山东省济宁市高考数学一轮复习 24正弦定理、余弦定理的应用举例限时检测 新人教A版.doc

课时限时检测(二十四)正弦定理、余弦定理的应用举例(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难测量距离问题1,4,710测量高度问题2,86测量角度问题59综合应用311,12一、选择题(每小题5分，共30分)1已知a、b两地的距离为10 km，b、c两地的距离为20 km，现测得abc120，则a，c两地的距离为()a10 kmb10 kmc10 km d10 km【解析】由余弦定理得ac2ab2bc22abbccosabc10040021020700，ac10.【答案】d2要测量底部不能到达的电视塔ab的高度，在c点测得塔顶a的仰角是45，在d点测得塔顶a的仰角是30，并测得水平面上的bcd120，cd40 m，则电视塔的高度为()图389a10 m b20 mc20 m d40 m【解析】设电视塔的高度为x m，则bcx，bdx.在bcd中，根据余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.【答案】d3一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()a5海里 b5海里c10海里 d10海里【解析】如图，依题意有bac60，bad75，所以cadcda15，从而cdca10，在直角三角形abc中，得ab5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)【答案】c4一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达b处在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是东偏南20，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b、c两点间的距离是()图3810a10海里 b10海里c20海里 d20海里【解析】由已知可得，bac30，abc105，ab20，从而acb45.在abc中，由正弦定理，得bcsin 3010.【答案】a5(2014南昌模拟)如图3811所示，当甲船位于a处时获悉，在其正东方向相距20海里的b处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里c处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往b处营救，则sin 的值为()图3811a. b.c. d.【解析】连接bc.在abc中，ac10，ab20，bac120，由余弦定理，得bc2ac2ab22abaccos 120700，bc10，再由正弦定理，得，sin .【答案】a6某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图3812所示)，则旗杆的高度为()图3812a10 m b30 mc10 m d10 m【解析】如图，在abc中，abc105，所以acb30.由正弦定理得，所以bc2020(m)，在rtcbd中，cdbcsin 602030(m)【答案】b二、填空题(每小题5分，共15分)7已知a船在灯塔c北偏东80处，且a船到灯塔c的距离为2 km，b船在灯塔c北偏西40处， a，b两船间的距离为3 km，则b船到灯塔c的距离为_km.【解析】如图，由已知得acb120，ac2，ab3.设bcx，则由余弦定理得ab2bc2ac22bcaccos 120，即3222x222xcos 120即x22x50，解得x1.【答案】18(2014长沙模拟)如图3813，测量河对岸的塔高ab时，可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，测得bcd15，bdc30，cd30，并在点c测得塔顶a的仰角为60，则塔高ab_.图3813【解析】设abh，在abc中tan 60，bch，在bcd中，dbc1801530135，由正弦定理得，即，解得h15.【答案】159(2014昌平模拟)如图3814所示，已知树顶a离地面米，树上另一点b离地面米，某人在离地面米的c处看此树，则该人离此树_米时，看a，b的视角最大图3814【解析】过c作cfab于点f，设acb，bcf.由已知得ab5(米)，bf4(米)，af9(米)则tan()，tan ，tan ().当且仅当fc，即fc6时，tan 取得最大值，此时取得最大值【答案】6三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)(2014济南模拟)如图3815，渔船甲位于岛屿a的南偏西60方向的b处，且与岛屿a相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿a出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从b处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达c处图3815(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值【解】(1)依题意知，bac120，ab12海里，ac10220(海里)，bca，在abc中，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac12220221220cos 120784.解得bc28(海里)所以渔船甲的速度为14(海里/时)(2)由(1)知bc28海里，在abc中，bca，由正弦定理得.即sin .11(12分)(2014烟台模拟)某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边bc，cd用一根5米长的材料弯折而成，边ba，ad再用一根9米长的材料弯折而成，要求a和c互补，且abbc图3816(1)设abx米，cos af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形abcd面积的最大值【解】(1)在abd中，由余弦定理得bd2ab2ad22abadcos a.同理，在cbd中，bd2bc2cd22bccdcos c因为a和c互补，所以cos acos c，所以ab2ad22abadcos abc2cd22bccdcos cbc2cd22bccdcos a.即x2(9x)22x(9x)cos ax2(5x)22x(5x)cos a，解得cos a，即f(x)，x(2,5)(2)四边形abcd的面积为s(abadbccd)sin ax(5x)x(9x) x(7x) .记g(x)(x24)(x214x49)，x(2,5)，则g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)令g(x)0，解得x4(x7或x舍去)易知函数g(x)在(2,4)上单调递增，在(4,5)上单调递减因此g(x)的最大值为g(4)129108.所以s的最大值为6，即四边形abcd的面积的最大值为6 m2.12(13分)(2014郑州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3817所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为abc、abd，经测量adbd14，bc10，ac16，cd.图3817(1)求ab的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由【解】(1)在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccos c16210221610cos c，在abd中，由余弦定理及cd整理得ab2ad2bd22adbdcos d1421422142cos c，由得：1421422142cos c16210221610cos c，整理可得，cos c，又c为三