【导与练】高考数学 试题汇编 第二节 坐标系与参数方程(选修44) 文（含解析）.doc

第二节坐标系与参数方程(选修44) 极坐标系与极坐标考向聚焦重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化,主要以选择题、填空题的形式出现,难度不大,分值5分左右备考指津(1)简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中和的具体含义求出,也可通过极坐标方程与直角坐标方程的互化得出;(2)通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的异同,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的重要性1.(2012年陕西卷,文15c,5分)(坐标系与参数方程选做题)直线2cos =1与圆=2cos 相交的弦长为.解析:化极坐标为直角坐标得直线x=12,圆(x-1)2+y2=1,由勾股定理可得相交弦长为232=3.答案:32.(2012年湖南卷,文10,5分)在极坐标系中,曲线c1:(2cos +sin )=1与曲线c2:=a(a0)的一个交点在极轴上,则a=.解析:将极坐标方程化成直角坐标方程,c1:2x+y-1=0,c2:x2+y2=a2,交点在极轴上,则y=0,x=22,即交点坐标为(22,0),代入c2方程可得a=22.答案:22 极坐标系中交点问题常常化成直角坐标方程求解.然本题也可直接在极坐标系中求解如下:交点在极轴上,则=2k,于是cos =1,sin =0,代入c1得=22,故a=22.3.(2011年湖南卷,文9)在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数),在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点o为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线c2的方程为(cos -sin )+1=0,则c1与c2的交点个数为.解析:曲线c1化为普通方程x24+y23=1是椭圆,对曲线c2:(cos -sin )+1=0,cos -sin +1=0,x-y+1=0是直线,而直线x-y+1=0与椭圆x24+y23=1有两个交点.答案:24.(2010年广东卷,文15)在极坐标系(,)(02)中,曲线(cos +sin )=1与(sin -cos )=1的交点的极坐标为.解析:曲线(cos +sin )=1化为直角坐标方程为x+y=1,曲线(sin -cos )=1化为直角坐标方程为y-x=1.由x+y=1,y-x=1,得交点为(0,1),化为极坐标为(1,2).答案:(1,2)5.(2012年辽宁卷,文23,10分)在直角坐标系xoy中,圆c1:x2+y2=4,圆c2:(x-2)2+y2=4.(1)在以o为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆c1,c2的极坐标方程,并求出圆c1,c2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆c1与c2的公共弦的参数方程.解:(1)圆c1的极坐标方程为=2,圆c2的极坐标方程为=4cos ,解=2=4cos,得=2,=3,故圆c1与圆c2交点的坐标为(2,3),(2,-3).注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)法一:由x=cosy=sin得圆c1与c2交点的直角坐标分别为(1,3),(1,-3).故圆c1与c2的公共弦的参数方程为x=1y=t,-3t3.(或参数方程写成x=1y=y,-3y3)法二:将x=1代入x=cos,y=sin得cos =1,从而=1cos,于是圆c1与c2的公共弦的参数方程为x=1y=tan,-33.6.(2010年浙江自选模块卷,04)如图,在极坐标系ox中,已知曲线c1:=4sin (42),c2:=4cos (42或322),c3:=4(02).(1)求由曲线c1,c2,c3围成的区域的面积;(2)设m(4,2),n(2,0),射线=(0,42)与曲线c1,c2分别交于a,b(不同于极点o)两点.若线段ab的中点恰好落在直线mn上,求tan 的值.解:(1)由已知,如图弓形osp的面积=1422-1222=-2,从而,如图阴影部分的面积=1222-2(-2)=4,故所求面积=1442+1222-4=6-4.(2)设a(a,),b(b,),ab的中点为g(,),ong=.由题意=a+b2=2sin +2cos ,sin =25,cos =15.在ogn中,onsinogn=ogsinong,即2sin(-)=2sin+2cossin.所以sin +cos =sinsin(+)=2sin+2cos.化简得sin2-3sin cos =0,又因为sin 0,所以tan =3.参数方程考向聚焦参数方程与普通方程的互化是高考考查的重点和热点问题,同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识,主要以填空题与解答题的形式出现,且解答题常将参数方程与极坐标方程融合在一起综合考查,属中低档题目,每年高考分值占510分备考指津(1)能选择恰当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程,并能利用参数方程解决一些几何问题(如求角、距离、弦长、面积、最值等);(2)参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中x,y的取值范围,保证互化前后方程的等价性,常用的消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后相加减消元等7.(2010年湖南卷,文4)极坐标方程=cos 和参数方程x=-1-t,y=2+t(t为参数)所表示的图形分别是()(a)直线、直线(b)直线、圆(c)圆、圆(d)圆、直线解析:=cos ,2=cos ,x2+y2=x,即(x-12)2+y2=14,=cos 所表示的图形是圆.由x=-1-ty=2+t(t为参数),消参得x+y=1.参数方程x=-1-ty=2+t(t为参数)所表示的图形是直线.答案:d.8.(2012年广东卷,文14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xoy中,曲线c1和c2的参数方程分别为x=5cosy=5sin(为参数,02)和x=1-22ty=-22t(t为参数),则曲线c1与c2的交点坐标为.解析:本小题主要考查参数方程.由c1:x2+y2=5,c2:x-y-1=0,联立得x-y-1=0x2+y2=5解得x=2y=1或x=-1y=-2,其坐标为(2,1),(-1,-2).答案:(2,1),(-1,-2)9.(2011年广东卷,文14)已知两曲线参数方程分别为x=5cos,y=sin(0)和x=54t2,y=t(tr),它们的交点坐标为.解析:由x=5cosy=sin(00,故tan =54,所以直线l的斜率为54.14.(2011年辽宁卷,文23)在平面直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),曲线c2的参数方程为x=acos,y=bsin(ab0,为参数).在以o为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:=与c1,c2各有一个交点.当=0时,这两个交点间的距离为2,当=2时,这两个交点重合.(1)分别说明c1,c2是什么曲线,并求出a与b的值;(2)设当=4时,l与c1,c2的交点分别为a1,b1,当=-4时,l与c1,c2的交点分别为a2,b2,求四边形a1a2b2b1的面积.解:(1)由c1:x2+y2=1,c2:x2a2+y2b2=1(ab0),c1是圆,c2是椭圆.当=0时,射线l与c1,c2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3.当=2时,射线l与c1,c2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.(2)c1,c2的普通方程分别为x2+y2=1和x29+y2=1.当=4时,射线l:y=x(x0)与c1交点a1的横坐标为x=22,与c2交点b1的横坐标为x=31010.当=-4时,射线l与c1,c2的两个交点a2,b2分别与a1,b1关于x轴对称,因此四边形a1a2b2b1为梯形.故四边形a1a2b2b1的面积为(2x+2x)(x-x)2=25.15.(2011年浙江自选模块,04)已知直线l:x=-1+tcosy=tsin(t为参数,为l的倾斜角,且00,且ta+tb=2cos1+sin2tatb=-11+sin2,|ab|=|ta-tb|=221+sin2,不妨设|ae|eb|=21,则ta=-2tb,ta+tb=-tbtatb=-2tb2得tatb=-2(ta+tb)2,-11+sin2=-24cos2(1+sin2)2,8cos2=1+sin2,sin2=79,sabf=12|ab|ef|sin =12221+sin22sin =3148.16.(2010年辽宁卷,文23)已知p为半圆c:x=cosy=sin(为参数,0)上的点,点a的坐标为(1,0),o为坐标原点,点m在射线op上,线段om与半圆c的弧ap的长度均为3.(1)以o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点m的极坐标;(2)求直线am的参数方程.解:(1)由已知,m点的极角为3,且m点的极径等于3,故点m的极坐标为(3,3).(2)m点的直角坐标为(6,36),a(1,0),故直线am的参数方程为x=1+(6-1)t,y=36t.(t为参数).17.(2010年全国新课标卷,文23)已知直线c1:x=1+tcos,y=tsin(t为参数),圆c2:x=cos,y=sin(为参数).(1)当=3时,求c1与c2的交点坐标;(2)过坐标原点o作c1的垂线,垂足为a,p为oa的中点,当变化时,求p点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.解:(1)当=3时,c1的普通方程为y=3(x-1),c2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组y=3(x-1),x2+y2=1.解得c1与c2的交点为(1,0),(12,-32).(2)c1的普通方程为xsin -ycos -sin =0.a点坐标为(sin2,-cos sin ).故当变化时,p点轨迹的参数方程为x=12sin2,y=-12sincos.(为参数)p点轨迹的普通方程为(x-14)2+y2=116.故p点轨迹是圆心为(14,0),半径为14的圆. 本题给出了两个参数方程,在解题过程中如果都用参数方程就不好做了,因此可以将其化为普通方程,至少将其中的某个方程化为我们便于应用的普通方程,即参数方程普通化的主导思想.(2011年全国新课标卷,理23,10分)在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=2cos,y=2+2sin(为参数)m是c1上的动点,p点满足op=2om,p点的轨迹为曲线c2.(1)求c2的方程;(2)在以o为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线=3与c1的异于极点的交点为a,与c2的异于极点的交点为b,求|ab|.解:(1)设p(x,y),由条件op=2om知m(x2,y2).2分m是c1上动点,x2=2cosy2=2+2sin即x=4cosy=4+4sin4分从而c2的参数方程为x=4cosy=4+4sin(为参数)5分第(1)问赋分细则:(1)由向量等式op=2om找到由点p的坐标(x,y)得m(x2,y2)得2分;(2)由点m是曲线c1上的动点得x2=2cos,y2=2+2sin,得2分;(3)整理x2=2cos,y2=2+2sin,得曲线c2的方程x=4cos,y=4+4sin(为参数),得1分.(2)曲线c1的极坐标方程为=4sin 6分曲线c2的极坐标方程为=8sin 7分射线=3与c1异于极点的交点a的极径1=4sin 3,射线=3与c2异于极点的交点b的极径2=8sin 39分|ab|=|2-1|=23.10分第(2)问赋分细则:(1)将曲线c1、c2的参数方程准确化为极坐标方程的,各得1分;(2)准确求出射线=3与曲线c1、c2异于极点的交点a、b的极径1、2的,各得1分;(3)由极径1、2准确求出|ab|的,再得1分. 通过高考阅卷统计分析,造成失分原因如下:(1)求曲线c2的方程,即求p点的轨迹方程,就设p点坐标为(x,y),求x,y与参数的函数关系式,这是本题第(1)问的基本解题思路,否则,无从下手,失分.(2)由op=2om找到点p与点m坐标之间的关系,这是本题第(1)问的切入点,忽视op=2om的利用束手无策,失分.(3)由p(x,y)及o