湖北省黄石市高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

直线与圆的位置关系 直线方程的一般式为 2 圆的标准方程为 3 圆的一般方程 复习 圆心为 半径为 ax by c 0 a b不同时为零 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 dx ey f 0 其中d2 e2 4f 0 圆心为半径为 a b r 例题1 自点a 3 3 发射的光线l射到x轴上 被x轴反射 其反射光线所在的直线与圆x2 y2 4x 4y 7 0相切 求反射光线所在直线的方程 b 3 3 问题1 你知道直线和圆的位置关系有几种 画板 直线与圆的位置关系的判断方法 一般地 已知直线ax by c 0 a b不同时为零 和圆 x a 2 y b 2 r2 则圆心 a b 到此直线的距离为 画板 则 3 直线x 2y 1 0和圆x2 2x y2 y 1 0的位置是 相交 1 直线x y 2 0与圆x2 y2 2的位置关系为 相切 2 直线x y 2 0与圆 x 1 2 y 1 2 1的位置关系为 相离 巩固性练习 画板 已知直线l kx y 3 0和圆c x2 y2 1 试问 k为何值时 直线l与圆c相交 脑筋转一转 问题7 你还能用什么方法求解呢 问题1 方法赏析 直线与圆的位置关系判断方法 一 几何方法 主要步骤 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断 当d r时 直线与圆相离 当d r时 直线与圆相切 当d r时 直线与圆相交 把直线方程化为一般式 利用圆的方程求出圆心和半径 把直线方程与圆的方程联立成方程组 求出其 的值 比较 与0的大小 当 0时 直线与圆相交 二 代数方法 主要步骤 利用消元法 得到关于另一个元的一元二次方程 一只小老鼠在圆 x 5 2 y 3 2 9上环行 它走到哪个位置时与直线l 3x 4y 2 0的距离最短 请你帮小老鼠找到这个点并计算这个点到直线l的距离 请你来帮忙 画板 当 20 直线与圆相交 当b 2或b 2时 0 直线与圆相切 当b 2或b 2时 0 直线与圆相离 解法一 利用 解方程组消去y得 2x2 2bx b2 4 0 方程 的判别式 2b 2 4 2 b2 4 4 2 b 2 b 解法二 利用d与r的关系 圆x2 y2 4的圆心为 0 0 半径为r 2 圆心到直线的距离为 解法一 求出交点利用两点间距离公式 3 已知直线y x 1与圆相交于a b两点 求弦长 ab 的值 解法二 弦长公式 3 已知直线y x 1与圆相交于a b两点 求弦长 ab 的值 解法三 解弦心距 半弦及半径构成的直角三角形 设圆心o 0 0 到直线的距离为d 则 3 已知直线x y 1 0与圆相交于a b两点 求弦长 ab 的值 应用提高 方法小结 求圆的弦长方法 1 几何法 用弦心距 半径及半弦构成直角三角形的三边 2 代数法 求交点或韦达定理 应用提高 直线和圆的位置关系 c l d r 相交 l 相切 l 相离 d d 小结 判断直线和圆的位置关系 几何方法 求圆心坐标及半径r 配方法 圆心到直线的距离d 点到直线距离公式 代数方法 消去y 或x 2 一圆与y轴相切 圆心在直线x 3y 0上 在y x上截得弦长为 求此圆的方程 解 设该圆的方程是 x 3b 2 y b 2 9b2 圆心 3b b 到直线x y 0的距离是 故所求圆的方程是 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 r 3b 画板 复习 解法二 发散创新 3 已知实数x y满足 求y x的最大与最小值 5 若关于x的方程有两个不同的实数解 求m的取值范围 解法 方程有两解直线y x m曲线有两个交点 注意到曲线是半圆 y 结合图形可知 发散创新 方法小结 三 通过直线与圆位置关系的应用 反映了代数与几何的一个结合点 数形结合 类比 猜想 外离 圆和圆的五种位置关系 o1o2 r r o1o2 r r r r o1o2 r r o1o2 r r 0 o1o2 r r o1o2 0 外切 相交 内切 内含 同心圆 一种特殊的内含 判断两圆位置关系 几何方法 两圆心坐标及半径 配方法 圆心距d 两点间距离公式 比较d和r1 r2的大小 下结论 外离 d r r d r r r r d r r d r r 0 d r r 外切 相交 内切 内含 结合图形记忆 限时训练 5分钟 判断c1和c2的位置关系 反思 几何方法 两圆心坐标及半径 配方法 圆心距d 两点间距离公式 比较d和r1 r2的大小 下结论 代数方法 判断c1和c2的位置关系 判断c1和c2的位置关系 解 联立两个方程组得 得 把上式代入 所以方程 有两个不相等的实根x1 x2 把x1 x2代入方程 得到y1 y2 所以圆c1与圆c2有两个不同的交点a x1 y1 b x2 y2 联立方程组 消去二次项 消元得一元二次方程 用 判断两圆的位置关系 小结 判断两圆位置关系 几何方法 两圆心坐标及半径 配方法 圆心距d 两点间距离公式 比较d和r1 r2的大小 下结论 代数方法 消去y 或x 问题探究 1 求半径为 且与圆切于原点的圆的方程 x y o c b a 请同学们谈谈这节课学到了什么东西 学完一节课或一个内容 应当及时小结 梳理知识 学习必杀技 问题探究 2 求经过点m 3 1 且与圆切于点n 1 2 的圆的方程 y o c m n g x d 典型例题 例1 求下列方程 1 与y轴相切 被直线y x截得的弦长为 圆心在x 3y 0上 求下列圆的方程 2 圆心在x y 4 0上 并且经过两圆c1 x2 y2 4x 3 0和c2 x2 y2 4y 3 0的交点 求下列圆的方程 3 经过两圆c1 x2 y2 4x 3 0和c2 x2 y2 4y 3 0的交点的公共弦直线方程 4 过直线3x 4y 7 0和圆 x 2 2 y 1 2 4的交点且过点 1 2 的圆的方程 圆系方程过圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0与圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0的交点的圆的方程 1 x2 y2 d1x e1y f1 x2 y2 d2x e2y f2 0 当 1 时 表示两圆的公共弦所在的直线方程 2 过圆c x2 y2 dx ey f 0与直线l ax by c 0的交点的圆的方程 x2 y2 dx ey f ax by c 0 达标练习 1 过圆外一点m 2 1 作圆的切线 求圆的切线方程2 已知圆c 直线l mx y 1 m 0 1 根据m的取值范围 讨论l与c的位置关系 2 求被截的最短弦长3 实数x y满足 1 求的最大值和最小值 2 求x 2y的最大值和最小值 3 a 1 0 b 1 0 求p x y 使 ap 2 bp 2取最小值 4 求p x y 到直线x y 8 0的最大值与最小值 例4图2 9是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图 该圆拱跨度ab 20米 拱高op 4米 在建造是每隔4米需要用一个支柱支撑 求支柱a2p2的长度 由方程组 答 支柱a2p2的长度约为3 86米 把点p2的横坐标x 2代入这个圆的方程 得y 3 86 y 0 下面用待定系数法来确定b和r的值 x2 y b 2 r2 因为p b都在圆上 所以它们的坐标 0 4 10 0 满足方程 解得 b 10 5r2 14 52 所以圆的方程为x2 y 10 5 2 14 52 p2 解 建立坐标系如图2 9 圆心在y轴上 设圆心的坐标是 0 b 圆的半径是r 那么圆的方程是 例6 求圆 x 3 2 y 4 2 1关于直线x y 0对称的圆的方程 解 圆 x 3 2 y 4