【导与练】高中数学 第二课时 数列求和习题课同步作业 新人教版A版必修5.doc

【导与练】2014-2015学年高中数学 第二课时 数列求和习题课同步作业 新人教版a版必修5【选题明细表】知识点、方法题号公式法求和1、9分组求和法5、7裂项求和法2、6、8、11错位相减法4、12、13并项转化法3、10基础达标1.(2014桂林高二期末)在等比数列an中,a1+a2+an=2n-1,则a12+a22+an2等于(d)(a)(2n-1)2(b)13(2n-1)(c)4n-1 (d)13(4n-1)解析:由a1+a2+an=2n-1,得a1=1,a2=2,则数列an的公比q=2,数列an2的首项为a12=1,公比为q2=4.a12+a22+an2=1(1-4n)1-4=13(4n-1).故选d.2.(2014潍坊高二期末)已知数列an=14n2-1(nn*),则数列an的前10项和为(c)(a)2021(b)1819(c)1021(d)919解析:an=14n2-1=1(2n+1)(2n-1)=12(12n-1-12n+1),s10=12(11-13+13-15+119-121)=1021.故选c.3.若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10等于(a)(a)15 (b)12(c)-12(d)-15解析:a1+a2+a10=-1+4-7+10-+(-1)10(310-2)=(-1+4)+(-7+10)+(-1)9(39-2)+(-1)10(310-2)=35=15.故选a.4.数列n2n的前n项和等于(b)(a)n2n-2n+2(b)n2n+1-2n+1+2(c)n2n+1-2n (d)n2n+1-2n+1解析:设n2n的前n项和为sn,则sn=121+222+323+n2n 2sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1-得-sn=2+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1sn=n2n+1-2n+1+2,故选b.5.(2014烟台高二检测)已知数列an满足a1=1,an+1=an+n+2n(nn*),则an等于(b)(a)n(n-1)2+2n-1-1 (b)n(n-1)2+2n-1(c)n(n+1)2+2n+1-1(d)n(n-1)2+2n+1-1解析:an+1=an+n+2n,an+1-an=n+2n,a2-a1=1+2,a3-a2=2+22,a4-a3=3+23,an-an-1=n-1+2n-1(n2),以上各式相加得an-a1=1+2+2+22+3+23+n-1+2n-1=(1+2+3+n-1)+(2+22+23+2n-1),an=1+2+3+(n-1)+(1+2+22+23+2n-1)=n(n-1)2+1-2n1-2=n(n-1)2+2n-1(n2).又a1=1适合上式,an=n(n-1)2+2n-1.故选b.6.(2014德州联考)已知数列an满足an+1=an+2(nn*)且a1=2,数列bn满足bn=1anan+1,则数列bn的前10项和为.解析:由an+1-an=2得an是首项为2,公差为2的等差数列,an=2n,bn=12n(2n+2),数列bn的前10项和s10=124+146+12022=12(12-14+14-16+120-122)=12(12-122)=522.答案:5227.6+66+666+6666n个6=.解析:原式可视为数列an的前n项和,其中an=6666n个6=23(10n-1).其前n项和sn=23(10-1)+23(102-1)+23(103-1)+23(10n-1)=23(10+102+103+10n-n)=2310(1-10n)1-10-n=2(10n+1-9n-10)27.答案:2(10n+1-9n-10)27能力提升8.(2014珠海高二期末)求和:1+11+2+11+2+3+11+2+3+n=.解析:1+2+3+n=(1+n)n2,1+11+2+11+2+3+11+2+3+n=212+223+234+2n(n+1)=2(11-12+12-13+1n-1n+1)=2nn+1.答案:2nn+19.已知数列an中,a1=10,an+1=an-12,则它的前n项和sn的最大值为.解析:由an+1=an-12得an+1-an=-12,故an是公差为-12的等差数列,于是sn=10n+n(n-1)2(-12)=-14n2+414n=-14(n-412)2+41216,因此当n=20或n=21时,sn取最大值为s20=s21=105.答案:10510.(2012年高考福建卷)数列an的通项公式an=ncos n2+1,前n项和为sn,则s2012=.解析:函数y=cos 2x的周期为4,当n=4k+1(kn)时,an=(4k+1)cos 4k+12+1=1;当n=4k+2(kn)时,an=(4k+2)cos 4k+22+1=-4k-1;当n=4k+3(kn)时,an=(4k+3)cos 4k+32+1=1;当n=4k+4(kn)时,an=(4k+4)cos 4k+42+1=4k+5.a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=1-4k-1+1+4k+5=6.s2012=a1+a2+a3+a4+a5+a2012=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a2009+a2010+a2011+a2012)=6503=3018.答案:301811.(2014洛阳高二期末)已知数列an的前n项和sn=2an-2n+1+2(n为正整数).(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=log2a1+log2a22+log2ann,求数列1bn的前n项和tn.解:(1)在sn=2an-2n+1+2中,令n=1,可得s1=2a1-22+2=a1,a1=2.当n2时,sn-1=2an-1-2n+2,an=sn-sn-1=2an-2an-1-2n,an=2an-1+2n,an2n=an-12n-1+1.又a12=1,数列an2n是首项和公差均为1的等差数列.an2n=n,an=n2n.(2)由(1)得ann=2n,bn=log2a1+log2a22+log2ann=1+2+n=n(n+1)2.tn=1b1+1b2+1bn=212+223+2n(n+1)=2(1-12+12-13+1n-1n+1)=2nn+1.12.(2014潍坊高二期末)设an是递增等差数列,其前n项和为sn,已知a1=1,且s2,a4+1,s4成等比数列,数列bn满足an=2log3bn-1(nn*).(1)求数列an,bn的通项公式;(2)令cn=anbn(nn*),求数列cn的前n项和tn.解:(1)设an的公差为d(d0),由s2,a4+1,s4成等比数列得(a4+1)2=s2s4,即(2+3d)2=(2+d)(4+6d),整理得3d2-4d-4=0,解得d=2或d=-23(舍去).an=1+2(n-1)=2n-1.an=2log3bn-1,即log3bn=an+12=n,所以bn=3n.(2)cn=anbn=2n-13n,tn=13+332+533+2n-13n,13tn=132+333+2n-33n+2n-13n+1,-得,23tn=13+232+233+23n-2n-13n+1=2(13+132+13n)-13-2n-13n+1=23-2n+23n+1.tn=1-n+13n.探究创新13.(2014宣城高二期末)已知数列an中,a1=1,an+1=anan+3(nn*).(1)求证:1an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)数列bn满足bn=(3n-1)n2nan,数列bn的前n项和为tn,求使不等式tn+n2n-1318成立的正整数n的最小值.(1)证明:由a1=1,an+1=anan+3(nn*)知,1an+1+12=3(1an+12),又1a1+12=32,1an+12是以32为首项,3为公比的等比数列,1an+12=323n-1=3n2,an=23n-1.