【导与练】高考数学 高校信息化课堂 高考中档题训练（二）理.doc

高考中档题训练(二)1.(2014嘉兴一模)设数列an的前n项和为sn,4sn=an2+2an-3,且a1,a2,a3,a4,a11成等比数列,当n11时,an0.(1)求证:当n11时,an成等差数列;(2)求an的前n项和sn.(1)证明:由4sn=an2+2an-3,4sn+1=an+12+2an+1-3,得4an+1=an+12-an2+2an+1-2an,(an+1+an)(an+1-an-2)=0,当n11时,an0,所以an+1-an=2,所以当n11时,an成等差数列.(2)解:由4a1=a12+2a1-3,得a1=3或a1=-1,又a1,a2,a3,a4,a11成等比数列,所以an+1+an=0(n10),q=-1,而a110,所以a10,从而a1=3.当1n10时,sn=31-(-1)n1-(-1)=321-(-1)n,当n11时,a11,a12,an成等差数列首项a11=3,公差d=2,于是sn=s10+a11+an=(n-10)3+3+2(n-11)2=n2-18n+80.所以sn=321-(-1)n(1n10),n2-18n+80(n11).2.(2013高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径.一种是从a沿直线步行到c,另一种是先从a沿索道乘缆车到b,然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山,甲沿ac匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从a乘缆车到b,在b处停留1 min后,再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路ac长为1260 m,经测量,cos a=1213,cos c=35.(1)求索道ab的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在abc中,因为cos a=1213,cos c=35,所以sin a=513,sin c=45.从而sin b=sin-(a+c)=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=51335+121345=6365.由正弦定理absinc=acsinb,得ab=acsinbsin c=1260636545=1040(m).所以索道ab的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离a处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)1213=200(37t2-70t+50).由于0t1040130,即0t8,故当t=3537(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理bcsina=acsinb,得bc=acsinbsin a=12606365513=500(m).乙从b出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达c.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3500v-710503,解得125043v62514,所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在125043,62514(单位:m/min)范围内.3.(2013高考北京卷)如图,在三棱柱abca1b1c1中,aa1c1c是边长为4的正方形,平面abc平面aa1c1c,ab=3,bc=5.(1)求证:aa1平面abc;(2)求二面角a1bc1b1的余弦值;(3)证明:在线段bc1上存在点d,使得ada1b.并求bdbc1的值.(1)证明:因为aa1c1c为正方形,所以aa1ac.因为平面abc平面aa1c1c,且aa1垂直于这两个平面的交线ac,所以aa1平面abc.(2)解:由(1)知aa1ac,aa1ab.由题知ab=3,bc=5,ac=4,所以abac.如图,以a为原点建立空间直角坐标系axyz,则b(0,3,0),a1(0,0,4),b1(0,3,4),c1(4,0,4).设平面a1bc1的法向量为n=(x,y,z),则na1b=0,na1c1=0,即3y-4z=0,4x=0,令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面b1bc1的一个法向量为m=(3,4,0).所以cos=nm|n|m|=1625.由题知二面角a1bc1b1为锐角,所以二面角a1bc1b1的余弦值为1625.(3)证明:设d(x1,y1,z1)是线段bc1上一点,且bd=bc1.所以(x1,y1-3,z1)=(4,-3,4).解得x