【导与练】高考数学 试题汇编 第二节三角函数的图象和性质 文（含解析）.doc

第二节三角函数的图象和性质 三角函数的性质考向聚焦高考重点考查内容,主要考查:(1)利用三角函数的图象和性质,求解简单三角函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性等问题.(2)结合两角和与差的公式、倍角公式等知识先化简再求函数的上述性质.一般以客观题的形式出现,难度中低档,所占分值45分备考指津训练题型:(1)根据三角函数的性质确定解析式中的参数,再确定函数其他的性质.(2)对函数解析式进行化简再求函数性质,注重化简的方法技巧,做到快速准确1.(2012年福建卷,文8,5分)函数f(x)=sin(x-4)的图象的一条对称轴是()(a)x=4(b)x=2(c)x=-4(d)x=-2解析:f(x)=sin(x-4)的图象的对称轴是x-4=k+2(kz),即x=k+34(kz),令k=-1即得一条对称轴是x=-4,故选c.答案:c.2.(2012年山东卷,文8,5分)函数y=2sin(x6-3)(0x9)的最大值与最小值之和为()(a)2-3(b)0(c)-1(d)-1-3解析:本题考查三角函数在闭区间上的最值.0x96x-3-3,76,y=2sin(6x-3)-3,2.其最大值与最小值的和为2-3.答案:a.3.(2012年新课标全国卷,文9,5分)已知0,0,直线x=4和x=54是函数f(x)=sin(x+)图像的两条相邻的对称轴,则等于()(a)4(b)3(c)2(d)34解析:由题意,函数f(x)的周期为2,=1.又x=4是其对称轴,且0,sin(4+)=1时=4符合题意.答案:a.4.(2012年上海数学,文18,5分)若sn=sin7+sin27+sinn7(nn*),则在s1,s2,s100中,正数的个数是()(a)16(b)72(c)86(d)100解析:因为t=sin n7的t=27=14,也就是说s14=0,在s1,s2,s3,s14中,s130,即在一个周期内s1,s2,s12均大于0,而在100项中含有7个周期余2个.因此正数的个数是127+2=84+2=86,故选c.答案:c. 本题主要考查了三角函数的周期性,以及在一个周期内的函数值和等于0.5.(2011年山东卷,文6)若函数f(x)=sin x(0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则等于()(a)23(b)32(c)2(d)3解析:根据题意知f(x)在x=3处取得最大值1,所以sin 3=1,3=2k+2,kz,即=6k+32,kz.又0,=32符合条件.故选b.答案:b.6.(2011年全国新课标卷,文11)设函数f(x)=sin(2x+4)+cos(2x+4),则()(a)y=f(x)在(0,2)单调递增,其图象关于直线x=4对称(b)y=f(x)在(0,2)单调递增,其图象关于直线x=2对称(c)y=f(x)在(0,2)单调递减,其图象关于直线x=4对称(d)y=f(x)在(0,2)单调递减,其图象关于直线x=2对称解析:f(x)=2(22sin(2x+4)+22cos(2x+4)=2sin(2x+4+4)=2sin(2x+2)=2cos 2x,由三角函数性质知:f(x)在(0,2)单调递减,其图象关于直线x=2对称.故选d.答案:d.7.(2011年天津卷,文7)已知函数f(x)=2sin(x+),xr,其中0,-.若f(x)的最小正周期为6,且当x=2时,f(x)取得最大值,则()(a)f(x)在区间-2,0上是增函数(b)f(x)在区间-3,-上是增函数(c)f(x)在区间3,5上是减函数(d)f(x)在区间4,6上是减函数解析:t=2=6,=13,f(x)=2sin(x3+),又f(2)=2sin(6+)=2,=3,f(x)=2sinx+3,当-2x0时,-3x+33,而y=sin t在-3,3上单调递增,所以f(x)在-2,0上是增函数,故选a.答案:a.8.(2011年上海卷,文4)函数y=2sin x-cos x的最大值为.解析:y=2sin x-cos x=5(255sin x-55cos x)=5sin(x-)(tan =12),ymax=5.答案:59.(2011年安徽卷,文15)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中a,br,ab0.若f(x)|f(6)|对一切xr恒成立,则f(1112)=0;|f(710)|0时f(x)的增区间是k-3,k+6,kz,错误;对函数f(x)的值域为-2|b|,2|b|,而b-2|b|,2|b|.过点(a,b)的直线与曲线f(x)总相交,故错误.答案: 本题主要考查三角函数的变换、性质,考查学生分析问题的能力.10.(2012年湖北卷,文18,12分)设函数f(x)=sin2x+23sin xcos x-cos2x+(xr)的图象关于直线x=对称,其中,为常数,且(12,1).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点(4,0),求函数f(x)的值域.解:(1)因为f(x)=sin2x-cos2x+23sin xcos x+=-cos 2x+3sin 2x+=2sin(2x-6)+.由直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin(2-6)=1.所以2-6=k+2(kz),即=k2+13(kz).又(12,1),kz,所以k=1,故=56.所以f(x)的最小正周期是65.(2)由y=f(x)的图象过点(4,0),得f(4)=0,即=-2sin(562-6)=-2sin4=-2,即=-2.故f(x)=2sin(53x-6)-2,函数f(x)的值域为-2-2,2-2.11.(2012年北京卷,文15,13分)已知函数f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递减区间.解:(1)由sin x0,得xk(kz),f(x)的定义域为xr|xk,kz.f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx=2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=2sin(2x-4)-1.f(x)的最小正周期为t=22=.(2)函数y=sin x的单调递减区间为2k+2,2k+32(kz),由2k+22x-42k+32(kz),得k+38xk+78(kz),f(x)的递减区间为k+38,k+78(kz).12.(2012年湖南卷,文18,12分)已知函数f(x)=asin(x+)(xr,0,02)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f(x-12)-f(x+12)的单调递增区间.解:(1)由题设图象知,周期t=2(1112-512)=,所以=2t=2.因为点(512,0)在函数图象上,所以asin(2512+)=0,即sin(56+)=0.又因为02,所以5656+0)的图象向右平移4个单位长度,所得图象经过点(34,0),则的最小值是()(a)13(b)1(c)53(d)2解析:把f(x)=sin x图象向右平移4个单位,所得函数为y=sin (x-4),因其图象过点(34,0),sin 2=0,又0,的最小值为2.故选d.答案:d.17.(2010年天津卷,文8)如图是函数y=asin(x+)(xr)在区间-6,56上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y=sin x(xr)的图象上所有的点()(a)向左平移3个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变(b)向左平移3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变(c)向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变(d)向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变解析:由函数的图象可知,其振幅为1且最大值为1,最小值为-1,纵坐标不变.结合选项可知,图象是先向左平移,后横向伸缩.将y=sin x(xr)的图象向左平移3个单位长度得到y=sin(x+3)(xr)的图象,周期由y=sin x的2变为图象中的,需将y=sin(x+3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍,解析式变为y=sin(2x+3).答案:a. 函数的图象的左、右平移遵循的规则是“左加右减”,平移的单位数是针对一个x而言,即看一个“x”后加或减了几个单位.18.(2010年山东卷,文17)已知函数f(x)=sin(-x)cos x+cos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,16上的最小值.解:(1)f(x)=sin(-x)cos x+cos2x,f(x)=sin xcos x+1+cos2x2=12sin 2x+12cos 2x+12=22sin(2x+4)+12.0,依题意得:22=,=1.(2)由(1)知f(x)=22sin(2x+4)+12,g(x)=f(2x)=22sin(4x+4)+12.当0x16时,44x+42,22sin(4x+4)1,1g(x)1+22.故g(x)在区间0,16上的最小值为1. 三角函数的图象变换包括平移变换和伸缩变换,其中伸缩变换是易错点,如果0,当变大时,图象缩短,变小时,图象伸长.求函数的解析式考向聚焦高考中考查三角函数y=asin(x+)的解析式,主要考查其中参数a、的确定方法,题目一般以图象一部分或语言描述特征的方式给出确定a、的条件,多以客观题出现,难度不大,属于基础题,在解答题中仅会以一问的形式出现,所占分值5分左右备考指津求三角函数的解析式的一般方法是待定系数法,即把已知点的坐标代入三角函数y=asin(x+)的解析式中,求出需要确定的系数a、,得到三角函数的解析式;若已知y=asin(x+)的一段图象,也可根据题目的几何意义求得a、的值,从而得到所求的函数解析式19.(2011年辽宁卷,文12)已知函数f(x)=atan(x+)(0,|2),y=f(x)的部分图象如图,则f(24)等于()(a)2+3(b)3(c)33(d)2-3解析:由图象知周期t=24=2=,=2,又图象过(38,0),atan(238+)=0,tan(34+)=0,而|0,0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是.解析:由图知a=2,t4=712-3=4,t=,2=,=2,f(x)=2sin(2x+),将点(712,-2)代入得:-2=2sin(2712+),sin(76+)=-1,76+=2k+32(kz),=32+2k-76=3+2k(kz),f(x)=2sin(2x+3+2k)=2sin(2x+3),f(0)=2sin 3=62.答案:6221.(2012年陕西卷,文17,12分)函数f(x)=asin(x-6)+1(a0,0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设(0,2),f(2)=2,求的值.解:(1)a+1=3,a=2,又函数图像相邻对称轴间的距离为半个周期,t2=2,t=.=2t=2,f(x)=2sin(2x-6)+1.(2)f(2)=2sin(-6)+1=2,sin(-6)=12,02,-6-63,-6=6,=3.(2011年天津卷,理15,13分)已知函数f(x)=tan(2x+4).(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)设(0,4),若f(2)=2cos 2,求的大小.解:(1)由2x+42+k,kz1分得x8+k2,kz2分所以f(x)的定义域为 xr|x8+k2,kz3分f(x)的最小正周期为2.5分第(1)问赋分细则:(1)求解过程中没有写kz扣1分;(2)f(x)的定义域写成集合时kz放在集合内,写成区间时kz放在区间后,写错格式扣1分;(3)f(x)的最小正周期可以直接写出,得2分.(2)由f(2)=2cos 2得tan(+4)=2cos 26分得sin(+4)cos(+4)=2(cos2-sin2)7分整理得sin+coscos-sin=2(cos +sin )(cos -sin )9分因为(0,4),所以sin +cos 010分因此(cos -sin )2=12,即sin 2=1211分由于(0,4),得2(0,2)12分所以2=6,即=12.13分第(2)问赋分细则:(1)tan(+4)=2cos 2的化简方法很多,只要正确