山东省济宁市高考数学专题复习 第13讲 导数的概念及其运算练习 新人教A版.doc

第十节导数的概念及其运算考情展望1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程.2.考查导数的有关计算一、导数的概念1函数yf(x)在xx0处的导数：(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数f(x)的导函数：称函数f(x) 为f(x)的导函数二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(nq*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)三、导数的运算法则1f(x)g(x)f(x)g(x)；2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3.(g(x)0)导数的运算法则特例及推广(1)af(x)bg(x)af(x)bg(x)，其中a，b为常数(2)(f(x)0)(3)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即u(x)v(x)(x)u(x)v(x)(x)四、复合函数的导数设uv(x)在点x处可导，yf(u)在点u处可导，则复合函数fv(x)在点x处可导，且f(x)f(u)v(x)，即yxyuux.“分解求导回代”法求复合函数的导数(1)分解适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系yf(u)，ug(x)；(2)求导分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求yu，再求ux；(3)回代计算yuux，并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数1某汽车的路程函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，汽车的加速度是()a14 m/s2b4 m/s2c10 m/s2 d4 m/s2【解析】由题意知，汽车的速度函数为v(t)s(t)6t2gt，则v(t)12tg，故当t2 s时，汽车的加速度是v(2)1221014 m/s2.【答案】a2函数yxcos xsin x的导数为()axsin x bxsin xcxcos x dxcos x【解析】f(x)cos xxsin xcos xxsin x.【答案】b3已知f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()ae2 bec. dln 2【解析】f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.【答案】b4曲线yx311在点p(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()a9 b3c9 d15【解析】yx311，y3x2，y|x13，曲线yx311在点p(1,12)处的切线方程为y123(x1)令x0，得y9.【答案】c5(2013江西高考)若曲线yx1(r)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.【解析】因为yx1，所以在点(1,2)处的切线斜率k，则切线方程为y2(x1)又切线过原点，故02(01)，解得2.【答案】26(2013广东高考)若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.【解析】函数ykxln x的导函数为yk，由导数y|x10，得k10，则k1.【答案】1考向一 036导数的计算求下列函数的导数：(1)yexsin x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)y.【思路点拨】(1)利用积的导数运算法则求解，(2)(3)先化简再求导，(4)利用商的导数运算法则和复合函数求导法则求解【尝试解答】(1)y(ex)sin xex(sin x)exsin xexcos x.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)y.规律方法11.本例在解答过程易出现商的求导中，符号判定错误.2.求函数的导数的方法(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导.(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.(4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.(5)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导.对点训练求下列函数的导数：(1)y(1)；(2)y3xexln xe；(3)ye2x.【解】(1)y(1)2xx，yxx.(2)y(3x)ex3x(ex)3xexln 33xex3xexln(3e).(3)y(3x)(3x)e2x(2x)(3x)2e2x.考向二 037导数几何意义的应用设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值【思路点拨】(1)(2)【尝试解答】(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是，解得，故f(x)x.(2)设p(x0，y0)为曲线yf(x)上任一点，由y1知曲线在点p(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点p(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.规律方法21.切点(2，f(2)既在切线上，又在曲线f(x)上，从而得到关于a，b的方程组.2.在求切线方程时，应先判断已知点q(a，b)是否为切点，若已知点q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，其求法如下：(1)设出切点的坐标p(x0，y0)；(2)解方程组(3)利用点斜式写出切线方程.对点训练已知f(x)ln x，g(x)x3x2mxn，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切于点(1,0)(1)求直线l的方程；(2)求函数g(x)的解析式【解】(1)l是f(x)ln x在点(1,0)处的切线，其斜率kf(1)1，因此直线l的方程为yx1.(2)又l与g(x)相切于点(1,0)，g(1)1，且g(1)0.因此所以函数g(x)x3x2x.易错易误之四求切线方程“在”、“过”两重天1个示范例1个防错练已知曲线yx3上一点p，求过点p的切线方程【解】(1)当p为切点时，由yx2，得y|x24，即过点p的切线方程的斜率为4.则所求的切线方程是y4(x2)，即12x3y160.(2)当p点不是切点时，设切点为q(x0，y0)，此处误认为点p即为切点，而直接利用导数的几何意义求切线方程，出现此种错误的原因是审题不清，不明确导致的几何意义.则切线方程为yxx(xx0)，因为切线过点p，把p点的坐标代入以上切线方程，求得x01或x02(即点p，舍去)，所以切点为q，即所求切线方程为3x3y20；综上所述，过点p的切线方程为12x3y160或3x3y20.【防范措施】(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率.(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标.(2014兰州模拟)若存在过点(1,0)的直线与