【导与练】高考数学 试题汇编 第一节随机事件及其概率 文（含解析）.doc

第一节随机事件及其概率 随机事件的概率考向聚焦高考对随机事件概率的考查较少单独命题,一般与古典概型等结合在一起,单独命题时重点考查随机事件概率的意义及简单应用,主要以选择题、填空题的形式出现,试题难度不大,5分左右备考指津要获得随机事件发生的概率,最直接的方法就是试验,通过试验和观察的方法就可以用频率估计其发生的概率,但这种方法耗时多且得到的仅仅是概率的近似值,如果遇到试验的每一个结果发生的可能性相同,那么就可利用随机事件的概率公式求概率1.(2011年江苏卷,5)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是.解析:从1,2,3,4中任取两个数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个基本事件;其中一个数是另一个数两倍的有(1,2),(2,4)共2个基本事件,因此所求概率为26=13.答案:13互斥事件与对立事件的概率考向聚焦高考对互斥事件、对立事件概率的考查往往与古典概型、几何概型等其他概率内容的考查综合在一起,重点考查互斥事件概率加法公式以及对立事件概率的应用,试题难度中、低档,以选择题、填空题的形式出现,分值保持在45分备考指津明确事件类型及其相互关系,针对不同类型的事件灵活地选择相应的方法和公式是解决概率问题的关键,树状图、枚举法是解决概率问题的有效辅助手段,分类讨论、正难则反、转化化归是解决问题常用的思想方法2.(2012年湖南卷,文17,12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据.如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%;(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为115+1.530+225+2.520+310100=1.9(分钟).(2)记a为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,a1,a2,a3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得p(a1)=15100=320,p(a2)=30100=310,p(a3)=25100=14.因为a=a1a2a3,且a1,a2,a3是互斥事件,所以p(a)=p(a1a2a3)=p(a1)+p(a2)+p(a3)=320+310+14=710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.3.(2011年陕西卷,文20)如图,a地到火车站共有两条路径l1和l2,现随机抽取100位从a地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)10202030304040505060选择l1的人数612181212选择l2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径l1和l2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.解:(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,用频率估计相应的概率约为0.44.(2)选择l1的有60人,选择l2的有40人.故由调查结果得频率为:所用时间(分钟)10202030304040505060选择l1的频率0.10.20.30.20.2选择l2的频率00.10.40.40.1(3)设a1,a2分别表示甲选择l1和l2时,在40分钟内赶到火车站;b1,b2分别表示乙选择l1和l2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知p(a1)=0.1+0.2+0.3=0.6,p(a2)=0.1+0.4=0.5,p(a1)p(a2),甲应选择l1;p(b1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8.p(b2)=0.1+0.4+0.4=0.9,p(b1)p(b2).乙应选择l2.4.(2010年山东卷,文19)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求nm+2的概率.解:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中取的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3,共2个.因此所求事件的概率p=26=13.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)共有16种:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),满足条件nm+2的事件为(1,3),(1,4),(2,4)共3种.所以满足条件nm+2的事件的概率为p1=316.故满足条件nm+2的事件的概率为p2=1-p1=1316.(2011年湖南卷,文18)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量x(单位:毫米)有关.据统计,当x=70时,y=460;x每增加10,y增加5.已知近20年x的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表:近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.难题特色:本题将概率、统计与函数综合在一起命题.难点突破:利用待定系数法求出y对x的函数关系式,借助解析式将y的取值范围转化为x的取值范围,由概率加法公式求得概率.解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个,故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220(2)由题意知y是x的一次函数,且x=70时,y=460,x=80时,y=465.设y=kx+b,则70k+b=46080k+b=465,k=12b=425,y=12x+425.由y490得12