中考数学总复习 第四章 图形的认识 4.6 解直角三角形（试卷部分）课件.ppt

第四章图形的认识 4 6解直角三角形 中考数学 浙江专用 1 2018金华 8 3分 如图 两根竹竿ab和ad斜靠在墙ce上 量得 abc adc 则竹竿ab与ad的长度之比为 a b c d 考点一锐角三角函数 a组2014 2018年浙江中考题组 五年中考 答案bab ad 2 2017湖州 3 4分 如图 已知在rt abc中 c 90 ab 5 bc 3 则cosb的值是 a b c d 答案a在rt abc中 ab 5 bc 3 cosb 3 2017温州 7 4分 如图 一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶13米 已知cos 则小车上升的高度是 a 5米b 6米c 6 5米d 12米 答案a因为cos 且小车沿斜坡向上行驶13米 所以小车水平向前移动了13 12米 由勾股定理得小车上升的高度是5米 故选a 4 2016绍兴 8 4分 如图 在rt abc中 b 90 a 30 以点a为圆心 bc长为半径画弧交ab于点d 分别以点a d为圆心 ab长为半径画弧 两弧交于点e 连接ae 则 ead的余弦值是 a b c d 答案b如图 过点e作em ad 垂足为m 由题意知me垂直平分ad am ad bc 在rt abc中 易知ab bc ae ab bc cos ead 故选b 5 2015丽水 8 3分 如图 点a为 边上一点 作ac bc于点c cd ab于点d 下列用线段比表示cos 的值 错误的是 a b c d 答案c根据余弦函数定义对各选项逐一作出判断 在rt bcd中 cos a正确 在rt abc中 cos b正确 易知 acd 在rt acd中 cos acd cos d正确 故选c 关键提示 acd 1 2017绍兴 6 4分 如图 小巷左右两侧是竖直的墙 一架梯子斜靠在左墙时 梯子底端到左墙角的距离为0 7米 顶端距离地面2 4米 如果保持梯子底端位置不动 将梯子斜靠在右墙时 顶端距离地面2米 则小巷的宽度为 a 0 7米b 1 5米c 2 2米d 2 4米 考点二解直角三角形 答案c设梯子斜靠在右墙时 底端到右墙角的距离为x米 由勾股定理可得0 72 2 42 x2 22 可解得x 1 5 负值舍去 则小巷的宽度为0 7 1 5 2 2 米 故选c 思路分析当梯子斜靠在右墙时 梯子的长度并不改变 而且墙与地面是垂直的 则可先运用勾股定理构造方程解出梯子底端到右墙角的距离 再求小巷的宽度 答案a由点e与点b关于ac对称可设ab ae x 因为ab ad 所以be x 由点e与点f关于bd对称 可得 ebd fbd 又 edb fbd 所以 ebd edb 所以de be x 所以ad x x tan adb 1 所以1 tan adb 故选a 2 2014杭州 10 3分 已知ad bc ab ad 点e 点f分别在射线ad 射线bc上 若点e与点b关于ac对称 点e与点f关于bd对称 ac与bd相交于点g 则 a 1 tan adb b 2bc 5cfc aeb 22 defd 4cos agb 解析 ab cd dca cah 45 dcb cbh 30 ah 1200 米 bh 1200 米 ab bh ah 1200 1200 米 3 2018宁波 16 4分 如图 某高速公路建设中需要测量某条江的宽度ab 飞机上的测量人员在c处测得a b两点的俯角分别为45 和30 若飞机离地面的高度ch为1200米 且点h a b在同一水平直线上 则这条江的宽度ab为米 结果保留根号 答案1200 1200 解析如图 易知四边形adch为矩形 ch ad 1m ah cd 10m 在rt abh中 bah 60 tan60 bh 10m bc bh ch 10 1 m 4 2016宁波 16 4分 如图 在一次数学课外实践活动中 小聪在距离旗杆10m的a处测得旗杆顶端b的仰角为60 测角仪高ad为1m 则旗杆高bc为m 结果保留根号 答案10 1 5 2015宁波 16 4分 如图 在数学活动课中 小敏为了测量校园内旗杆ab的高度 站在教学楼的c处测得旗杆底端b的俯角为45 测得旗杆顶端a的仰角为30 若旗杆与教学楼的距离为9m 则旗杆ab的高度是m 结果保留根号 答案9 3 解析在rt acd中 tan acd ad dc tan acd 9 tan30 9 3 m 在rt bcd中 tan bcd bd dc tan bcd 9 tan45 9 1 9 m ab ad bd 3 9 m 6 2018嘉兴 22 10分 如图1 滑动调节式遮阳伞的立柱ac垂直于地面ab p为立柱上的滑动调节点 伞体的截面示意图为 pde f为pd中点 ac 2 8m pd 2m cf 1m dpe 20 当点p位于初始位置p0时 点d与c重合 如图2 根据生活经验 当太阳光线与pe垂直时 遮阳效果最佳 1 上午10 00时 太阳光线与地面的夹角为65 如图3 为使遮阳效果最佳 点p需从p0上调多少距离 结果精确到0 1m 2 中午12 00时 太阳光线与地面垂直 如图4 为使遮阳效果最佳 点p在 1 的基础上还需上调多少距离 结果精确到0 1m 参考数据 sin70 0 94 cos70 0 34 tan70 2 75 1 41 1 73 解析 1 如题图2 当点p位于初始位置p0时 cp0 2m 如图 10 00时 太阳光线与地面的夹角为65 点p上调至p1处 1 90 cab 90 ap1e 115 cp1e 65 dp1e 20 cp1f 45 cf p1f 1m c cp1f 45 cp1f为等腰直角三角形 cp1 m p0p1 cp0 cp1 2 0 6m 图 即点p需从p0上调0 6m 2 如图 中午12 00时 太阳光线与pe 地面都垂直 点p上调至p2处 p2e ab cab 90 cp2e 90 dp2e 20 cp2f cp2e dp2e 70 cf p2f 1m cp2f为等腰三角形 c cp2f 70 过点f作fg cp2于点g gp2 p2f cos70 1 0 34 0 34m 图 cp2 2gp2 0 68m p1p2 cp1 cp2 0 68 0 7m 即点p在 1 的基础上还需上调0 7m 7 2018衢州 20 8分 五 一 期间 小明到小陈家所在的美丽乡村游玩 在村头a处小明接到小陈发来的定位 发现小陈家c在自己的北偏东45 方向 于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达b处 这时定位显示小陈家c在自己的北偏东30 方向 如图所示 根据以上信息和下面的对话 请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才到达桥头d处 精确到1米 备用数据 1 414 1 732 解析设bd x米 则ad 200 x 米 在rt acd中 cad 45 cd ad 200 x 米 在rt bcd中 cbd 60 cd bd x米 200 x x x 100 1 100 100 273 答 小明还需继续直走约273米才能到达桥头d处 8 2016嘉兴 19 8分 太阳能光伏建筑是太阳能光伏系统与现代绿化环保住宅的完美结合 老刘准备把自家屋顶改建成光伏瓦面 改建前屋顶截面图 abc 如图所示 bc 10米 abc acb 36 改建后顶点d在ba的延长线上 且 bdc 90 求改建后南屋面边沿增加部分ad的长 结果精确到0 1米 参考数据 sin18 0 31 cos18 0 95 tan18 0 32 sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 解析 bdc 90 bc 10米 sin b cd bc sin b 10 0 59 5 9 米 在rt bcd中 bcd 90 b 90 36 54 acd bcd acb 54 36 18 在rt acd中 tan acd ad cd tan acd 5 9 0 32 1 888 1 9 米 答 改建后南屋面边沿增加部分ad的长约为1 9米 关键提示利用cd 沟通 两直角三角形 9 2016丽水 19 6分 数学拓展课程 玩转学具 课堂中 小陆同学发现 一副三角板中 含45 角的三角板的斜边与含30 角的三角板的长直角边相等 于是 小陆同学提出了一个问题 如图 将一副三角板拼放在一起 使直角顶点重合 点b c e在同一直线上 若bc 2 求af的长 请你运用所学的数学知识解决这个问题 解析在rt abc中 bc 2 a 30 ac 2 由题意 得ef ac 2 在rt efc中 e 45 cf ef sin45 2 af ac cf 2 10 2016台州 20 8分 保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm 图1是一位同学的坐姿 把她的眼睛b 肘关节c和笔端a的位置关系抽象成图2的 abc 已知bc 30cm ac 22cm acb 53 她的这种坐姿符合保护视力的要求吗 请说明理由 参考数据 sin53 0 8 cos53 0 6 tan53 1 3 图1图2 解析该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求 1分 理由 如图 过点b作bd ac于点d 在rt bdc中 bd bcsin53 30 0 8 24cm 3分 cd bccos53 30 0 6 18cm 5分 ad ac cd 4cm 6分 在rt abd中 ab cm 30 cm 该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求 8分 11 2015绍兴 20 8分 如图 从地面上的点a看一山坡上的电线杆pq 测得杆顶端点p的仰角是45 向前走6m到达b点 测得杆顶端点p和杆底端点q的仰角分别是60 和30 1 求 bpq的度数 2 求该电线杆pq的高度 结果精确到1m 备用数据 1 7 1 4 解析延长pq交直线ab于点c 1 bpq 90 60 30 2 设pq xm 则qb qp x 在 bcq中 bc x cos30 x qc x 在 acp中 ca cp 6 x x x x 2 6 pq 2 6 9 即该电线杆pq的高度约为9m 12 2015台州 19 8分 如图是一把可调节座椅的侧面示意图 已知头枕上的点a到调节器点o处的距离为80cm ao与地面垂直 现调整靠背 把oa绕点o旋转35 到oa 处 求调整后点a 比调整前点a的高度降低了多少cm 结果取整数 参考数据 sin35 0 57 cos35 0 82 tan35 0 70 解析如图 过点a 作a h oa于点h 由旋转可知 oa oa 80 1分 在rt oa h中 oh oa cos35 4分 80 0 82 65 6 6分 ah oa oh 80 65 6 14 4 14cm 答 调整后点a 比调整前点a的高度降低了14cm 8分 13 2015嘉兴 舟山 22 10分 小红将笔记本电脑水平放置在桌子上 显示屏ob与底板oa的夹角为120 时 如图1 感觉最舒适 侧面示意图为图2 使用时为了散热 她在底板下垫入散热架aco 后 电脑转到ao b 位置 如图3 侧面示意图为图4 已知oa ob 24cm o c oa于点c o c 12cm 1 求 cao 的度数 2 显示屏的顶部b 比原来升高了多少 3 垫入散热架后 要使显示屏o b 与水平面所成的相应角仍保持120 则显示屏o b 应绕点o 按顺时针方向旋转多少度 解析 1 o c oa于点c o a oa 24cm o c 12cm sin cao cao 30 2 如图 过点b作bd ao交ao的延长线于点d sin bod bd ob sin bod aob 120 bod 60 bd ob sin bod 24 12cm o c oa cao 30 ao c 60 ao b 120 ao b ao c 180 点c o b 在同一条直线上 o b o c bd 24 12 12 36 12 cm 显示屏的顶部b 比原来升高了 36 12 cm 3 显示屏o b 应绕点o 按顺时针方向旋转30 理由如下 设电脑显示屏o b 绕点o 按顺时针方向旋转 度至o e处时满足题意 作o f oa 则 eo f 120 o f ac fo a cao 30 eo b fo a 30 即 30 显示屏o b 应绕点o 按顺时针方向旋转30 方法总结解此类题需把实物图抽象成几何图形 然后利用解直角三角形求解 1 2018贵州贵阳 7 3分 如图 a b c是小正方形的顶点 且每个小正方形的边长都为1 则tan bac的值为 a b 1c d b组2014 2018年全国中考题组 考点一锐角三角函数 答案b如图 连接bc 在 abd和 bce中 abd bce sas ab bc abd bce bce cbe 90 abd cbe 90 即 abc 90 tan bac 1 故选b 2 2015内蒙古包头 4 3分 在rt abc中 c 90 若斜边ab是直角边bc的3倍 则tanb的值是 a b 3c d 2 答案d在rt abc中 设bc x x 0 则ab 3x ac 2x 则tanb 2 故选d 3 2015内蒙古包头 11 3分 已知下列命题 在rt abc中 c 90 若 a b 则sina sinb 四条线段a b c d中 若 则ad bc 若a b 则a m2 1 b m2 1 若 x x 则x 0 其中原命题与逆命题均为真命题的是 a b c d 答案a由 x x 可知 x 0 所以x 0 所以命题 错误 命题 及其逆命题均正确 故选a 4 2018贵州贵阳 18 4分 如图 在rt abc中 以下是小亮探索与之间关系的方法 sina sinb c c 根据你掌握的三角函数知识 在图 的锐角 abc中 探索 之间的关系 并写出探索过程 解析如图1 过点a作bc边上的高ad 图1 在rt abd中 sinb 在rt acd中 sinc ad csinb ad bsinc csinb bsinc 同理 如图2 过点b作ac边上的高be 图2 在rt abe中 sina 在rt bce中 sinc be csina be asinc csina asinc 综上 1 2018重庆 10 4分 如图 旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上 旗杆与地面垂直 在教学楼底部e点处测得旗杆顶端的仰角 aed 58 升旗台底部到教学楼底部的距离de 7米 升旗台坡面cd的坡度i 1 0 75 坡长cd 2米 若旗杆底部到坡面cd的水平距离bc 1米 则旗杆ab的高度约为 参考数据 sin58 0 85 cos58 0 53 tan58 1 6 a 12 6米b 13 1米c 14 7米d 16 3米 考点二解直角三角形 答案b如图 延长ab交ed的延长线于m 作cj dm于j 则四边形bmjc是矩形 在rt cjd中 设cj 4k dj 3k k 0 已知cd 2 则有9k2 16k2 4 解得k bm cj dj 又 bc mj 1 em mj dj de 在rt aem中 tan aem tan58 1 6 解得ab 13 1 米 故选b 思路分析延长ab交ed的延长线于m 作cj dm于j 则四边形bmjc是矩形 在rt cjd中求出cj dj的长 再根据tan aem 即可解决问题 方法总结解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型 正确画出图形 找到直角三角形 根据题目中的已知条件 将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题 画出平面几何图形 弄清已知条件中各量之间的关系 若图中有直角三角形 则根据边角关系进行计算即可 若图中没有直角三角形 则可通过添加辅助线构造直角三角形来解决 2 2015黑龙江哈尔滨 6 3分 如图 某飞机在空中a处探测到它的正下方地平面上目标c 此时飞行高度ac 1200m 从飞机上看地平面指挥台b的俯角 30 则飞机所在a处与指挥台b的距离为 a 1200mb 1200mc 1200md 2400m 答案d由 b 30 sinb 得ab 1200 2 2400m 故选d 3 2015山东聊城 10 3分 湖南路大桥于今年5月1日竣工 为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线 某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度 在距桥塔ab底部50米的c处 测得桥塔顶部a的仰角为41 5 如图 已知测量仪器cd的高度为1米 则桥塔ab的高度约为 参考数据 sin41 5 0 663 cos41 5 0 749 tan41 5 0 885 a 34米b 38米c 45米d 50米 答案c作de ab于e 则be cd 1米 de bc 50米 在rt ade中 tan41 5 所以ae tan41 5 50 0 885 50 44 25 米 所以ab ae be 45米 故选c 4 2015江苏苏州 10 3分 如图 在一笔直的海岸线l上有a b两个观测站 ab 2km 从a测得船c在北偏东45 的方向 从b测得船c在北偏东22 5 的方向 则船c离海岸线l的距离 即cd的长 为 a 4kmb 2 kmc 2kmd 4 km 答案b如图 在rt abe中 aeb 45 ab eb 2km ae 2km ebc 22 5 ecb aeb ebc 22 5 ebc ecb eb ec 2km ac ae ec 2 2 km 在rt adc中 cad 45 ad dc 2 km 即点c到l的距离为 2 km 故选b 5 2014湖北黄冈 23 7分 如图 在南北方向的海岸线mn上 有a b两艘巡逻船 现均收到故障船c的求救信号 已知a b两船相距100 1 海里 船c在船a的北偏东60 方向上 船c在船b的东南方向上 mn上有一观测点d 测得船c正好在观测点d的南偏东75 方向上 1 分别求出a与c a与d间的距离ac和ad 如果运算结果有根号 请保留根号 2 已知距观测点d处100海里范围内有暗礁 若巡逻船a沿直线ac去营救船c 在去营救的途中有无触礁危险 参考数据 1 41 1 73 解析 1 如图 过c作ce ab于e 设ae a海里 则be ab ae 100 1 a 海里 在rt ace中 aec 90 eac 60 ac 2a海里 ce ae tan60 a海里 在rt bce中 be ce 100 1 a a a 100 ac 2a 200海里 在 acd和 abc中 acb 180 45 60 75 adc cad bac acd abc 即 ad 200 1 海里 答 a与c间的距离ac为200海里 a与d间的距离ad为200 1 海里 2 如图 过d作df ac于f 在rt adf中 daf 60 df ad sin60 200 1 100 3 127海里 100海里 船a沿直线ac航行 前往船c处途中无触礁危险 1 2016广东 8 3分 如图 在平面直角坐标系中 点a的坐标为 4 3 那么cos 的值是 a b c d c组教师专用题组 考点一锐角三角函数 答案d过点a作ab垂直x轴于b 则ab 3 ob 4 由勾股定理得oa 5 cos 故选d 2 2015甘肃兰州 4 4分 如图 abc中 b 90 bc 2ab 则cosa a b c d 答案d设ab k k 0 则bc 2k b 90 ac k cosa 故选d 1 2014江苏苏州 9 3分 如图 港口a在观测站o的正东方向 oa 4km 某船从港口a出发 沿北偏东15 方向航行一段距离后到达b处 此时从观测站o处测得该船位于北偏东60 的方向 则该船航行的距离 即ab的长 为 a 4kmb 2kmc 2kmd 1 km 考点二解直角三角形 答案c过a作ob边的垂线ad 垂足为d 易知 boa 30 bad 45 在rt oad中 ad oasin doa 4sin30 2km 在rt abd中 ab 2km 故选c 2 2017湖北黄冈 22 8分 在黄冈长江大桥的东端一处空地上 有一块矩形的标语牌abcd 如图所示 已知标语牌的高ab 5m 在地面的点e处 测得标语牌点a的仰角为30 在地面的点f处 测得标语牌点a的仰角为75 且点e f b c在同一直线上 求点e与点f之间的距离 计算结果精确到0 1米 参考数据 1 41 1 73 解析过点f作fm ae于点m afb 75 e 30 eaf 45 设am mf x米 1分 在rt abe中 ab 5 e 30 ae 2ab 10 3分 在rt emf中 e 30 mf x ef 2x em x 又 ae am em x x 10 x 5 1 6分 ef 2x 10 1 10 1 73 1 7 3 即点e与点f之间的距离约为7 3米 8分 3 2016天津 22 10分 小明上学途中要经过a b两地 由于a b两地之间有一片草坪 所以需要走路线ac cb 如图 在 abc中 ab 63m a 45 b 37 求ac cb的长 结果保留小数点后一位 参考数据 sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 取1 414 解析如图 过点c作cd ab 垂足为d 在rt acd中 tana sina a 45 ad cd ac cd 在rt bcd中 tanb sinb b 37 bd cb ad bd ab ab 63 cd 63 解得cd 27 00 ac 1 414 27 00 38 178 38 2 cb 45 0 答 ac的长约等于38 2m cb的长约等于45 0m 4 2014浙江绍兴 21 10分 九 1 班同学在上学期的社会实践活动中 对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量 1 如图1 第一小组用一根木条cd斜靠在护墙上 使得db与cb的长度相等 如果测量得到 cdb 38 求护墙与地面的倾斜角 的度数 2 如图2 第二小组用皮尺量得ef为16米 e为护墙上的端点 ef的中点离地面fb的高度为1 9米 请你求出e点离地面fb的高度 3 如图3 第三小组利用第一 二小组的结果 来测量护墙上旗杆的高度 在点p测得旗杆顶端a的仰角为45 向前走4米到达q点 测得a的仰角为60 求旗杆ae的高度 精确到0 1米 备用数据 tan60 1 732 tan30 0 577 1 732 1 414 解析 图1 1 76 2 过点e作eg fb 垂足为g 过ef的中点o作oh fb 垂足为h 如图1 oh 1 9 eg 2oh 3 8 e点的高度为3 8米 3 延长ae交直线pb于g 如图2 设ag x 图2 在rt qag中 tan aqg 得qg x 在rt pag中 tan apg 得pg x pq qg pg 4 x x 解得x 9 46 ae 5 7 旗杆ae的高度约是5 7米 5 2014宁波 21 8分 如图 从a地到b地的公路需经过c地 图中ac 10千米 cab 25 cba 37 因城市规划的需要 将在a b两地之间修建一条笔直的公路 1 求改直后的公路ab的长 2 问公路改直后比原来缩短了多少千米 sin25 0 42 cos25 0 91 sin37 0 60 tan37 0 75 解析 1 作ch ab于点h 1分 在rt ach中 ch ac sin cab ac sin25 10 0 42 4 2 千米 2分 ah ac cos cab ac cos25 10 0 91 9 1 千米 3分 在rt bch中 bh ch tan37 4 2 0 75 5 6 千米 4分 ab ah bh 9 1 5 6 14 7 千米 5分 2 在rt bch中 bc ch sin37 4 2 0 60 7 0 千米 6分 ac bc ab 10 7 14 7 2 3 千米 答 改直后比原来缩短了2 3千米 8分 6 2015河南 20 9分 如图所示 某数学活动小组选定测量小河对岸大树bc的高度 他们在斜坡上d处测得大树顶端b的仰角是30 朝大树方向下坡走6米到达坡底a处 在a处测得大树顶端b的仰角是48 若坡角 fae 30 求大树的高度 结果保留整数 参考数据 sin48 0 74 cos48 0 67 tan48 1 11 1 73 解析延长bd交ae于点g 过点d作dh ae于点h 由题意知 dae bga 30 da 6 gd da 6 gh ah da cos30 6 3 ga 6 2分 设bc x米 在rt gbc中 gc x 4分 在rt abc中 ac 6分 gc ac ga x 6 8分 x 13 即大树的高度约为13米 9分 7 2014广东 20 7分 如图 某数学兴趣小组想测量一棵树cd的高度 他们先在点a处测得树顶c的仰角为30 然后沿ad方向前行10m 到达b点 在b处测得树顶c的仰角为60 a b d三点在同一直线上 请你根据他们的测量数据计算这棵树cd的高度 结果精确到0 1m 参考数据 1 414 1 732 解析 cab 30 cbd 60 acb 60 30 30 cab acb bc ab 10 3分 在rt cbd中 sin60 cd bc sin60 10 5 8 7 m 答 这棵树高约8 7m 7分 8 2014甘肃兰州 24 8分 如图 在电线杆上的c处引拉线ce cf固定电线杆 拉线ce和地面成60 角 在离电线杆6米处安置测角仪ab 在a处测得电线杆上c处的仰角为30 已知测角仪ab的高为1 5米 求拉线ce的长 结果保留根号 解析过点a作am cd 垂足为m 1分 am bd 6 ab md 1 5 2分 在rt acm中 tan30 cm am tan30 6 2 4分 cd cm md 2 1 5 5分 在rt ced中 sin60 即 ce 4 米 6分 答 拉线ce的长为 4 米 8分 评析本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形 并结合图形利用特殊角的三角函数值解直角三角形 属中等难度题 9 2014安徽 18 8分 如图 在同一平面内 两条平行高速公路l1和l2间有一条 z 型道路连通 其中ab段与高速公路l1成30 角 长为20km bc段与ab cd段都垂直 长为10km cd段长为30km 求两高速公路间的距离 结果保留根号 解析如图 过点a作ab的垂线交dc的延长线于点e 过点e作l1的垂线与l1 l2分别交于点h f 则hf l2 由题意知ab bc bc cd 又ae ab 四边形abce为矩形 ae bc ab ec 2分 de dc ce dc ab 50 又ab与l1成30 角 edf 30 eah 60 在rt def中 ef de sin30 50 25 5分 在rt aeh中 eh ae sin60 10 5 所以hf ef he 25 5 答 两高速公路间的距离为 25 5 km 8分 评析本题考查了解直角三角形的应用 属容易题 1 2018杭州拱墅二模 1 sin30 a b c d 三年模拟 a组2016 2018年模拟 基础题组 考点一锐角三角函数 答案asin30 故选a 2 2018下沙一模 3 在rt abc中 c 90 ab 5 bc 3 则cosa的值是 a b c d 答案b在rt abc中 ab 5 bc 3 ac 4 cosa 故选b 3 2017杭州二模 2 把 abc三边的长度都扩大为原来的2倍 则锐角a的正切函数值 a 缩小为原来的b 不变c 扩大为原来的2倍d 扩大为原来的4倍 答案b三角形三边扩大为原来的2倍后 两三角形相似 即角的大小不变 对于一个锐角 角度不变 三角函数值也不会变 4 2016绍兴嵊州一模 7 如图 在 abc中 c 90 ab 5 ac 4 则sina的值是 a b c d 答案d c 90 ab 5 ac 4 bc 3 sina 故选d 5 2016温州模拟 8 正方形网格中 aob如图放置 则cos aob的值为 a b c d 答案b设网格中小正方形边长为1 如图 c为ob边上的格点 连接ac 根据勾股定理得 ao 2 ac oc 所以ao2 20 ac2 oc2 所以 aco 90 所以 aoc是直角三角形 cos aob 故选b 1 2018杭州滨江一模 如图 在rt abc中 acb 90 cd ab cos bcd bd 6 则边ab的长度是 a b c d 考点二解直角三角形 答案a cd ab acb 90 acb cdb 90 1 2 90 1 a 90 2 a cos bcd sin 2 又 bd 6 bc 10 ab bc sin a 2 2018滨江一模 14 如图 人字梯 放在水平地面上 当梯子的一边与地面所夹的锐角 为60 时 两梯脚之间的距离bc为3m 先使 为60 又调整 为45 则梯子顶端距地面的高度ad下降了m 结果保留根号 答案 解析当 为60 时 如图 由题意得 bc 3m c 60 ab ac ac 2dc 2 3 3m ad m 当 为45 时 如图 ac 3m ad cd ac sin45 3 m m 3 2018滨江二模 19 1 如图1 abc中 c为直角 ac 6 bc 8 d e两点分别从b a开始同时出发 分别沿线段bc ac向c点匀速运动 到c点后停止 它们的速度都为每秒1个单位 请问d点出发2秒后 cde的面积为多少 2 如图2 将 1 中的条件 c为直角 改为 c为钝角 其他条件不变 请问是否存在某一时刻 使得 cde的面积为 abc面积的一半 若存在 请求出这一时刻 若不存在 请说明理由 解析 1 2秒后 s cde 4 6 12 2 存在 如图 过b d作ac边上的高bg dh 设d e运动的时间为x秒 则dc 8 x ec 6 x dh dc sin 1 8 x sin 1 bg bc sin 1 8sin 1 s cde 8 x 6 x sin 1 s abc 6 8sin 1 令s cde s abc 解得x 2或x 12 舍去 所以d点出发2秒后 cde的面积为 abc面积的一半 4 2017杭州西湖一模 19 如图 在 abc中 cd是边ab上的中线 b是锐角 且sinb tana ac 3 1 求 b的度数与ab的长 2 求tan cdb 解析 1 过点c作ab的垂线 垂足为e 设ce x tana ae 2x 根据勾股定理得ae2 ce2 ac2 2x 2 x2 3 2 解得x 3 ce 3 ae 6 sinb bce为等腰直角三角形 be ce 3 b 45 ab ae eb 9 2 cd为ab边上的中线 de bd be be 1 5 tan cdb 2 方法点拨解决此类问题的关键是熟练掌握解一般三角形的常用方法 构造直角三角形 进而借助锐角三角函数和勾股定理求解 5 2016杭州江干一模 19 如图 某海域有a b两个岛屿 b岛在a岛北偏西30 方向上 距a岛120海里 有一艘船从a岛出发 沿东北方向行驶一段距离后 到达位于b岛南偏东75 方向的c处 求此时该船与b岛之间的距离 结果保留根号 解析如图 作ad bc于d eab 30 ae bf fba 30 又 fbc 75 abd 45 又ab 120 ad bd 60 bac bae cae 75 abc 45 c 60 在rt acd中 c 60 ad 60 tanc cd 20 bc 60 20 故该船在c处时与b岛之间的距离为60 20海里 思路分析本题要求的是cb的长 可以作辅助线ad bc于点d 然后根据题目中的条件分别求出bd cd的长 由此即可解决问题 解题关键作辅助线 构造直角三角形是解题的关键 1 2017杭州萧山模拟 6 如图 acb中 acb 90 已知 b adc ab a 则bd的长可表示为 a a cos cos b c a cos d a cos a sin tan b组2016 2018年模拟 提升题组 时间 50分钟分值 60分 一 选择题 每小题3分 共6分 答案c c 90 b ab a cosb cos sinb sin 故bc a cos ac a sin 又tan adc tan 故dc 则bd bc dc a cos 故选c 2 2016宁波镇海中学一模 4 如图 直线y x 3与x y轴分别交于a b两点 则cos bao的值是 a b c d 答案a当x 0时 y 3 当y 0时 x 4 a 4 0 b 0 3 oa 4 ob 3 由勾股定理得 ab 5 则cos bao 故选a 3 2018杭州下沙一模 在rt abc中 c 90 其中一个锐角为30 ab 12 若点p在直线bc上 不与点b c重合 且 pac 60 则bp的长为 二 填空题 共3分 答案24或13或12 解析在rt abc中 bac 30 时 如图 当点p在ac左侧时 pac 60 pab 60 30 90 b 60 ab 12 bp 12 24 如图 当点p在ac右侧时 pac 60 p 30 ab 12 bac 30 bc 6 ac 6 pc 18 bp pc bp 18 6 12 当 b 30 时 如图 当点p在ac右侧时 pac 60 bc cp 6 bp 2bc 12 当点p在ac左侧时 点b与点p重合 不满足题意 综上所述 bp的长为24或12或12 评析解题时务必分析哪个角是30 和点p与ac的位置关系 全面考虑 避免漏解 4 2018杭州下城一模 如图 abc中 abc 90 ab bc 点m是bc边上任意一点 点d是ab的延长线上一点 且bm bd 点e f分别是cd am的中点 连接fe eb 1 试问 bef的度数是否会发生变化 若不变 请求出 bef的度数 若变化 请说明理由 2 若 设 mab 试求cos 的值 解析 1 bef的度数不发生变化 理由如下 如图 连接bf abc 90 abm cbd 90 在 amb和 cdb中 amb cdb sas dcb mab am cd e f分别为dc am的中点 be de ce cd bf mf af am be bf baf fba ebd d fba dcb d dcb 90 fba ebd 90 fbe 180 90 90 bef 45 bef的度数不发生变化 bef的度数为45 2 设ef 3a 则ac 5a abc 90 ab bc 由勾股定理得ab bc a 同理 bf be a am 2bf 3a cos bef 45 bef的度数不发生变化 bef的度数为45 2 设ef 3a 则ac 5a abc 90 ab bc 由勾股定理得ab bc a 同理 bf be a am 2bf 3a cos 评析本题考查了等腰直角三角形的性质与判定 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 全等三角形的性质与判定 勾股定理的应用 解题关键在于推出 amb cdb和 ebf是等腰直角三角形 5 2018绍兴二模 在 abc中 bac 90 ab ac 10 直线mn过点a且mn bc 以点b为一锐角顶点作rt bde bde 90 且点d在直线mn上 不与点a重合 如图 de与ac交于点p 设x bd y dp bc z cos adp 1 小强同学通过几何画板画图并测量得到以下近似数据 猜想y关于x的函数表达式 z关于x的函数表达式 并给出证明 2 如图 de与ca的延长线交于点p 1 中y关于x的函数表达式还成立吗 请说明理由 3 如图 de与ac的延长线交于点p bd与ap交于点q 若此时x bd 20 求s abq 解析 1 y关于x的函数表达式为y x 20 z关于x的函数表达式为z 证明 如图 过点d作df ad交ab于点f 交bc于点g ab ac bac 90 abc 45 ad bc bad abc 45 bad afd 45 adf是等腰直角三角形 ad df dap 45 90 135 dfb 180 45 135 bdp adf 90 fdb gde 90 adp gde 90 adp fdb 在 adp和 fdb中 adp fdb dp bd x ab ac 10 bac 90 bc 20 y x 20 ad bc dg ab 10 10 在rt bdg中 cos bdg adp bdg z cos adp cos bdg 2 y关于x的