山东省济宁市中考数学专项复习 专题七 动点问题.doc

专题七 动点问题动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题的压轴题.动点试题大致分为点动、线动、图形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想解题.下面就中考动点试题进行分析.例1（2006年福建晋州）如图，在平行四边形abcd中，ad=4cm，a=60，bdad.一动点p从a出发，以每秒1cm的速度沿abc的路线匀速运动，过点p作直线pm，使pmad.1当点p运动2秒时，设直线pm与ad相交于点e，求ape的面积；2当点p运动2秒时，另一动点q也从a出发沿ab的路线运动，且在ab上以每秒1cm的速度匀速运动，（当p、q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过q作直线qn，使qnpm，设点q运动的时间为t秒（0t8），直线pm与qn截平行四边形abcd所得图形的面积为s（cm2）. （1）求s关于t的函数关系式；（2）求s的最大值.1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.由题意知，点p为动点，所走的路线为：abc速度为1cm/s。而t=2s，故可求出ap的值，进而求出ape的面积.略解：由ap=2 ，a=60得ae=1，ep= . 因此.2.分析：两点同时运动，点p在前，点q在后，速度相等，因此两点距出发点a的距离相差总是2cm.p在ab边上运动后，又到bc边上运动.因此pm、qn截平行四边形abcd所得图形不同.故分两种情况：（1）当p、q都在ab上运动时，pm、qn截平行四边形abcd所得的图形永远为直角梯形.此时0t6.当p在bc上运动，而q在ab边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形dfqbpg.不规则图形面积用割补法.此时6t8.略解：当p、q同时在ab边上运动时，0t6.aq=t,ap=t+2, af=t,qf=t,ag=(t+2), 由三角函数pg=(t+2),fg=ag-af=(t+2)-t=1.s =(qf+pg)fg=t+(t+2)1=t+.当6t8时，s=s平行四边形abcd-saqf-sgcp.易求s平行四边形abcd=16,saqf=afqf=t2.而scgp=pcpg,pc=4-bp=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得pg=(10-t).scgp=pcpg=(10-t)(10-t)=(10-t)2.s=16-t2-(10-t)2=(6t8分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0t6和6t8时的最大值. 0t6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积s随t的增大而增大.当 6t8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6时，s最大；由于s(6t8,所以t=8时，s最大=6.综上所述, 当t=8时，s最大=6.例2（2006年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形oabc为菱形，点c的坐标为(4,0)，aoc=60，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形oabc的两边分别交于点m、n(点m在点n的上方).1.求a、b两点的坐标；2.设omn的面积为s，直线l运动时间为t秒(0t6)，试求s与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，s的面积最大？最大面积是多少？ 1.分析：由菱形的性质、三角函数易求a、b两点的坐标.解：四边形oabc为菱形，点c的坐标为(4,0)，oa=ab=bc=co=4.如图，过点a作adoc于d.aoc=60，od=2，ad=.a(2, )，b（6, ）.2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，mon的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一.直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形oabc的两边相交有三种情况：0t2时，直线l与oa、oc两边相交(如图). 2t4时，直线l与ab、oc两边相交(如图).4t6时，直线l与ab、bc两边相交(如图).略解：mnoc，on=t. mn=ontan60=.s=onmn=t2.s=onmn=t2=t. 方法一：设直线l与x轴交于点h.mn2-(t-4)=6-t,s=mnoh=(6-t)t=-t2+3t.方法二：设直线l与x轴交于点h.s=somh-sonh，s=t2-t(t-4)=- t2+3t.方法三：设直线l与x轴交于点h.s=,=42=8,=2(t-2)= t-2,=4(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,s=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.略解：由2知，当0t2时，=22=2；当2t4时，=4； 当4t6时，配方得s=-(t-3)2+，当t=3时，函数s-t2+3t的最大值是.但t=3不在4t6内，在4t6内，函数s-t2+3t的最大值不是.而当t3时，函数s-t2+3t随t的增大而减小，当4t6时，s4. 综上所述，当t=4秒时，=4. 练习1 （2006年南安市）如图所示，在直角坐标系中，矩形abcd的边ad在x轴上，点a在原点，ab3，ad5若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动同时点p从a点出发以每秒1个单位长度沿abcd的路线作匀速运动当p点运动到d点时停止运动，矩形abcd也随之停止运动求p点从a点运动到d点所需的时间；设p点运动时间为t（秒）.当t5时，求出点p的坐标；若oap的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）解:（1）p点从a点运动到d点所需的时间（3+5+3）111（秒）.（2）当t5时，p点从a点运动到bc上，此时oa=10,ab+bp=5，bp=2. 过点p作pead于点e，则pe=ab=3,ae=bp=2.oe=oa+ae=10+2=12.点p的坐标为（12，3）分三种情况：当0t3时，点p在ab上运动，此时oa=2t,ap=t，s=2tt= t2.当3t8时，点p在bc上运动，此时oa=2t，s=2t3=3 t.当8t11时，点p在cd上运动，此时oa=2t,ab+bc+cp= t，dp=(ab+bc+cd)-( ab+bc+cp)=11- t.s=2t(11- t)=- t2+11 t.综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0t3时，s= t2；当3t8时，s=3 t；当8t11时，s=- t2+11 t . 练习2如图，边长为4的正方形oabc的顶点o为坐标原点，点a在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上动点d在线段bc上移动（不与b，c重合），连接od，过点d作deod，交边ab于点e，连接oe （1）当cd=1时，求点e的坐标；（2）如果设cd=t，梯形coeb的面积为s，那么是否存在s的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由解：(1) 正方形oabc中，因为edod，即ode =90，所以cod=90-cdo，而 edb =90-cdo，所以cod =edb.又因为ocd=dbe=90，所以cdobed.所以，即，be=，则.因此点e的坐标为（4，）(2) 存在s的最大值 由于cdobed，所以，即，be=tt2.4(4tt2)故当t=2时，s有最大值10 1、（09包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点（1）如果点p在线段bc上以3厘米/秒的速度由b点向c点运动，同时，点q在线段ca上由c点向a点运动若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点q的运动速度为多少时，能够使与全等？aqcdbp（2）若点q以中的运动速度从点c出发，点p以原来的运动速度从点b同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点p与点q第一次在的哪条边上相遇？解：（1）秒，厘米，厘米，点为的中点，厘米又厘米，厘米，又，（4分）， ，又，则，点，点运动的时间秒，厘米/秒（7分）（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒点共运动了厘米，点、点在边上相遇，经过秒点与点第一次在边上相遇（12分）2、（09齐齐哈尔）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动（1）直接写出两点的坐标；xaoqpby（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标解（1）a（8，0）b（0，6）1分（2）点由到的时间是（秒）点的速度是（单位/秒）1分当在线段上运动（或0）时，1分当在线段上运动（或）时，,如图，作于点，由，得，1分1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分）（3）1分3分3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8分别与x轴，y轴相交于a，b两点，点p（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以p为圆心，3为半径作p.（1）连结pa，若pa=pb，试判断p与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以p与直线l的两个交点和圆心p为顶点的三角形是正三角形？解：（1）p与x轴相切. 直线y=2x8与x轴交于a（4，0），与y轴交于b（0，8），oa=4，ob=8.由题意，op=k，pb=pa=8+k.在rtaop中，k2+42=(8+k)2，k=3，op等于p的半径，p与x轴相切.（2）设p与直线l交于c，d两点，连结pc，pd当圆心p在线段ob上时,作pecd于e.pcd为正三角形，de=cd=，pd=3， pe=.aob=peb=90， abo=pbe，aobpeb，.当圆心p在线段ob延长线上时,同理可得p(0,8)，k=8，当k=8或k=8时，以p与直线l的两个交点和圆心p为顶点的三角形是正三角形. 4（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点o是坐标原点，四边形abco是菱形，点a的坐标为（3，4），点c在x轴的正半轴上，直线ac交y轴于点m，ab边交y轴于点h （1）求直线ac的解析式； （2）连接bm，如图2，动点p从点a出发，沿折线abc方向以2个单位秒的速度向终点c匀速运动，设pmb的面积为s（s0），点p的运动时间为t秒，求s与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，mpb与bco互为余角，并求此时直线op与直线ac所夹锐角的正切值 解：5（09河北）在rtabc中，c=90，ac = 3，ab = 5点p从点c出发沿ca以每秒1个单位长的速度向点a匀速运动，到达点a后立刻以原来的速度沿ac返回；点q从点a出发沿ab以每秒1个单位长的速度向点b匀速运动伴随着p、q的运动，de保持垂直平分pq，且交pq于点d，交折线qb-bc-cp于点e点p、q同时出发，当点q到达点b时停止运动，点p也随之停止设点p、q运动的时间是t秒（t0）acbpqed图16（1）当t = 2时，ap = ，点q到ac的距离是 ；（2）在点p从c向a运动的过程中，求apq的面积s与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点e从b向c运动的过程中，四边形qbed能否成为直角梯形？若能，求t的值若不能，请说明理由；（4）当de经过点c时，请直接写出t的值 解：（1）1，； acbpqed图4（2）作qfac于点f，如图3， aq = cp= t，由aqfabc， 得 ，acbpqed图5ac(e)bpqd图6gac(e)bpqd图7g即（3）能 当deqb时，如图4 depq，pqqb，四边形qbed是直角梯形 此时aqp=90由apqabc，得，即 解得 如图5，当pqbc时，debc，四边形qbed是直角梯形此时apq =90由aqpabc，得 ，即 解得（4）或点p由c向a运动，de经过点c连接qc，作qgbc于点g，如图6，由，得，解得点p由a向c运动，de经过点c，如图7，】6（09河南）如图，在中，点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点过点作交直线于点，设直线的旋转角为（1）当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；oecbdalocba（备用图）（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由解（1）30，1；60，1.5； 4分 （2）当=900时，四边形edbc是菱形. =acb=900，bc/ed. ce/ab, 四边形edbc是平行四边形.6分 在rtabc中，acb=900，b=600,bc=2,a=300.ab=4,ac=2.ao= . 8分在rtaod中，a=300，ad=2.bd=2. bd=bc.又四边形edbc是平行四边形，四边形edbc是菱形 10分adcbmn7（09济南）如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）求的长（2）当时，求的值（3）试探究：为何值时，为等腰三角形解：（1）如图，过、分别作于，于，则四边形是矩形 1分在中，2分在中，由勾股定理得，3分（2）如图，过作交于点，则四边形是平行四边形（图）adcbkh4分由题意知，当、运动到秒时，又（图）adcbgmn5分即解得，6分（3）分三种情况讨论：当时，如图，即7分adcbmn（图）（图）adcbmnhe当时，如图，过作于解法一：由等腰三角形三线合一性质得在中，又在中，解得8分解法二： 即8分当时，如图，过作于点.解法一：（方法同中解法一）（图）adcbhnmf 解得解法二： 即 综上所述，当、或时，为等腰三角形9分8（09江西）如图1，在等腰梯形中，是的中点，过点作交于点，.（1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；adebfc图4（备用）adebfc图5（备用）adebfc图1图2adebfcpnm图3adebfcpnm（第25题） 当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.解（1）如图1，过点作于点1分为的中点，在中，2分即点到的距离为3分（2）当点在线段上运动时，的形状不发生改变图1adebfcg，同理4分如图2，过点作于，图2adebfcpnmgh则在中，的周长=6分当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形当时，如图3，作于，则类似，7分是等边三角形，此时，8分当时，如图4，这时此时，当时，如图5，则又因此点与重合，为直角三角形此时，综上所述，当或4或时，为等腰三角形10分9（09兰州）如图，正方形 abcd中，点a、b的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点c在第一象限动点p在正方形 abcd的边上，从点a出发沿abcd匀速运动， 同时动点q以相同速度在x轴正半轴上运动，当p点到达d点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒(1)当p点在边ab上运动时，点q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点q开始运动时的坐标及点p运动速度；(2)求正方形边长及顶点c的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，opq的面积最大，并求此时p点的坐标；(4)如果点p、q保持原速度不变，当点p沿abcd匀速运动时，op与pq能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由解：（1）（1，0）1分 点p运动速度每秒钟1个单位长度2分（2） 过点作bfy轴于点，轴于点，则8， 在rtafb中，3分 过点作轴于点，与的延长线交于点 abfbch 所求c点的坐标为（14，12） 4分（3） 过点p作pmy轴于点m，pn轴于点n，则apmabf 设opq的面积为（平方单位）（010） 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分 0 当时， opq的面积最大6分 此时p的坐标为（，） 7分（4） 当 或时， op与pq相等9分10（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形abcd是正方形，点e是边bc的中点，且ef交正方形外角的平行线cf于点f，求证：ae=ef经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取ab的中点m，连接me，则am=ec，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点e是边bc的中点”改为“点e是边bc上（除b，c外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ae=ef”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；adfcgeb图1 （2）小华提出：如图3，点e是bc的延长线上（除c点外）的任意一点，其他条件不变，结论“ae=ef”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由解：（1）正确（1分）证明：在上取一点，使，连接（2分），是外角平分线，（asa）（5分）（6分）（2）正确（7分）证明：在的延长线上取一点使，连接（8分）四边形是正方形，（asa）（10分）（11分）xyboa11（09天津）已知一个直角三角形纸片，其中如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点（）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；（）若折叠后点落在边上的点为，设，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；（）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标 解（）如图，折叠后点与点重合，xyboa则.设点的坐标为.则.于是.在中，由勾股定理，得，xyboa即，解得.点的坐标为.4分（）如图，折叠后点落在边上的点为,则.由题设，则，在中，由勾股定理，得.，即6分由点在边上，有，解析式为所求.当时，随的增大而减小，的取值范围为.7分（）如图，折叠后点落在边上的点为，且.则.又，有.有，得.9分 在中，设，则.由（）的结论，得，解得.图（1）abcdefmn点的坐标为.10分 12（09太原）问题解决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕当时，求的值方法指导：为了求得的值，可