【导与练】高考数学一轮总复习 第八篇 第3节 椭圆课时训练 文（含解析）新人教版(1).doc

第3节椭圆 【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义1、2、8、12椭圆的标准方程10、11、16椭圆的几何性质3、4、6、7、9、13直线与椭圆的位置关系5、14、15、16一、选择题1.设p是椭圆x225+y216=1上的点.若f1、f2是椭圆的两个焦点,则|pf1|+|pf2|等于(d)(a)4(b)5(c)8(d)10解析:由方程知a=5,根据椭圆定义,|pf1|+|pf2|=2a=10.故选d.2.(2013唐山二模)p为椭圆x24+y23=1上一点,f1,f2为该椭圆的两个焦点,若f1pf2=60,则pf1pf2等于(d)(a)3(b)3(c)23(d)2解析:由椭圆方程知a=2,b=3,c=1,|pf1|+|pf2|=4,|pf1|2+|pf2|2-4=2|pf1|pf2|cos60|pf1|pf2|=4.pf1pf2=|pf1|pf2|cos 60=412=2.3.(2012年高考江西卷)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是a、b,左、右焦点分别是f1,f2.若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,则此椭圆的离心率为(b)(a)14(b)55(c)12(d)5-2解析:本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.由椭圆的性质可知|af1|=a-c,|f1f2|=2c,|f1b|=a+c,又|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,故(a-c)(a+c)=(2c)2,可得e=ca=55.故应选b.4.(2013年高考辽宁卷)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为f,c与过原点的直线相交于a,b两点,连接af,bf.若|ab|=10,|bf|=8,cosabf=45,则c的离心率为(b)(a)35(b)57(c)45(d)67解析:|af|2=|ab|2+|bf|2-2|ab|bf|cosabf=100+64-210845=36,则|af|=6,afb=90,半焦距c=|fo|=12|ab|=5,设椭圆右焦点f2,连结af2,由对称性知|af2|=|fb|=8,2a=|af2|+|af|=6+8=14,即a=7,则e=ca=57.故选b.5.已知椭圆e:x2m+y24=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆e截得的弦长与l:y=kx+1被椭圆e截得的弦长不可能相等的是(d)(a)kx+y+k=0(b)kx-y-1=0(c)kx+y-k=0(d)kx+y-2=0解析:取k=1时,l:y=x+1.选项a中直线:y=-x-1与l关于x轴对称,截得弦长相等.选项b中直线:y=x-1与l关于原点对称,所截弦长相等.选项c中直线:y=-x+1与l关于y轴对称,截得弦长相等.排除选项a、b、c,故选d.6.若点o和点f分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点p为椭圆上的任意一点,则opfp的最大值为(c)(a)2(b)3(c)6(d)8解析:由题意得f(-1,0),设点p(x0,y0),则y02=31-x024(-2x02),opfp=x0(x0+1)+y02=x02+x0+y02=x02+x0+31-x024=14(x0+2)2+2,当x0=2时,opfp取得最大值为6.故选c.7.(2013山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1(-c,0),f2(c,0),若椭圆上存在点p,使asinpf1f2=csinpf2f1,则该椭圆的离心率的取值范围为(d)(a)(0,2-1)(b)22,1(c)0,22(d)(2-1,1)解析:由题意知点p不在x轴上,在pf1f2中,由正弦定理得|pf2|sinpf1f2=|pf1|sinpf2f1,所以由asinpf1f2=csinpf2f1可得a|pf2|=c|pf1|,即|pf1|pf2|=ca=e,所以|pf1|=e|pf2|.由椭圆定义可知|pf1|+|pf2|=2a,所以e|pf2|+|pf2|=2a,解得|pf2|=2ae+1.由于a-c|pf2|a+c,所以有a-c2ae+1a+c,即1-e2e+11+e,也就是(1-e)(1+e)2,2(1+e)2,解得2-1e.又0e1,2-1eb0)的左、右焦点分别是f1、f2,过f2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为m,若mf1垂直于x轴,则椭圆的离心率为.解析:不妨设|f1f2|=1,直线mf2的倾斜角为120,mf2f1=60.|mf2|=2,|mf1|=3,2a=|mf1|+|mf2|=2+3,2c=|f1f2|=1.e=ca=2-3.答案:2-310.(2013西安模拟)过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为.解析:由题意可设椭圆方程为y225-m+x29-m=1,代入点(3,-5),得525-m+39-m=1,解得m=5或m=21(舍去),椭圆的标准方程为y220+x24=1.答案:y220+x24=111.若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点1,12作圆x2+y2=1的切线,切点分别为a,b,直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.解析:由题可知其中一个切点为(1,0)为椭圆的右焦点,c=1,两切点的连线ab被op(p为ab中点)垂直平分,直线op斜率kop=12.kab=-2,直线ab:y-0=-2(x-1),y=-2x+2,上顶点坐标为(0,2).b=2,a2=b2+c2=5,椭圆方程x25+y24=1.答案:x25+y24=112.已知f1,f2是椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,p为椭圆c上的一点,且pf1pf2.若pf1f2的面积为9,则b=.解析:由题意得|pf1|+|pf2|=2a,|pf1|2+|pf2|2=4c2,(|pf1|+|pf2|)2-2|pf1|pf2|=4c2,即4a2-2|pf1|pf2|=4c2,|pf1|pf2|=2b2,spf1f2=12|pf1|pf2|=b2=9,b=3.答案:313.(2013抚顺六校模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),m,n是椭圆上关于原点对称的两点,p是椭圆上任意一点,且直线pm,pn的斜率分别为k1,k2,若|k1k2|=14,则椭圆的离心率e=.解析:设p(x,y),m(x0,y0),n(-x0,-y0),则k1=y-y0x-x0,k2=y+y0x+x0,由题意得|k1k2|=y-y0x-x0y+y0x+x0=y2-y02x2-x02=14,p,m,n在椭圆上,x2a2+y2b2=1,x02a2+y02b2=1,两式相减得x2-x02a2+y2-y02b2=0,即y2-y02x2-x02=-b2a2,b2a2=14,即a2-c2a2=14,解得e=ca=32.答案:32三、解答题14.(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆c1:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为f1(-1,0),且点p(0,1)在c1上.(1)求椭圆c1的方程;(2)设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2:y2=4x相切,求直线l的方程.解:(1)由椭圆c1的左焦点为f1(-1,0),且点p(0,1)在c1上,可得a2-b2=1,b=1,a2=2,b2=1.故椭圆c1的方程为x22+y2=1.(2)由题意分析,直线l斜率存在且不为0,设其方程为y=kx+b,由直线l与抛物线c2相切得y=kx+b,y2=4x,消y得k2x2+(2bk-4)x+b2=0,1=(2bk-4)2-4k2b2=0,化简得kb=1.由直线l与椭圆c1相切得y=kx+b,x22+y2=1,消y得(2k2+1)x2+4bkx+2b2-2=0,2=(4bk)2-4(2k2+1)(2b2-2)=0,化简得2k2=b2-1.联立得kb=1,2k2=b2-1,解得b4-b2-2=0,b2=2或b2=-1(舍去),b=2时,k=22,b=-2时,k=-22.即直线l的方程为y=22x+2或y=-22x-2.15.(2013海淀三模)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的四个顶点.(1)求椭圆c的方程;(2)若直线y =kx交椭圆c于a,b两点,在直线l:x+y-3=0上存在点p,使得pab为等边三角形,求k的值.解:(1)因为椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的四个顶点.所以a=3,b=1,椭圆c的方程为x23+y2=1.(2)设a(x1,y1),则b(-x1,-y1),当直线ab的斜率为0时,ab的垂直平分线就是y轴,y轴与直线l:x+y-3=0的交点为p(0,3),又因为|ab|=23,|po|=3,所以pao=60,所以pab是等边三角形,所以直线ab的方程为y=0,当直线ab的斜率存在且不为0时,则直线ab的方程为y=kx,所以x23+y2=1,y=kx,化简得(3k2+1)x2=3,所以|x1|=33k2+1,则|ao|=1+k233k2+1=3k2+33k2+1.设ab的垂直平分线为y=-1kx,它与直线l:x+y-3=0的交点记为p(x0,y0),所以y=-x+3,y=-1kx,解得x0=3kk-1,y0=-3k-1.则|po|=9k2+9(k-1)2,因为pab为等边三角形,所以应有|po|=3|ao|,代入得9k2+9(k-1)2=33k2+33k2+1,解得k=0(舍去),k=-1.综上,k=0或k=-1.16.(2013临沭一模)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆c的方程;(2)设不与坐标轴平行的直线l:y=kx+m与椭圆c交于a、b两点,坐标原点o到直线l的距离为32,求aob面积的最大值.解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意ca=63,a=3,b=1,所求椭圆方程为x23+y2=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2).坐标原点o到直线l的距离为32,|m|1+k2=32,得m2=34(k2+1).把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,x1+x2=-6km3k2+1,x1x2=3(m2-