安徽省“江淮十校”高三11月联考（201411）word版】21. （本题满分14分）已知（1）请写出的表达式（不需要证明）；（2）记的最小值为，求函数的最小值;(3)对于(1)中的，设，其中是自然对数的底数），若方程有两个不同实根，求实数的取值范围.【知识点】导数的运算 导数的应用b11 b12【答案】【解析】（1）；(2) ；(3) .解析：解 （1） 3分(2)， 4分易知，当时，；当时， 7分易知函数单调递增，的最小值是； 8分（3），方程即为 ；又，其中，易知在递减，在递增，且当时，；当时，； 10分而，当时， 12分故要使方程有两个根，则， 13分得 14分【思路点拨】根据导数的运算可求得，再根据，求得函数的单调区间，进而，而函数单调递增，；由方程，求导可知，因为，所以，要使方程有两个根，只需.【数学文卷2015届安徽省“江淮十校”高三11月联考（201411）word版】21. （本题满分14分）已知（1）请写出的表达式（不需要证明）；（2）记的最小值为，求函数的最小值;(3)对于(1)中的，设，其中是自然对数的底数），若方程有两个不同实根，求实数的取值范围.【知识点】导数的运算 导数的应用b11 b12【答案】【解析】（1）；(2) ；(3) .解析：解 （1） 3分(2)， 4分易知，当时，；当时， 7分易知函数单调递增，的最小值是； 8分（3），方程即为 ；又，其中，易知在递减，在递增，且当时，；当时，； 10分而，当时， 12分故要使方程有两个根，则， 13分得 14分【思路点拨】根据导数的运算可求得，再根据，求得函数的单调区间，进而，而函数单调递增，