【备考】全国数学试题分类解析汇编（11月第四期）G单元 立体几何.doc

g单元 立体几何 目录g单元 立体几何1g1 空间几何体的结构2g2 空间几何体的三视图和直观图2g3 平面的基本性质、空间两条直线2g4 空间中的平行关系2g5 空间中的垂直关系2g6 三垂线定理2g7 棱柱与棱锥2g8 多面体与球2g9空间向量及运算2g10 空间向量解决线面位置关系2g11 空间角与距离的求法2g12 单元综合2g1 空间几何体的结构【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】12.将长、宽分别为4和3的长方形abcd沿对角线ac折起，得到四面体a-bcd，则四面体a- bcd的外接球的体积为_.【知识点】几何体的结构；球的体积. g1【答案】【解析】解析： 因为线段ac中点o到四个顶点的距离都是，所以o为球心，为半径，所以四面体a- bcd的外接球的体积为：.【思路点拨】易得四面体a- bcd的外接球的球心为线段ac的中点，由此求得此球的体积.【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】8如图，在透明塑料制成的长方体abcd-a1b1c1d1容器内灌进一些水，将容器底面一边bc固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： 水的部分始终呈棱柱状； 水面四边形efgh的面积不改变； 棱a1d1始终与水面efgh平行； 当eaa1时，ae+bf是定值 其中正确说法是 a b c d 【知识点】几何体的结构. g1【答案】【解析】d解析：显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故正确；容器倾斜度越大，水面四边形efgh的面积越大，故不正确；显然棱a1d1始终与水面efgh平行，故正确；由于水的体积不变，四棱柱abfe-dcgh的高不变，所以梯形abfe的面积不变，所以ae+bf是定值，故正确.所以四个命题中 正确，故选d.【思路点拨】根据棱柱的性质逐一判定每个命题的正误即可.【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】17.（本小题满分12分） 如图，四边形abcd是边长为2的正方形，abe为等腰三角形，ae=be=,平面abcd平面abe.(1)求证：平面ade平面bce；(2)求三棱锥dace的体积.【知识点】线面垂直的判定；锥体的体积公式. g5 g1【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）解析：（1）四边形abcd是正方形，adab.又平面abcd平面abe,平面abcd平面abe=ab，ad平面abcd，ad平面abe，而be平面abe，adbe.又ae=be=,ab=2，,aebe.而adae=a，ad、ae平面ade，be平面ade，而be平面bce,平面ade平面bce.（6分）（2）取ab的中点o，连接oe，abe是等腰三角形，oeab.又ad平面abe，oe平面abe，adoe,oe平面abcd,即oe是三棱锥dace的高.又ab=ae=be=2，oe=1，.-（12分）【思路点拨】（1）根据线面垂直的判定定理，只需在平面bce内找到直线与平面ade垂直即可，易知此直线是be；（2）利用等体积转化法，转化为求三棱锥e-acd的体积即可.【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】7、下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）abcd【知识点】几何体的三视图体现的几何体的结构. g1 g2【答案】【解析】a解析：由三视图可知此几何体为：底面是长6、宽2的矩形，顶点在底面上摄影是，底面矩形边长为6 的一边的中点，且此四棱锥的高为4，所以其表面积为：=.故选a.【思路点拨】由三视图得此四棱锥的结构特点，从而求得该几何体的表面积.g2 空间几何体的三视图和直观图【数学理卷2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）(1)】15.正四面体abcd的外接球的体积为，则正四面体abcd的体积是_.【知识点】几何体的体积.g2【答案】【解析】 解析：设正四面体的棱长为x，则底面三角形的高为，即有，棱锥的高为，由于外接球的体积为，在直角三角形得，则正四面体的体积为所以答案为【思路点拨】由几何体的体积公式可求出其体积.【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】7.多面体mn-abcd的底面abcd为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则am的长 a.b.c.d.【知识点】几何体的三视图. g2【答案】【解析】b解析：在直观图中，过m作mh垂直于ab,垂足为h，则直角三角形ahm中，ah=1，mh=2，所以am=，故选b.【思路点拨】由三视图得原几何体的结构，由此在直观图中，适当添加辅助线，求得am长.【数学理卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】4将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ） 【知识点】空间几何体的三视图.g2【答案】【解析】b 解析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，ad1在右侧的射影是正方形的对角线，b1c在右侧的射影也是对角线是虚线故选b【思路点拨】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可【数学文卷2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（201411）】5一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为( )cm2。 a48 b144 c80 d64【知识点】空间几何体的三视图和直观图g2【答案解析】c 三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5cm，底面边长是8cm，侧面积为 485=80（cm2）；故选c【思路点拨】先判断三视图复原的几何体的形状，结合三视图的数据，确定斜高，再求侧面积 【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于a.12b.4c.d.【知识点】几何体的三视图. g2【答案】【解析】b解析：由三视图可知此几何体是底面为直角梯形（其上底长2，下底长4，高2），高为2的四棱锥，所以其体积为，故选b.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得该几何体的体积.【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 （）abcd【知识点】空间几何体的三视图和直观图g2【答案解析】a 由三视图知：几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，其中半圆锥与四棱锥的高都为，半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，几何体的体积v= + 22= + 故答案为：【思路点拨】几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，根据三视图判断半圆锥与四棱锥的高及半圆锥的底面半径，判断四棱锥的底面四边形的形状及相关几何量的数据，把数据代入圆锥与棱锥的体积公式计算【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】7、下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）abcd【知识点】几何体的三视图体现的几何体的结构. g1 g2【答案】【解析】a解析：由三视图可知此几何体为：底面是长6、宽2的矩形，顶点在底面上摄影是，底面矩形边长为6 的一边的中点，且此四棱锥的高为4，所以其表面积为：=.故选a.【思路点拨】由三视图得此四棱锥的结构特点，从而求得该几何体的表面积.g3 平面的基本性质、空间两条直线【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】 15已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角为 【知识点】空间两条直线g3【答案解析】 取中点，则取中点，则， 为与所成的角。【思路点拨】异面直线所成的角通过作平行线转化成平面角求出。g4 空间中的平行关系【数学（理）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411） word版】5.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是a.若，则lmb.若lm，则c.若lm，,则d.若,则【知识点】空间中线线、线面间的位置关系.g4 g5 【答案】【解析】a 解析：对于a，若，则lm，故a正确；对于b，若lm，则或或，故b错误；对于c，若lm，,则或，故c错误；对于d，若,则或重合或异面；故d错误；故选a.【思路点拨】利用空间中线线、线面间的位置关系进行判断即可。【数学（文）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】5.对于平面和直线，下列命题中真命题是a.若则ab；b.若ab，则；c.若，则；d.若am，an，则；【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间图形的公理g4 g5 【答案】【解析】a 解析：由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，可判断若则ab为真命题，a正确;若ab，此时由线面平行的判定定理可知，只有当a在平面外时，才有，故b错误；若，此时由面面平行的判定定理可知，只有当a、b为相交线时，才有故c错误；若am，an，由线面垂直的判定定理知，只有当m和n为相交线时，才有，d错误；故选a.【思路点拨】由线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以此判断即可。【典例剖析】本题主要考查了对线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理内容的理解和它们的字母符号表达形式，熟记公式推理严密是解决本题的关键。【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】20.（本小题满分13分）如图，、是以为直径的圆上两点， 是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系g4 g5【答案解析】（1）略（2）略（3）（1）证明：依题 平面 平面 （2）证明：中， 中， 在平面外 平面 （3）解：由（2）知，且 到的距离等于到的距离为1 平面 【思路点拨】根据线面垂直平行证明，根据体积公式求体积。【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】6.设、是两个不同的平面，、为两条不同的直线，命题：若平面，则；命题：，则，则下列命题为真命题的是 （ ）a或 b且 c或 d且【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系g4 g5【答案解析】c 在长方体abcd-a1b1c1d1中命题p：平面ac为平面，平面a1c1为平面，直线a1d1，和直线ab分别是直线m，l，显然满足，l，m，而m与l异面，故命题p不正确；-p正确；命题q：平面ac为平面，平面a1c1为平面，直线a1d1，和直线ab分别是直线m，l，显然满足l，ml，m，而，故命题q不正确；-q正确；故选c【思路点拨】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可【数学文卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】18.（本小题满分14分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定g4 g7【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 解析：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则ef为中位线2分而面，面面4分（2）等腰直角三角形bcd中，f为bd中点5分正方体，7分综合，且，而，9分（3）由（2）可知 即cf为高 ，10分， 即12分=14分【思路点拨】（1）欲证ef平面abc1d1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证ef与平面abc1d1内一直线平行即可，连接bd1，在dd1b中，e、f分别为d1d，db的中点，则efd1b，而d1b平面abc1d1，ef平面abc1d1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出cf平面bb1d1d，再由线面垂直的性质证明cfb1e即可；（3）由题意，可先证明出cf平面bdd1b1，由此得出三棱锥的高，再求出底面b1ef的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积g5 空间中的垂直关系【数学（理）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411） word版】18.（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（i）证明：bn平面c1b1n;（ii）设直线c1n与cnb1所成的角为，求的值.【知识点】线面垂直的判定定理；线面角.g5 g11 【答案】【解析】（i）见解析；（ii）。 解析：（1）证明：方法一：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则,且在面内，易证为直角。 , ,方法二：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 则,两两垂直。以,分别为,轴建立空间直角坐标系，则,，,6分(2)方法一：利用等体积法可求到面的距离为， 则直线与平面所成的角的正弦值为，从而方法二：设为平面的一个法向量，则 即，令，则。又则,从而12分【思路点拨】（i）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；（ii）先利用等体积法可求到面的距离。【数学（理）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411） word版】5.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是a.若，则lmb.若lm，则c.若lm，,则d.若,则【知识点】空间中线线、线面间的位置关系.g4 g5 【答案】【解析】a 解析：对于a，若，则lm，故a正确；对于b，若lm，则或或，故b错误；对于c，若lm，,则或，故c错误；对于d，若,则或重合或异面；故d错误；故选a.【思路点拨】利用空间中线线、线面间的位置关系进行判断即可。【数学（文）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】18.（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（i）证明：bn平面c1b1n;（ii）求三棱锥c1cnb1的体积.【知识点】线面垂直的判定定理；棱锥的体积.g5 g7 【答案】【解析】（1）见解析；(2) 解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则,且在面内，易证为直角。 , , 6分 (2) 由等体积法,12分【思路点拨】（1）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；(2) 先利用等体积法可求到面的距离。【数学（文）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】5.对于平面和直线，下列命题中真命题是a.若则ab；b.若ab，则；c.若，则；d.若am，an，则；【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间图形的公理g4 g5 【答案】【解析】a 解析：由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，可判断若则ab为真命题，a正确;若ab，此时由线面平行的判定定理可知，只有当a在平面外时，才有，故b错误；若，此时由面面平行的判定定理可知，只有当a、b为相交线时，才有故c错误；若am，an，由线面垂直的判定定理知，只有当m和n为相交线时，才有，d错误；故选a.【思路点拨】由线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以此判断即可。【典例剖析】本题主要考查了对线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理内容的理解和它们的字母符号表达形式，熟记公式推理严密是解决本题的关键。【数学理卷2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）(1)】19.在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【知识点】面面垂直，直线与平面所成的角，点到平面的距离.g5,g11,h2【答案】【解析】(1)略(2) (3) 解析：（1）依题设知，ac是所作球面的直径，则ammc。又因为p a平面abcd，则pacd，又cdad，所以cd平面，则cdam，所以a m平面pcd，所以平面abm平面pcd。（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设d到平面acm的距离为，由即，可求得，设所求角为，则。（3） 可求得pc=6。因为annc，由，得pn。所以。故n点到平面acm的距离等于p点到平面acm距离的。又因为m是pd的中点，则p、d到平面acm的距离相等，由（2）可知所求距离为.【思路点拨】由已知条件可判定面面垂直，再由等体积法求出距离，再按比例关系求出点到平面的距离.【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】17.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc=90，平面pad底面abcd，q为ad的中点，m是棱pc上的点，pa=pd=2，bc=ad=1，cd=(1)求证：平面pqb平面pad；(2)若二面角m-bq-c为30。，设pm=tmc，试确定t的值【知识点】 面面垂直的判定；二面角的应用. g5 g11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）3.解析：（1）adbc，bc=ad，q为ad的中点， 四边形bcdq为平行四边形，cd/bq.（2分）adc=90， aqb=90，即qbad.又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad，（4分）bq平面pad，（5分）bq平面pqb，平面pqb平面pad.（6分）另证：adbc，bc=ad，q为ad的中点，bc/dq且bc=dq四边形bcdq为平行四边形，cd/bq.adc=90， aqb=90，即qbad.（3分）pa=pd，pqad.（4分）pqbq=q，ad平面pbq，（5分）ad面pad，平面pqb平面pad.（6分）（2）pa=pd，q为ad的中点，pqad.平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad，pq平面abcd.-（7分）（不证明pq平面abcd直接建系扣1分）以q为原点qa为x轴，qb为y轴，qp为z轴建立空间直角坐标系.则平面 bqc的法向量为：（8分）设，则， 且m在棱pc上，所以t0,（10分）在平面mbq中，平面mbq的法向量.二面角m-bq-c为30。，t=3.（12分） 【思路点拨】（1）根据面面垂直的判定定理，只需在其中一个平面内找到一条直线，垂直于另一个平面即可，为此,可证；（2）证明pq平面abcd，以q为原点建立空间直角坐标系，得平面 bqc的法向量，用t表示平面mbq的法向量的坐标，由，求得t值.【数学理卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】17.（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，且底面， ，点为中点，点为中点.（1）求证：平面平面；（2）设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，求的值.【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定g10 g5【答案】【解析】（1）见解析；（2）解析：（1），又，则，即.又底面，而则平面，又平面，平面平面. 5分（2）为二面角的平面角，则， .7分过作的垂线，垂足为，连结，又平面，则平面，为直线与平面所成的角， 9分易得， 11分则，即. 12分【思路点拨】（1）由已知中，点为中点，我们易得到aeb=60，ced=30，进而得到aeed，又由aa1底面abcd，得aa1ed，结合线面垂直的判定定理得到ed平面aa1ef，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面a1ed平面a1aef（2）过a作a1e的垂线，垂足为h，连结hd，由已知条件推导出a1ed为二面角a1eda的平面角，adh为直线ad与平面a1ed所成的角，由此能求出sin（+）=1【数学理卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】17（本小题满分14分）在三棱柱abca1b1c1中，已知，在底面的射影是线段的中点（）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（ii）求二面角的余弦值【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定g5 g11【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：()证明:连接ao,再中,作于点e,因为,所以,因为,所以,所以,所以，又得.()如图,分别以oa,ob, 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,由,得点e的坐标是,由()知平面的一个法向量为设平面的法向量是,由得可取,所以.【思路点拨】()连接ao，在aoa1中，作oeaa1于点e，则e为所求可以证出oebb1，bcoe而得以证明在rt中，利用直角三角形射影定理得出eo()如图，分别以oa，ob，oa1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面a1b1c的法向量是，利用夹角求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值【数学文卷2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（201411）】 20.(本题12分）如图，是矩形中边上的点，为边的中点， 现将沿边折至位置，且平面平面. 求证：平面平面； 求四棱锥的体积. 【知识点】空间中的垂直关系g5【答案解析】(1) 略(2) (1) 证明：由题可知，(2) ，则.【思路点拨】利用线面垂直证明面面垂直，利用体积公式求出体积。【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】17.（本小题满分12分） 如图，四边形abcd是边长为2的正方形，abe为等腰三角形，ae=be=,平面abcd平面abe.(1)求证：平面ade平面bce；(2)求三棱锥dace的体积.【知识点】线面垂直的判定；锥体的体积公式. g5 g1【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）解析：（1）四边形abcd是正方形，adab.又平面abcd平面abe,平面abcd平面abe=ab，ad平面abcd，ad平面abe，而be平面abe，adbe.又ae=be=,ab=2，,aebe.而adae=a，ad、ae平面ade，be平面ade，而be平面bce,平面ade平面bce.（6分）（2）取ab的中点o，连接oe，abe是等腰三角形，oeab.又ad平面abe，oe平面abe，adoe,oe平面abcd,即oe是三棱锥dace的高.又ab=ae=be=2，oe=1，.-（12分）【思路点拨】（1）根据线面垂直的判定定理，只需在平面bce内找到直线与平面ade垂直即可，易知此直线是be；（2）利用等体积转化法，转化为求三棱锥e-acd的体积即可.【数学文卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】18. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，bac90，abac，aa13，d是bc的中点，点e在棱bb1上运动（1）证明：adc1e；（2）当异面直线ac，c1e 所成的角为60时，求三棱锥c1-a1b1e的体积【知识点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积g5 g7【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）abac，d是bc的中点，adbc 又在直三棱柱abc-a1b1c1中，bb1平面abc，而ad平面abc，adbb1 由，得ad平面bb1c1c由点e在棱bb1上运动，得c1e平面bb1c1c，adc1e6分（2）aca1c1，a1c1e是异面直线ac，c1e 所成的角，由题设，a1c1e60b1a1c1bac90，a1c1a1b1，又aa1a1c1，从而a1c1平面a1abb1，于是a1c1a1e故c1e2，又b1c12，b1e2从而v三棱锥c1-a1b1esa1b1ea1c1212分【思路点拨】（1）根据直三棱柱的性质，得adbb1，等腰abc中利用“三线合一”证出adbc，结合线面垂直判定定理，得ad平面bb1c1c，从而可得adc1e；（2）根据aca1c1，得到ec1a1（或其补角）即为异面直线ac、c1e 所成的角由a1c1a1b1且a1c1aa1，证出a1c1平面aa1b1b，从而在rta1c1e中得到ec1a1=60，利用余弦的定义算出c1e=2a1c1=2，进而得到a1b1e面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥c1a1b1e的体积【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】20.（本小题满分13分）如图，、是以为直径的圆上两点， 是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系g4 g5【答案解析】（1）略（2）略（3）（1）证明：依题 平面 平面 （2）证明：中， 中， 在平面外 平面 （3）解：由（2）知，且 到的距离等于到的距离为1 平面 【思路点拨】根据线面垂直平行证明，根据体积公式求体积。【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】6.设、是两个不同的平面，、为两条不同的直线，命题：若平面，则；命题：，则，则下列命题为真命题的是 （ ）a或 b且 c或 d且【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系g4 g5【答案解析】c 在长方体abcd-a1b1c1d1中命题p：平面ac为平面，平面a1c1为平面，直线a1d1，和直线ab分别是直线m，l，显然满足，l，m，而m与l异面，故命题p不正确；-p正确；命题q：平面ac为平面，平面a1c1为平面，直线a1d1，和直线ab分别是直线m，l，显然满足l，ml，m，而，故命题q不正确；-q正确；故选c【思路点拨】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】19、（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面。 （1）求证：; (2)求与平面所成角的正弦值。【知识点】线面垂直的判定与性质；线面角的求法. g5 g11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）.解析：（1）底面abcd 为菱形，,dm abcd， ,平面pdb,-4分（2）设pd=ad=1，a到平面pbc的距离为h,则由题意pa=pb=pc=,在等腰中，可求解得，-12分【思路点拨】（1）只需证直线ac平面pdb即可；（2）设pd=ad=1，则，要求与平面所成角的正弦值，只需求a到平面pbc的距离为h，可由求得，所以.g6 三垂线定理g7 棱柱与棱锥【数学（文）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】18.（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（i）证明：bn平面c1b1n;（ii）求三棱锥c1cnb1的体积.【知识点】线面垂直的判定定理；棱锥的体积.g5 g7 【答案】【解析】（1）见解析；(2) 解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则,且在面内，易证为直角。 , , 6分 (2) 由等体积法,12分【思路点拨】（1）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；(2) 先利用等体积法可求到面的距离。【数学文卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】18. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，bac90，abac，aa13，d是bc的中点，点e在棱bb1上运动（1）证明：adc1e；（2）当异面直线ac，c1e 所成的角为60时，求三棱锥c1-a1b1e的体积【知识点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积g5 g7【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）abac，d是bc的中点，adbc 又在直三棱柱abc-a1b1c1中，bb1平面abc，而ad平面abc，adbb1 由，得ad平面bb1c1c由点e在棱bb1上运动，得c1e平面bb1c1c，adc1e6分（2）aca1c1，a1c1e是异面直线ac，c1e 所成的角，由题设，a1c1e60b1a1c1bac90，a1c1a1b1，又aa1a1c1，从而a1c1平面a1abb1，于是a1c1a1e故c1e2，又b1c12，b1e2从而v三棱锥c1-a1b1esa1b1ea1c1212分【思路点拨】（1）根据直三棱柱的性质，得adbb1，等腰abc中利用“三线合一”证出adbc，结合线面垂直判定定理，得ad平面bb1c1c，从而可得adc1e；（2）根据aca1c1，得到ec1a1（或其补角）即为异面直线ac、c1e 所成的角由a1c1a1b1且a1c1aa1，证出a1c1平面aa1b1b，从而在rta1c1e中得到ec1a1=60，利用余弦的定义算出c1e=2a1c1=2，进而得到a1b1e面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥c1a1b1e的体积【数学文卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】18.（本小题满分14分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定g4 g7【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 解析：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则ef为中位线2分而面，面面4分（2）等腰直角三角形bcd中，f为bd中点5分正方体，7分综合，且，而，9分（3）由（2）可知 即cf为高 ，10分， 即12分=14分【思路点拨】（1）欲证ef平面abc1d1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证ef与平面abc1d1内一直线平行即可，连接bd1，在dd1b中，e、f分别为d1d，db的中点，则efd1b，而d1b平面abc1d1，ef平面abc1d1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出cf平面bb1d1d，再由线面垂直的性质证明cfb1e即可；（3）由题意，可先证明出cf平面bdd1b1，由此得出三棱锥的高，再求出底面b1ef的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积【数学文卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】7.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（ ） a.b. c.d. 【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积g7【答案】【解析】c 解析：正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，d为bc中点，底面b1dc1的面积：，a到底面的距离就是底面正三角形的高：三棱锥ab1dc1的体积为：故选：c【思路点拨】由题意求出底面b1dc1的面积，求出a到底面的距离，即可求解三棱锥的体积g8 多面体与球【数学文卷2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（201411）】14、已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。【知识点】多面体与球g8【答案解析】8 矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥o-abcd的体积为：622=8故答案为：8【思路点拨】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】9、三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面，则该球的体积为（ ）a b c d 【知识点】几何体的结构；三棱锥的外接球. g8 【答案】【解析】b解析：由正弦定理得abc 的外接圆直径2r=，则球的半径为：，所以该球的体积为 ，故选b.【思路点拨】过点a 的abc的外接圆直径，与线段ap构成的直角三角形的斜边，是球的直径，利用正弦定理，勾股定理可求得结论.g9空间向量及运算g10 空间向量解决线面位置关系【数学理卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】17.（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，且底面， ，点为中点，点为中点.（1）求证：平面平面；（2）设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，求的值.【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定g10 g5【答案】【解析】（1）见解析；（2）解析：（1），又，则，即.又底面，而则平面，又平面，平面平面. 5分（2）为二面角的平面角，则， .7分过作的垂线，垂足为，连结，又平面，则平面，为直线与平面所成的角， 9分易得， 11分则，即. 12分【思路点拨】（1）由已知中，点为中点，我们易得到aeb=60，ced=30，进而得到aeed，又由aa1底面abcd，得aa1ed，结合线面垂直的判定定理得到ed平面aa1ef，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面a1ed平面a1aef（2）过a作a1e的垂线，垂足为h，连结hd，由已知条件推导出a1ed为二面角a1eda的平面角，adh为直线ad与平面a1ed所成的角，由此能求出sin（+）=1g11 空间角与距离的求法【数学（理）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411） word版】18.（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（i）证明：bn平面c1b1n;（ii）设直线c1n与cnb1所成的角为，求的值.【知识点】线面垂直的判定定理；线面角.g5 g11 【答案】【解析】（i）见解析；（ii）。 解析：（1）证明：方法一：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则,且在面内，易证为直角。 , ,方法二：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 则,两两垂直。以,分别为,轴建立空间直角坐标系，则,，,6分(2)方法一：利用等体积法可求到面的距离为， 则直线与平面所成的角的正弦值为，从而方法二：设为平面的一个法向量，则 即，令，则。又则,从而12分【思路点拨】（i）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；（ii）先利用等体积法可求到面的距离。【数学理卷2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）(1)】19.在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【知识点】面面垂直，直线与平面所成的角，点到平面的距离.g5,g11,h2【答案】【解析】(1)略(2) (3) 解析：（1）依题设知，ac是所作球面的直径，则ammc。又因为p a平面abcd，则pacd，又cdad，所以cd平面，则cdam，所以a m平面pcd，所以平面abm平面pcd。（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设d到平面acm的距离为，由即，可求得，设所求角为，则。（4） 可求得pc=6。因为annc，由，得pn。所以。故n点到平面acm的距离