山东省济宁市梁山一中高中数学《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》学案 新人教A版必修2.doc

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.二重点、难点：重点：难点：三知识要点：1. 空间两条直线的位置关系：2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.四自主探究：（一）例题精讲：【例1】已知异面直线a和b所成的角为50，p为空间一定点，则过点p且与a、b所成角都是30的直线有且仅有（ ）. a. 1条 b. 2条 c. 3条 d. 4条解：过p作a，b，若pa，则取a为，若pb，则取b为这时，相交于p点，它们的两组对顶角分别为50和130. 记，所确定的平面为，那么在平面内，不存在与，都成30的直线 过点p与，都成30角的直线必在平面外，这直线在平面的射影是，所成对顶角的平分线其中射影是50对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130对顶角平分线的直线不存在故答案选b.【例2】如图正方体中，e、f分别为d1c1和b1c1的中点，p、q分别为ac与bd、a1c1与ef的交点. （1）求证：d、b、f、e四点共面；（2）若a1c与面dbfe交于点r，求证：p、q、r三点共线.证明：（1） 正方体中，. 又 中，e、f为中点， . , 即d、b、f、e四点共面.（2） ， .又 ， ， . 即p、q、r三点共线【例3】已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于a、b、c，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a/b，由公理2的推论，存在平面，使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于a、b、c，由公理1，.假设，则, 在平面内过点c作，因为b/c，则，此与矛盾. 故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体abcda1b1c1d1，e、f分别是ad、aa1的中点.（1）求直线ab1和cc1所成的角的大小；（2）求直线ab1和ef所成的角的大小.解：（1）如图，连结dc1 ， dc1ab1， dc1 和cc1所成的锐角cc1d就是ab1和cc1所成的角. cc1d=45， ab1 和cc1所成的角是45.（2）如图，连结da1、a1c1， efa1d，ab1dc1， a1dc1是直线ab1和ef所成的角. a1dc1是等边三角形， a1dc1=60，即直线ab1和ef所成的角是60.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.第10练 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系五目标检测：（一）基础达标1分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. a. 异面 b. 平行 c. 相交 d. 以上都有可能2教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ）.a平行 b垂直 c相交但不垂直 d异面3两条直线a,b分别和异面直线c, d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）.a. 一定是异面直线 b. 一定是相交直线c. 可能是平行直线 d. 可能是异面直线，也可能是相交直线4把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）.a. 12 b. 24 c. 36 d. 485正方体中，ab的中点为m，的中点为n，异面直线 与cn所成的角是（ ）.a30 b90 c45 d60eafbcmnd6如图，正方体中，直线与所成角为_度.7右图是正方体平面展开图，在这个正方体中： bm与ed平行； cn与be是异面直线； cn与bm成60角； dm与bn垂直. 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 . （二）能力提高8已知空间四边形abcd各边长与对角线都相等，求ab和cd所成的角的大小. 9空间四边形abcd中，e、f、g、h分别是ab、bc、