【导与练】高考数学 试题汇编 第二节古典概型与几何概型 文（含解析）.doc

第二节古典概型与几何概型 古典概型考向聚焦对古典概型的考查,主要是等可能事件概率的求解,主要通过列举法或结合互斥事件、对立事件等进行求解,有时与统计中的抽样、频率分布直方图等综合在一起考查.多以解答题的形式出现,12分左右;有时也可能以小题的形式出现,45分.为中、低档试题备考指津求古典概型中事件a的概率的关键是求出基本事件总数n和事件a包含的基本事件数m,然后代入公式p(a)=mn求解,确定基本事件个数时常用列举法、树形图法、列表法等1.(2012年安徽卷,文10,5分)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于()(a)15(b)25(c)35(d)45解析:若记红球为a,白球为b1,b2,黑球为c1,c2,c3,则任取2个球的基本事件如下:ab1,ab2,ac1,ac2,ac3;b1b2,b1c1,b1c2,b1c3,b2c1,b2c2,b2c3,c1c2,c1c3,c2c3.共15个.其中颜色为一白一黑的事件有6个,所以概率为p=615=25.答案:b.2.(2011年全国新课标卷,文6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()(a)13(b)12(c)23(d)34解析:甲、乙各自参加其中一个小组所有选法为9种,甲、乙参加同一个小组的选法有3种,所以其概率为39=13.故选a.答案:a.3.(2011年浙江卷,文8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()(a)110(b)310(c)35(d)910解析:3个红球记为a,b,c,2个白球记为1,2.则从袋中取3个球的所有可能情况是abc,ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12,共10个基本事件,则至少有一个白球的基本事件是ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12,共9个.至少有一个白球的概率为910.故选d.答案:d.4.(2011年安徽卷,文9)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()(a)110(b)18(c)16(d)15解析:如图,正六边形abcdef,从6个顶点中随机选择4个顶点有abcd,abce,abcf,abde,abdf,abef,acde,acdf,acef,adef,bcde,bcdf,bcef,bdef,cdef,共15种选法,基本事件总数为15,其中四边形是矩形的有abde,bcef,acdf 3种,所以所求概率为p=315=15.故选d.答案:d.5.(2010年北京卷,文3)从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a,从1,2,3中随机选取一个数为b,则ba的概率是()(a)45(b)35(c)25(d)15解析:从两个集合中分别取一个数a,b,用坐标表示为(a,b),则(a,b)的取值有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)共15种,而ba时有(1,2),(1,3),(2,3)3种结果,故所求概率是315=15,选d.答案:d.6.(2010年安徽卷,文10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是()(a)318(b)418(c)518(d)618解析:从正方形的四个顶点中任选两点的连线有6条,四边及对角线依次设为a、b、c、d、e、f,则甲、乙连线的结果有(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),(c,e),(c,f),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,e),(d,f),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d),(e,e),(e,f),(f,a),(f,b),(f,c),(f,d),(f,e),(f,f)共36种,其中甲、乙连线垂直的结果有(a,b),(a,d),(b,a),(b,c),(c,b),(c,d),(d,a),(d,c),(e,f),(f,e)共10种,所求概率p=1036=518,选c.答案:c. 这类试题解答的关键是把基本事件总数计算准确,把随机事件包含的基本事件个数计算准确.7.(2012年浙江卷,文12,4分)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是.解析:本题主要考查了古典概型概率的求法.设五点为a,b,c,d,e,随机取两点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10种情况,两点间的距离是22的有4种,所以p=25.答案:258.(2012年江苏数学,6,5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.解析:本题考查等比数列的通项公式和等可能事件的概率.因为这10个数是1,-3,(-3)2,(-3)3,(-3)4,(-3)5,(-3)6,(-3)7,(-3)8,(-3)9,所以它小于8的概率等于610=35.答案:359.(2010年辽宁卷,文13)三张卡片上分别写上字母e,e,b,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词bee的概率为.解析:将三张卡片随机地排成一行,共有eeb,ebe,bee三种排法,而排成bee的情况只有一种,故所求概率为13.答案:1310.(2012年天津卷,文15,13分)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,列出所有可能的抽取结果;求抽取的2所学校均为小学的概率.解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为a1,a2,a3,2所中学分别记为a4,a5,大学记为a6,则抽取2所学校的所有可能结果为a1,a2,a1,a3,a1,a4,a1,a5,a1,a6,a2,a3,a2,a4,a2,a5,a2,a6,a3,a4,a3,a5,a3,a6,a4,a5,a4,a6,a5,a6,共15种.从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件b)的所有可能结果为a1,a2,a1,a3,a2,a3,共3种.所以p(b)=315=15. 本小题考查分层抽样方法、列举法求随机事件所含的基本事件数,古典概型及其概率计算,难度较小.11.(2012年江西卷,文18,12分)如图,从a1(1,0,0),a2(2,0,0),b1(0,1,0),b2(0,2,0),c1(0,0,1),c2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.(1)求这3点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;(2)求这3点与原点o共面的概率.解:从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是:x轴上取2个点的有a1a2b1,a1a2b2,a1a2c1,a1a2c2,共4种.y轴上取2个点的有b1b2a1,b1b2a2,b1b2c1,b1b2c2,共4种.z轴上取2个点的有c1c2a1,c1c2a2,c1c2b1,c1c2b2,共4种.所选取的3个点在不同坐标轴上有a1b1c1,a1b1c2,a1b2c1,a1b2c2,a2b1c1,a2b1c2,a2b2c1,a2b2c2,共8种.因此,从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.(1)选取的这3个点与原点o恰好 是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有:a1b1c1,a2b2c2,共2种,因此,这3个点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为p1=220=110.(2)选取的这3个点与原点o共面的所有可能结果有:a1a2b1,a1a2b2,a1a2c1,a1a2c2,b1b2a1,b1b2a2,b1b2c1,b1b2c2,c1c2a1,c1c2a2,c1c2b1,c1c2b2,共12种,因此,这3个点与原点o共面的概率为p2=1220=35.12.(2012年山东卷,文18,12分)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的频率;(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.解:(1)从5张卡片中任取2张的所有可能情况有如下10种;红1红2,红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2,其中两张卡片的颜色不同,且标号之和小于4的有3种情况,故所求概率为p1=310.(2)加入一张标号为0的绿色卡片后,从6张卡片中任取2张,除上面10种情况外,多出5种情况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,所以所求概率为p2=815. 本题考查利用列举法计算随机事件所包含的基本事件数,以及古典概型的概率求法等基础知识,考查学生运用概率知识求解简单实际问题的能力,难度适中.13.(2011年江西卷,文16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为a饮料,另外2杯为b饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯a饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对a和b两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率;(2)求此人被评为良好及以上的概率.解:将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示a饮料,编号4、5表示b饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5),共有10种,令d表示此人被评为优秀的事件,e表示此人被评为良好的事件,f表示此人被评为良好及以上的事件,则(1)p(d)=110.(2)p(e)=35,p(f)=p(d)+p(e)=710.14.(2011年天津卷,文15)编号分别为a1,a2,a16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号a1a2a3a4a5a6a7a8得分1535212825361834运动员编号a9a10a11a12a13a14a15a16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:区间10,20)20,30)30,40人数(2)从得分在区间20,30)内的运动员中随机抽取2人,用运动员编号列出所有可能的抽取结果;求这2人得分之和大于50的概率.解:(1)466(2)得分在20,30)内的运动员编号为a3,a4,a5,a10,a11,a13,从中随机抽2人,所有可能抽取的结果有:a3,a4,a3,a5,a3,a10,a3,a11,a3,a13,a4,a5,a4,a10,a4,a11,a4,a13,a5,a10,a5,a11,a5,a13,a10,a11,a10,a13,a11,a13,共15种.设b=“得分在20,30)内的运动员中随机抽取2人,这两人得分之和大于50”,则所有可能的结果有:a4,a5,a4,a10,a4,a11,a5,a10,a10,a11,共5种.所以p(b)=515=13.15.(2011年福建卷,文19)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:x12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2.现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.解:(1)由频率分布表知a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35,因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,b=320=0.15.等级系数为5的恰有2件,所以c=220=0.1,则a=0.35-0.1-0.15=0.1,a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,所有可能的结果为x1,x2,x1,x3,x1,y1,x1,y2,x2,x3,x2,y1,x2,y2,x3,y1,x3,y2,y1,y2共10种情况,其等级系数相等的有4种情况,故所求的概率为p=410=25.16.(2010年福建卷,文18)设平面向量am=(m,1),bn=(2,n),其中m,n1,2,3,4.(1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;(2)若“使得am(am-bn)成立的(m,n)”为事件a,求事件a发生的概率.解:(1)有序数组(m,n)的所有可能结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.(2)由am(am-bn)得m2-2m+1-n=0,即n=(m-1)2.由于m,n1,2,3,4,故事件a包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共2个.又基本事件的总数为16,故所求的概率为p(a)=216=18. 本题新颖之处在于概率与平面向量的有机交汇.求解这类问题的关键是通过列举(或画图)的方法,搞清楚基本事件的总数以及欲求概率的事件中所包含的基本事件数,然后套用古典概型的概率计算公式求解.几何概型考向聚焦几何概型是高考一个新的热点,并且它是一个重要的知识交汇点,通常会把几何概型与线性规划、解析几何以及其它数学知识综合起来,重点考查“长度型”和“面积型”,主要以填空题、选择题的形式出现,试题难度为中、低档,所占分值为5分左右17.(2012年湖北卷,文10,5分)如图,在圆心角为直角的扇形oab中,分别以oa、ob为直径作两个半圆,在扇形oab内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()(a)12-1(b)1(c)1-2(d)2解析:如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为s1,s2,两块阴影部分的面积分别为s3,s4,则s1+s2+s3+s4=s扇形oab=14(2a)2=a2而s1+s3与s2+s3的和恰好为一个半径为a的圆,即s1+s3 +s2+s3=a2.-得s3=s4,由图可知s3=(s扇形eod+s扇形cod)-s正方形oedc=12a2-a2,所以s阴影=a2-2a2.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率为p=s阴影s扇形oab=a2-2a2a2=1-2.故选c.答案:c.18.(2012年北京卷,文3,5分)设不等式组0x20y2表示的平面区域为d,在区域d内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()(a)4(b)-22(c)6(d)4-4解析:不等式组0x20y2对应直角坐标系内的区域d为如图所示的正方形abcd,面积为4,在区域d内随机取一点,此点到原点的距离大于2对应的区域为如图所示的阴影部分,即落在圆x2+y2=4(0x2,0y2)外,面积为4-.所求概率为4-4.故选d.答案:d.19.(2012年辽宁卷,文11,5分)在长为12 cm的线段ab上任取一点c.现作一矩形,邻边长分别等于线段ac,cb的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为()(a)16(b)13(c)23(d)45解析:设ac=x cm且0x20,得2x10,由几何概型知矩形面积大于20的概率为812=23.答案:c.20.(2011年福建卷,文7)如图,矩形abcd中,点e为边cd的中点.若在矩形abcd内部随机取一个点q,则点q取自abe内部的概率等于()(a)14(b)13(c)12(d)23解析:本题属于几何概型求概率问题,设矩形长为a,宽为b,则点取自abe内部的概率p=sabes矩形abcd=12abab=12.故选c.答案:c.21.(2011年湖南卷,文15)已知圆c:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.(1)圆c的圆心到直线l的距离为;(2)圆c上任意一点a到直线l的距离小于2的概率为.解析:(1)圆心(0,0),圆心到4x+3y-25=0的距离d=|-25|42+32=5.(2)如图l1l,l1与圆x2+y2=12相交于m,n两点,且l1与l的距离为2,则当点a位于劣弧mn上时,a到l的距离小于2.|od|=|oh|-2=5-2=3,|on|=23,cosdon=|od|on|=323=32,don=6,mon=3,men的长度为22316=233,由几何概型概率计算公式得点a到直线l的距离小于2的概率p=men的长度圆的周长=233223=16.答案:(1)5(2)1622.(2010年湖南卷,文11)在区间-1,2上随机取一个数x,则x0,1的概率为.解析:区间-1,2的区间长度为3,区间0,1的区间长度为1.由几何概型概率计算公式知x0,1的概率为13.答案:1323.(2010年全国新课标卷,文14)设函数y=f(x)在区间0,1上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0f(x)1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积s.先产生两组(每组n个)区间0,1上的均匀随机数x1,x2,xn和y1,y2,yn,由此得到n个点(xi,yi)(i=1,2,n).再数出其中满足yif(xi)(i=1,2,n)的点数n1,那么由随机模拟方法可得s的近似值为.解析:由0f(x)1可知曲线y=f(x)与直线x=0,x=1,y=0围成了一个曲边梯形.又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形的面积为1,共有n对数,即有n个点,且满足yif(xi)(i=1,2,n)的有n1个点,即在函数f(x)图象上及下方有n1个点,所以由几何概型的概率公式得:曲线y=f(x)与x=0,x=1,y=0围成的面积为n1n1=n1n.答案:n1n(2011年北京卷,文16,13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以x表示.(1)如果x=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;(2)如