【名师导学】高中数学 第二章 推理与证明（含解析）苏教版选修22.doc

第1课时合情推理归纳推理 教学过程一、 问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、 数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1. 归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2. 归纳推理的思维规程大致为:实验、观察概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1) 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2) 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3) 归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、 数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.3(见学生用书p33)处理建议题目简单,让学生自己解答.规范板书解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】 三角形的内角和是180,凸四边形的内角和是360,凸五边形的内角和是540,由此我们猜想:(n-2)180.4(见学生用书p33)处理建议先由学生讨论,说出推理的理由.规范板书解对于凸n边形,n=3时,内角和180=1801;n=4时,内角和360=1802;n=5时,内角和540=1803;由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)180.(2) ,由此我们猜想:(a,b,m均为正实数).5处理建议先由学生讨论,说出推理的理由.规范板书解由此我们猜想:(a,b,m均是正实数).或者:0).题后反思根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.6(见学生用书p33)(例3)处理建议先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+(n+1)=.题后反思根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1) 寻找它们的共同特征,如例1;(2) 寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180;(3) 结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.归纳推理的一般模式:s1具有性质p,s2具有性质p,s3具有性质p,sn具有性质p(s1,s2,s3,sn是a类事物的具体对象).所以,a类事物具有性质p.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,=+1(n=1,2,3,),试归纳出数列an的一个通项公式.(见学生用书p34)处理建议先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.规范板书解当n=1时,a1=1=;当n=2时,a2=;当n=3时,a3=;由此我们猜想an的一个通项公式为an=.四、 课堂练习1. (1) 一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.(2) 先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,1+3+5+(2n-1)=n2.2. 对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(mn*)的分解中最小的数是73,则m的值为9. 3. 应用归纳推理猜测(nn*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、 课堂小结1. 归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2. 归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理类比推理 教学过程一、 问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢? 学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1. 试根据等式的性质猜想不等式的性质.2等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1) 加法法则:a=ba+c=b+c(2) 减法法则:a=ba-c=b-c(3) 乘法法则:a=bac=bc(4) 除法法则:a=bac=bc(c0)(5) 平方法则:a=ba2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“43”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2. 试将平面上的圆与空间的球进行类比.3处理建议结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?4解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、 数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3) 检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、 数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.5(见学生用书p35)处理建议可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.规范板书解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) 乘()加数、被加数 乘数、被乘数和 积等等,它们具有下列类似的性质 加法的性质乘法的性质 a+b=b+aab=ba (a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc) a+(-a)=0a=1 a+0=aa0=0题后反思为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?类比推理的一般模式:a类事物具有性质a,b,c,d,b类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同)所以b类事物具有性质d.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.6(见学生用书p36)处理建议以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.规范板书解(1) 定义:an+1-an=d =q.(2) 通项公式:an=a1+(n-1)d bn=b1qn-1;an=am+(n-m)d bn=bmqn-m.(3) 等差中项:2an+1=an+an+2 =bnbn+2.(4) 若m+n=p+q,且m,n,p,qn*,则am+an=ap+aq bmbn=bpbq.变式在等差数列an中,若a10=0,则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nn*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b9=1,则有等式b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nn*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列用减法定义性质用加法表述.例如,若m,n,p,qn*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;等比数列用除法定义性质用乘法表述.例如,若m,n,p,qn*,且m+n=p+q,则aman=apaq. 由此,猜测本题的答案为:b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nn*).题后反思(1) 等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是an=a1qn-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1”,“(n-1)d”换成了“qn-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)比().(2) 解题的过程中一些基本的方法是:+,-,乘法乘方,除法开方,但这不是绝对的.(3) 类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、 课堂练习1. (1) 已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2) 圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3) 平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1) 类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2) 球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3) 空间不共面的4点确定一个球.2. 已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为s2,中截面面积为s0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为s2,则中截面面积s0=.3. 等差数列an中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列an中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,成等比数列,结论正确.五、 课堂小结1. 类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2. 数学中常见的一些类比推理问题:(1) 立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.数学家g.波利亚);(2) 等差数列与等比数列问题;(3) 加、减、乘、除运算问题;(4) 进制问题等.第3课时演绎推理 教学过程一、 问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1) 所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2) 在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、 数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:mp(m是p)sm(s是m)sp(s是p)概念理解(1) 在演绎推理过程中,m起着联系s和p的中介作用,因而m也称为中项.(2) 三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题结论.(3) 为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、 数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,d,e,f分别是bc,ca,ab上的点,bfd=a,deba,求证:ed=af.2(见学生用书p37)(例1)处理建议先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.规范板书证明(1) 同位角相等,两直线平行,(大前提)bfd与a是同位角,且bfd= a,(小前提)所以,dfea.(结论)(2) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)deba且dfea,(小前提)所以,四边形afde是平行四边形.(结论)(3) 平行四边形的对边相等,(大前提)ed和af为平行四边形的对边,(小前提)所以,ed=af.(结论)题后反思在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,ba,求证:.3(见学生用书p37)处理建议先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.规范板书证明(1) 不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b0,(小前提)所以mbma.(结论)(2) 不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mbma,ab=ab,(小前提)所以ab+mbab+ma,即b(a+m)a(b+m).(结论)(3) 不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b(a+m)0,(小前提)所以,即.(结论)例2的证明通常简略地表述为:mbmaab+mbab+ma0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lga-lgb(a0,b0),(大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、 课堂练习1. “若四边形abcd是矩形,则四边形abcd的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2. (教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1) 因为abc三边长依次为3,4,5,所以abc是直角三角形;(2) 函数y=2x+5的图象是一条直线.解(1) 如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,(大前提)abc三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)abc是直角三角形.(结论)(2) 一次函数的图象是一条直线,(大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论)3. (教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1) 整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2) 无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1) 大前提错误.(2) 不符合三段论推理的形式.4. 有下列说法:演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理得到的结论一定是正确的;演绎推理一般模式是“三段论”形式;演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有.(填序号)五、 课堂小结1. 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2. 演绎推理具有如下特点:(1) 演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2) 在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3) 演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3. 演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.第4课时推理案例赏析 教学过程一、 问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、 数学建构正整数平方和公式的推导.3处理建议本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为s1(n)=1+2+3+n=n(n+1),那么,前n个正整数的平方和s2(n)=12+22+32+n2=?问题1如何用你已经掌握的方法来求s2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出s2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1 n123456 s2(n)1514305591但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:s1(n) 与s2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出s1(n)的值,比较s1(n)与s2(n),希望能有所发现.表2 n123456 s1(n)136101521 s2(n)1514305591问题2观察s1(n)与s2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算s1(n)和s2(n)的比时,发现“规律”了.表3 n123456 s1(n)136101521 s2(n)1514305591 从表3中发现=,于是猜想s2(n)=.公式的正确性还需要证明.题后反思上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1) 把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+21+1,32=(2+1)2=22+22+1,42=(3+1)2=32+23+1,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得s2(n)=s2(n)-n2+2s1(n)-2n+n,等号两边的s2(n)被消去了,所以无法从中求出s2(n)的值,尝试失败了!(2) 从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出s2(n),但是却求出了s1(n)的表达式,即s1(n)=n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出s1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出s2(n).(3) 尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+312+31+1,33=(2+1)3=23+322+32+1,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.左右两边分别相加,得s3(n)=s3(n)-n3+3s2(n)-n2+3s1(n)-n+n.由此知s2(n)=,终于导出了公式.题后反思上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、 数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.4(见学生用书p39)处理建议本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.提出问题问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式. (1) 确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面 (2) 对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线 平面三角形 棱锥梯形 棱台进而有梯形底边长 棱台底面积三角形面积 棱锥体积梯形面积 棱台体积(3) 通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为s梯形=h(a+b),其中 a,b 分别表示梯形上、下底的长度,h 表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:v棱台=h(s上+s下),其中s上,s下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4) 验证猜想.式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式中的s上=0,因此有v棱台=hs下,这与实际结果hs下不符,这表明,猜想是错误的,需要修正.于是设想公式具有v棱台=h(s上+s0+s下)的形式,其中s0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与式相比,公式的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式比公式更合理.既然式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中s0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当s上=0时,s0=0,因此,s0应含有s上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,s上和s下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想s0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当s上=s下时,棱台变为棱柱,则v棱台=h(s上+k+s下)=hs0.此时s上=s下=s0,所以有k=1,因此,s0=,式即为v棱台=h(s上+s下).四、 课堂练习1. 在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2. 数列an的前4项分别是,3,有些同学说,数列an的通项公式an=,他们的说法用的是归纳推理.3. 已知数列,由此猜想第n个数为.4. “开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一级数,-,-,则它的第8个数可能是-.五、 课堂小结合情推理和演绎推理的区别和联系.本课的案例说明:(1) 数学发现活动是一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程.(2) 合情推理是富于创造性的或然推理.在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.(3) 演绎推理是形式化程度较高的必然推理.在数学发现活动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证明,从而为调控探索活动提供依据.对这两种推理在数学活动中的作用,著名的数学家g.波利亚作了精辟的论述:“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜测这个定理的内容;在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路.创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的.”第5课时直接证明(1) 教学过程一、 问题情境问题1在数学5(必修)中,我们是如何证明基本不等式(a0,b0)的?3证法一对于正数a,b,有(-)20a+b-20a+b2.证法二要证,只要证2a+b,只要证0a-2+b,只要证0(-)2.因为最后一个不等式恒成立,所以成立.方法3:左边-右边=(比较法)二、 数学建构问题2即时体验题1的证明方法是什么方法?解综合法.问题3问题1的证明方法是什么方法?解证法1是综合法,证法2是分析法.问题4如何用综合法进行证明?解从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.问题5如何用分析法进行证明?解从问题的结论出发,倒推寻找结论成立的条件,逐步倒推,直到找到使结论成立的条件和已知条件或已知事实相符合.通过讨论,回顾综合法和分析法的定义和特点.从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法常称为综合法.从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.综合法与分析法的推证过程如下:综合法已知条件结论;分析法结论已知条件.上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的,这种证明通常称为直接证明,直接证明的一般形式为:本题结论综合法和分析法都是直接证法.三、 数学运用【例1】(教材第83页例1)已知ab,cd相交于点o,acobdo,ae=bf,求证:ce=df.4(见学生用书p41)(例1)处理建议先让学生证明,再用分析法倒推分析,体会分析法思路.规范板书证法一(分析法)要证明ce=df,只需证明ecofdo,为此只需证明 为了证明co=do,只需证明acobdo.为了证明eo=fo,只需证明ao=bo,也只需证acobdo.由于acobdo是已知的,又因为eoc与fod是对顶角,所以它们相等,从而ecofdo成立,因此命题成立.题后反思用分析法证明命题,(1) 要注意书写的格式,通常“要证明就要证明”是必不可少的;(2) 要注意条件的关系,后面的条件应该是前面结论成立的充分条件.证法二(综合法)因为acobdo,所以co=do,ao=bo.因为ae=bf,所以eo=fo.在eco和fdo中, 所以ecofdo,所以ce=df.题后反思综合法的书写比较简洁,但不是简单的把分析法的思路倒过来抄一遍,还要求学会合理组织文字进行表达.【例2】已知a,b,c,dr,分别用分析法和综合法证明:ac+bd.5(见学生用书p42)处理建议先让学生思考,再用分析法倒推寻找证明的思路,然后用综合法书写.规范板书证法一(分析法)当ac+bd0时,显然成立.当ac+bd0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcdb2c2+a2d2,即证0(bc-ad)2,因为a,b,c,dr,所以上式恒成立,故原不等式成立,综合知,命题得证.题后反思在上述证明过程中,缺少式环节,直接两边平方的证明思路是不对的.证法二(分析法) 欲证ac+bd,由于ac+bd|ac+bd|对a,b,c,dr恒成立,只需证|ac+bd|,又只要证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcdb2c2+a2d2,即证0(bc-ad)2,因为a,b,c,dr,所以上式恒成立,故原不等式成立,命题得证.题后反思运用性质x|x|(即ac+bd|ac+bd|)来过渡的方法是很巧妙的.证法三(综合法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2,所以|ac+bd|ac+bd.题后反思从上面例题可以看出,分析法解题方向较为明确,利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表达.因此,在实际解题时,通常先以分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程.四、 课堂练习1. 在abcd中,aebd,垂足为e;cfbd,垂足为f.求证:ae=cf.证明因为四边形abcd是平行四边形,所以abcd且ab=cd,因为abcd,所以abd=cdb,因为aebd,cfbd,所以aeb=cfd=90,所以abecdf,所以ae=cf.2. 设a,b是两个相异的正数,求证:关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根.证明因为a,b是两个相异的正数,所以a2+b20且=(4ab)2-4(a2+b2)2ab=8ab(2ab-a2-b2)=-8ab(a-b)2,因为ab,所以(a-b)20,所以=-8ab(a-b)2-.证明要证明-,只需证明+,只需证明(+)2(+)2,展开得8+28+2,即要证 .而显然成立,所以-成立,即原命题得证.4. 设a,b为两个不相等的正数,且a+b=1,分别用分析法、综合法证明:+4.证法一(分析法)因为a0,b0,a+b=1,要证 +4成立,只需证4成立,即需证4成立.即需证ab2,即21,所以ab0,b0,a+b=1,所以1=a+b2,所以21,所以ab4,所以4.即+4,由此命题得证.五、 课堂小结1. 分析法:解题方向比较明确,利于寻找解题思路;综合法:条理清晰,易于表述.通常以分析法寻求思路,再用综合法有条理地表述解题过程.2. 证题过程中注意综合法与分析法结合.在分析法和综合法的思考过程中,“变形”是解题的关键,是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.第6课时直接证明(2) 教学过程一、 问题情境复习回顾:1. 直接证明的一般形式为:本题结论2. (1) 综合法与分析法要点对照表综合法分析法定义从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止思维过程原因结果,又名“顺推证法”,“由因导果法”由结果追溯原因,又名“追溯证法”,“执果索因法”思维特点从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理实际上是寻找必要条件从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理实际上是寻求充分条件步骤已知条件结论结论已知条件(2) 对分析法证题的说明“若a成立,则b成立”,此命题用分析法证明的一般步骤如下:要证明(或为了证明)b成立,只需证明a1成立(a1是b成立的充分条件),要证a1成立,只需证明a2成立(a2是a1成立的充分条件)要证明ak成立,只需证明a成立(a是ak成立的充分条件),因为a成立,所以b成立.注: 每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件,但绝不能是必要不充分条件; 在寻求充分条件时,要联系已知条件,即在一系列可以证明结论的条件中,与题设条件较为接近的条件,才是我们所需要的; “只需证明”“为了证明”“因为a成立,所以b成立”类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来.二、 数学运用【例1】已知abc,求证:+0.1(见学生用书p43)处理建议本题用综合法不容易找到证题思路,因此用分析法探路.规范板书要证原不等式成立,由abc,得a-b0,b-c0,a-c0,因此移项,只需证+.通分,得,即证.只需证(a-c)24(a-b)(b-c)成立.因为4(a-b)(b-c)(a-b)+(b-c)2=(a-c)2,所以,即-0,所以+0.题后反思(1) 分析法和综合法是两种常用的解题方法,但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好.(2) 用分析法寻找思路,用综合法表述过程.分析法解题方向较为明确,有利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表述.因此,在实际解题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程.变式1若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lglga+lgb+lgc.规范板书证法一(分析法)要证lg+lg+lglga+lgb+lgc,只需证lglg(abc),只需证abc.又0,0,0.且上述三式中的等号不全成立,所以abc.因此lg+lg+lglga+lgb+lgc.注:这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.证法二(综合法)因为a,b,c是不全相等的正数,所以0,0,0.所以abc,所以lglg(abc),所以lg+lg+lglga+lgb+lgc.变式2设a,b是两个正实数,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2.规范板书证法一(分析法)要证a3+b3a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立,即需证a2-ab+b2ab成立,(因为a+b0)只需证a2-2ab+b20成立,即需证(a-b)20成立.而由已知条件可知,ab,有a-b0,所以(a-b)20显然成立.所以原不等式成立.证法二(综合法)因为ab,所以a-b0,所以(a-b)20,所以a2-2ab+b20,所以a2-ab+b2ab.因为a+b0,所以(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),所以a3+b3a2b+ab2.题后反思还有其他证明方法吗?此题可以用作差比较法进行证明.【例2】若实数x1,求证:3(1+x2+x4)(1+x+x2)2.2(见学生用书p43)处理建议在不等式问题的证明方法中,比较法是一种常用的、简单的、主要的方法,有些不等式在用分析法倒推寻找思路时不一定能行,可以用比较法来证明.规范板书证明(差值比较法)3(1+x2+x4)-(1+x+x2)2=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3=2(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1)=2(x-1)2.因为x1,从而(x-1)20,且+0,所以2(x-1)20,所以3(1+x2+x4)(1+x+x2)2.题后反思(1) 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.(2) 用比较法证明不等式的主要步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号.(3) 若题设中去掉x1这一限制条件,要求证的结论如何变化?变式已知a,b均为正实数,求证:aabbabba.规范板书证法一(差值比较法)不妨设ab0.因为a-b0,所以abbb0,aa-b-ba-b0.所以aabb-abba=abbb(aa-b-ba-b)0,从而原不等式得证.证法二(商值比较法)设ab0,因为1,a-b0,所以=1.故原不等式得证.题后反思在证明不等式命题的过程中,“变形”是解题的关键.应用因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.三、 课堂练习1. 已知a,b0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.证明因为b2+c22bc,a0,所以a(b2+c2)2abc,因为c2+a22ac,b0,所以b(c2+a2)2abc.因此,a(b2+