【导与练】高考数学一轮总复习 第三篇 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课时训练 文（含解析）新人教版(1).doc

第6节正弦定理和余弦定理及其应用 【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、8、9、12与三角形面积有关的问题2、4判断三角形的形状3、11实际应用问题7、13综合应用5、6、10、14一、选择题1.(2013广东湛江十校联考)在abc中,内角a、b、c所对的边分别是a、b、c,已知b=2,b=30,c=15,则a等于(a)(a)22(b)23(c)6-2(d)4解析:a=180-30-15=135,由正弦定理asina=bsinb,得a22=212,即a=22.故选a.2.(2013安阳模拟)已知abc的一个内角是120,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是(d)(a)103(b)303(c)203(d)153解析:设a、b、c所对边长分别为b-4,b,b+4,则cos 120=(b-4)2+b2-(b+4)22(b-4)b,b2-10b=0,b=10或b=0(舍去),b=10,b-4=6,三角形的面积s=1210632=153.故选d.3.(2013湖州模拟)在abc中,若sin2a+sin2bsin2c,则abc的形状是(d)(a)钝角三角形(b)直角三角形(c)锐角三角形(d)不能确定解析:sin2a+sin2bsin2c,a2+b2c2,即a2+b2-c20,cos c=a2+b2-c22ab0,又c(0,),0c2,但仅由角c为锐角不能判定三角形的形状.故选d.4.在abc中,角a、b、c所对应的边分别为a、b、c,若角a、b、c依次成等差数列,且a=1,b=3,则sabc等于(c)(a)2(b)3(c)32(d)2解析:a、b、c成等差数列,a+c=2b,b=60.又a=1,b=3,asina=bsinb,sin a=asinbb=3213=12,a=30,c=90.sabc=1213=32.故选c.5.(2013年高考新课标全国卷)已知锐角abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,23cos2a+cos 2a=0,a=7,c=6,则b等于(d)(a)10(b)9(c)8(d)5解析:由题意知,23cos2a+2cos2a-1=0,即cos2a=125,又因为abc为锐角三角形,所以cos a=15.在abc中,由余弦定理知72=b2+62-2b615,即b2-125b-13=0,即b=5或b=-135(舍去),故选d.6.(2012年高考陕西卷)在abc中,角a,b,c所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos c的最小值为(c)(a)32(b)22(c)12(d)-12解析:由余弦定理得cos c=a2+b2-c22ab=c22abc2a2+b2=12,当且仅当a=b,即abc为等腰三角形时取到等号.故选c.二、填空题7.某居民小区为了美化环境,给居民提供更好的生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮,已知这种草皮的价格是120元/m2,则购买这种草皮需要元.解析:三角形空地面积s=1212325sin 120=225(m2),故共需225120=27000(元).答案:270008.(2012年高考北京卷)在abc中,若a=2,b+c=7,cos b=-14,则b=.解析:由已知根据余弦定理b2=a2+c2-2accos b得b2=4+(7-b)2-22(7-b)-14,即15b-60=0,得b=4.答案:49.(2013哈尔滨模拟)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,且cos a=35,cos b=513,b=3,则边c=.解析:cos a=35,cos b=513,a,b(0,),sin a=45,sin b=1213,sin(a+b)=45513+351213=5665.即sin c=5665.由正弦定理bsinb=csinc得c=bsincsinb=356651213=145.答案:14510.在abc中,设角a、b、c的对边分别为a、b、c,若a=(cos c,2a-c),b=(b,-cos b)且ab,则b=.解析:由ab,得ab=bcos c-(2a-c)cos b=0,利用正弦定理,可得sin bcos c-(2sin a-sin c)cos b=sin bcos c+cos bsin c-2sin acos b=0,即sin(b+c)=sin a=2sin acos b,因为sin a0,故cos b=12,因此b=3.答案:311.在abc中,内角a、b、c所对的边分别是a、b、c若sin c+sin(b-a)=sin 2a,则abc的形状为.解析:由sin c+sin (b-a)=sin 2a得sin(a+b)+sin(b-a)=sin 2a,2sinbcos a=2sin acos a.cos a=0或sin a=sin b.0a、b,a=2或a=b,abc为直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答题12.(2013兰州市第一次诊断)在abc中,角a、b、c的对边分别为a、b、c,a2=b2+c2+bc.(1)求角a的大小;(2)若a=23,b=2,求c的值.解:(1)由a2=b2+c2+bc,得b2+c2-a22bc=-12.cos a=-12.0a,a=23.(2)由正弦定理,得sin b=basin a=22332=12.a=23, 0b,b=6.c=-(a+b)=6.c=b=2.13.如图所示,a、b、c、d都在同一个与水平面垂直的平面内,b、d为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75,30,于水面c处测得b点和d点的仰角均为60,ac=0.1 km.(1)试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离会相等?(2)求b、d的距离.解:(1)如图所示,在adc中,dac=30,adc=60-dac=30,cd=ac=0.1 km,又bcd=180-60-60=60,ced=90,cb是cad底边ad的中垂线,bd=ba.(2)在abc中,abc=75-60=15,由正弦定理得absinbca=acsinabc,ab=0.1sin60sin15=32+620(km),bd=32+620(km).故b、d间的距离是32+620km.14.在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知sin b(tan a+tan c)=tan atan c.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若a=1,c=2,求abc的面积s.(1)证明:在abc中,sin b(tan a+tan c)=tan atan c,sin bsinacosa+sinccosc=sinacosasinccosc,sin b(sin acos c+cos asin c)=sin asin c,sin bsin(a+c)=sin asin c,a+c=-b,sin(a+c)=sin b,sin2 b=sin asin c,由正弦定理得,b2=ac,a,b,c成等比数列.(2)解:a=1,c=2,b2=ac=2,b=2,cos b=a2+c2-b22ac=12+22-2212=34,0b0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)讨论f(x)在区间0,2上的单调性.解:(1)f(x)=4cos xsin xcos 4+cos xsin 4=4cos x22sin x+22cos x=22sin xcos x+22cos2 x=2sin 2x+2(cos 2x+1)=2sin 2x+2cos 2x+2=2sin2x+4+2,因为f(x)的最小正周期为且0,故22=,则=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin2x+4+2.若0x2,则42x+454.当42x+42,即0x8时,f(x)单调递增;当22x+454,即8x2时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间0,8上单调递增,在区间8,2上单调递减.3.(2012年高考江西卷)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知a=4,bsin4+c-csin4+b=a.(1)求证:b-c=2;(2)若a=2,求abc的面积.(1)证明:由bsin4+c-csin4+b=a,应用正弦定理,得sin bsin4+c-sin csin4+b=sin a,sin b22sin c+22cos c-sin c22sin b+22cos b=22,整理得sin bcos c-cos bsin c=1,即sin(b-c)=1.由于0b,c0)在一个周期内的图象如图所示,a为图象的最高点,b、c为图象与x轴的交点,且abc为正三角形.(1)求的值及函数f(x)的值域;(2)若f(x0)=835,且x0-103,23,求f(x0+1)的值.解:(1)f(x)=6cos2x2+3sin x-3=3cos x+3sin x=23sinx+3.由题意知正三角形abc的高为23,则bc=4,所以函数f(x)的周期t=42=8,即2=8,解得=4.所以函数f(x)的值域为-23,23.(2)因为f(x0)=835,由(1)有f(x0)=23sinx04+3=835,即sinx04+3=45,由x0-103,23得x04+3-2,2.即cosx04+3=1-(45)2=35,故f(x0+1)=23sinx04+4+3=23sinx04+3+4=23sinx04+3cos4+cosx04+3sin4=234522+3522=765.8.(2013大庆模拟)在abc中,角a、b、c所对的边分别为a,b,c,已知2sabc=3babc.(1)求角b的大小;(2)若b=2,求a+c的取值范围.解:(1)由已知得acsin b=3accos b,tan b=3.0b,b=3.(2)法一由余弦定理得4=a2+c2-2accos3,4=(a+c)2-3ac(a+c)2-3a+c22=(a+c)24