【导与练】高考数学 试题汇编 第四节 双曲线 理（含解析）.doc

第四节双曲线 双曲线的定义及应用考向聚焦高考常考内容,主要考查根据双曲线定义:(1)判断曲线的类型;(2)求双曲线的方程;(3)解决有关焦点三角形的问题,一般以选择题、填空题形式出现,难度不大,所占分值45分1.(2012年全国大纲卷,理8,5分)已知f1、f2为双曲线c:x2-y2=2的左、右焦点,点p在c上,|pf1|=2|pf2|,则cosf1pf2等于()(a)14(b)35(c)34(d)45解析:由双曲线方程得:a2=b2=2,c2=a2+b2=4,|f1f2|=2c=4.|pf1|=2|pf2|结合双曲线的定义:|pf1|-|pf2|=2a=22,得|pf2|=22,|pf1|=42.在pf1f2中,由余弦定理得:|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cosf1pf2,即42=(42)2+(22)2-24222cosf1pf2,解得cosf1pf2=34.答案:c.2.(2010年全国卷,理9)已知f1、f2为双曲线c:x2-y2=1的左、右焦点,点p在c上,f1pf2=60,则p到x轴的距离为()(a)32(b)62(c)3(d)6解析:如图,设p(x0,y0),|pf1|-|pf2|=2a,|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|=4a2.又|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos 60=4c2,|pf1|pf2|=4b2.spf1f2=12|pf1|pf2|sin 60=3b2=3.则spf1f2=12|f1f2|y0=122cy0=2y0=3,y0=62.故选b.答案:b.3.(2011年广东卷,理19)设圆c与两圆(x+5)2+y2=4,(x-5)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.(1)求圆c的圆心轨迹l的方程;(2)已知点m(355,455),f(5,0),且p为l上动点,求|mp|-|fp|的最大值及此时点p的坐标.解:(1)如图所示:不妨设圆c与圆a内切,与圆b外切,圆心的半径为r,则有|bc|=r+2|ac|=r-2两式相减,得|bc|-|ac|=4若圆c与圆b内切,与圆a外切,同理可得|ac|-|bc|=4.由得圆心c满足:|ac|-|bc|=4,由双曲线定义知圆c的轨迹是以a、b为焦点的双曲线,设为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由上面推导知2a=4,a2+b2=5,a2=4,b2=1,从而c的圆心轨迹l的方程为:x24-y2=1.(2)如图所示,设点p(x0,y0),则x024-y02=1在pmf中,|mp|-|fp|mf|,即当p不在直线mf上时,都有|mp|-|fp|0)的左、右焦点,b是虚轴的端点,直线f1b与c的两条渐近线分别交于p,q两点,线段pq的垂直平分线与x轴交于点m.若|mf2|=|f1f2|,则c的离心率是()(a)233(b)62(c)2(d)3解析:由y=baxy=bc(x+c)可解得x=acc-a,y=bcc-a,即q(acc-a,bcc-a),由y=-baxy=bc(x+c)可解得x=-acc+a,y=bcc+a,即p(-acc+a,bcc+a),pq的中点为n(a2cc2-a2,bc2c2-a2),而m(3c,0),kmnbc=-1,即bc24a2c-3c3=-cb,整理得2c2=3a2,即e2=32,解得e=62.故选b.答案:b.7.(2011年安徽卷,理2)双曲线2x2-y2=8的实轴长是()(a)2(b)22(c)4(d)42解析:2x2-y2=8可化为x24-y28=1,故双曲线的实轴长为4.故选c.答案:c.8.(2011年湖南卷,理5)设双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为()(a)4(b)3(c)2(d)1解析:双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为y=3ax,又渐近线方程为3x2y=0即y=32x,3a=32,a=2.选c.答案:c.9.(2011年新课标全国卷,理7)设直线l过双曲线c的一个焦点,且与c的一条对称轴垂直,l与c交于a,b两点,|ab|为c的实轴长的2倍,则c的离心率为()(a)2(b)3(c)2(d)3解析:由题意知:设双曲线焦点在x轴上,则l与x轴垂直.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),当直线l的方程为x=c,与双曲线方程联立知a、b两点坐标分别为(c,b2a),(c,-b2a).所以|ab|=2b2a.又|ab|=2a2=4a,2b2a=4a,b2a2=2.所以双曲线的离心率e=1+b2a2=3.故选b.答案:b.10.(2010年新课标全国卷,理12)已知双曲线e的中心为原点,f(3,0)是e的焦点,过f的直线l与e相交于a,b两点,且ab的中点为n(-12,-15),则e的方程为()(a)x23-y26=1(b)x24-y25=1(c)x26-y23=1(d)x25-y24=1解析:f(3,0),ab的中点n(-12,-15),kab=-15-0-12-3=1.又f(3,0),可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),易知a2+b2=9再设a(x1,y1),b(x2,y2),则有x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1由-可得x12-x22a2=y12-y22b2,即(x1-x2)(x1+x2)a2=(y1+y2)(y1-y2)b2,y1-y2x1-x2=b2a2x1+x2y1+y2=kab=1.(*)又x1+x22=-12,y1+y22=-15,(*)式可化为b2a2(-12-15)=1,b2a2=54.由和可知b2=5,a2=4,双曲线的方程为x24-y25=1,故选b.答案:b. 本题在选择题中计算量比较大,利用中点建立起a与b的关系,再结合a2+b2=c2得a2、b2的值,从而求出双曲线的方程.11.(2010年安徽卷,理5)双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()(a)(22,0)(b)(52,0)(c)(62,0)(d)(3,0)解析:将双曲线方程化为标准形式x2-y212=1,所以a2=1,b2=12,c=a2+b2=62,右焦点坐标为(62,0).故选c.答案:c.12.(2010年福建卷,理7)若点o和点f(-2,0)分别为双曲线x2a2-y2=1(a0)的中心和左焦点,点p为双曲线右支上的任意一点,则opfp的取值范围为()(a)3-23,+)(b)3+23,+)(c)-74,+)(d)74,+)解析:由题意知c=2,a2+1=c2=4,a2=3,双曲线方程为x23-y2=1.设p(x,y)(x3),opfp=(x,y)(x+2,y)=x2+2x+y2=43x2+2x-1=43(x+34)2-74.x3,当x=3时,有最小值3+23.故选b.答案:b.13.(2010年浙江卷,理8)设f1、f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点p,满足|pf2|=|f1f2|,且f2到直线pf1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()(a)3x4y=0(b)3x5y=0(c)4x3y=0(d)5x4y=0解析:设双曲线焦距为2c,则|pf2|=|f1f2|=2c,由双曲线的定义知,当p在右支上时,|pf1|=2a+|pf2|=2a+2c,则由f2到直线pf1的距离等于双曲线的实轴长知2a=|pf2|2-(|pf1|2)2,即2a=4c2-(a+c)2,整理得ca=53,a2+b2a2=259,ba=43,双曲线渐近线方程为y=bax=43x,即4x3y=0.故选c.答案:c.14.(2012年江苏数学,8,5分)在平面直角坐标系xy中,若双曲线x2m-y2m2+4=1的离心率为5,则m的值为.解析:本题考查双曲线的标准方程、离心率.由题意,双曲线的焦点在x轴上,所以e=m2+m+4m=5,所以m=2.答案:215.(2012年湖北卷,理14,5分)如图,双曲线x2a2-y2b2=1(a,b0)的两顶点为a1,a2,虚轴两端点为b1,b2,两焦点为f1,f2,若以a1a2为直径的圆内切于菱形f1b1f2b2,切点分别为a,b,c,d,则(1)双曲线的离心率e=;(2)菱形f1b1f2b2的面积s1与矩形abcd的面积s2的比值s1s2=.解析:(1)由题图可知,点o到直线f1b2的距离d与圆o的半径oa1相等,又直线f1b2的方程为x-c+yb=1,即bx-cy+bc=0.所以d=bcb2+c2=a,整理得b2(c2-a2)=a2c2,即(c2-a2)2=a2c2,得c2-a2=ac.所以e2-e-1=0,解得e=5+12(负值舍去).(2)连结ob,设bc与x轴的交点为e,由勾股定理可求得|bf1|=c2-a2=b.由等面积法可求得|be|=|f1b|ob|f1o|=abc,则|oe|=|ob|2-|be|2=a2c.所以s2=2|oe|2|eb|=4a3bc2.又因为s1=12|f1f2|b1b2|=2bc,所以s1s2=c32a3=12e3=5+22.答案:(1)5+12(2)5+22 直线与圆相切,则圆心到该直线的距离等于半径,这正是本题求解双曲线的离心率的突破口.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.16.(2011年辽宁卷,理13)已知点(2,3)在双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,c的焦距为4,则它的离心率为.解析:由题意c=2且4a2-9b2=1且a2+b2=4解得a=1,e=ca=2.答案:2直线与双曲线的位置关系考向聚焦高考中考查较少,主要涉及双曲线的标准方程、几何性质、最值、弦长、交点等问题,主要考查学生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力及计算能力,一般为解答题,所占分值410分17.(2011年江西卷,理20)p(x0,y0)(x0a)是双曲线e:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点,m,n分别是双曲线e的左、右顶点,直线pm,pn的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线e的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于a,b两点,o为坐标原点,c为双曲线上一点,满足oc=oa+ob,求的值.解:(1)点p(x0,y0)(x0a)在双曲线x2a2-y2b2=1上,有x02a2-y02b2=1,由题意又有y0x0-ay0x0+a=15,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e=ca=305.(2)联立x2-5y2=5b2,y=x-c,得4x2-10cx+35b2=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=5c2,x1x2=35b24.设oc=(x3,y3),已知oc=oa+ob,即x3=x1+x2