【志鸿优化设计】七年级数学下册 第6章 6.1 平方根、立方根讲解与例题 （新版）沪科版(1).doc

6.1平方根、立方根1了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根2能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题3知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根4能运用算术平方根解决一些简单的实际问题1平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根换句话说，如果x2a，那么x叫做a的平方根，例如224，(2)24，则4的平方根是2和2(也可合写为2)，2和2都是4的平方根(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根(3)平方根的表示：正数a有两个平方根，一个是a的正的平方根，记作“”，读作“根号a”，另一个是a的负的平方根，记作“”，读作“负根号a”，这两个平方根合起来可记作“”，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数【例11】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)；(3)2分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根解：(1)(0.8)20.64，0.64的平方根是0.8(2)2，的平方根是.(3)22，2的平方根是.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如2是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有.【例12】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由(1)；(2)0；(3)4；(4)0.49；(5)(3)2分析：数的序号存在情况原因(1)有2个因为是正数，所以有两个平方根(5)有2个(3)无因为是负数，所以没有平方根(4)无(2)有1个0的平方根是它本身解：(1)因为是正数，所以有两个平方根由于2，所以的平方根是.(2)0只有一个平方根，是它本身(3)因为4是负数，所以4没有平方根(4)因为0.49是负数，所以0.49没有平方根(5)因为(3)29，所以(3)2为正数，有两个平方根由于9的平方根是3，所以(3)2的平方根是32算术平方根的概念正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x2a，那么正数x叫做a的算术平方根平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：表示方法不同：正数a的平方根表示为；正数a的算术平方根表示为.个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)1；(3).分析：根据算术平方根的定义，求正数a的算术平方根，也就是求一个非负数x，使x2a，则x就是a的算术平方根(1)因为142196，所以196的算术平方根是14(2)因为1，2，所以的算术平方根是，即1的算术平方根是.(3)因为要求的是的算术平方根，所以要先算出，再求算术平方根.表示的是16的算术平方根，所以4由于224，所以4的算术平方根是2，即的算术平方根是2解：(1)14(2).(3)因为4,4的算术平方根是2，所以的算术平方根是2求正数a的算术平方根，只需找出平方等于a的正数求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现1的错误3开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：在计算器上依次键入，显示结果为23，因此529的算术平方根为23在计算器上依次键入，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么6.94(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程(2)开平方是平方的逆运算我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确(3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m和指数2，求幂，是平方运算，即m2(？)；已知幂a和指数2，求底数，是开平方，即(？)2a.(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x225；(2)(2a3)216分析：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，它有一正一负两个值(1)因为x225，所以x就是25的平方根，有两个，是5；(2)将2a3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a3就是16的平方根，是4，即2a34，在此基础上，分两种情况分别求出a的值即可解：(1)因为(5)225，所以x5(2)因为(4)216，所以2a34当2a34时，解得a.当2a34时，解得a.故所求a的值是或.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x2m(m0)的形式，然后根据开平方得到x.特别地，要注意整体思想的应用4立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根(也叫做三次方根)也就是说，如果x3a，那么x叫做a的立方根(2)立方根的表示方法：数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)27；(3)3；(4)0.064；(5)0；(6)5分析：求一个数a的立方根，关键是求出满足等式x3a中x的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁解：(1)因为3327，所以3(2)因为(3)327，所以3(3)因为3，而3，所以.(4)因为(0.4)30.064，所以0.4(5)因为030，所以0.(6)5的立方根是.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，5的立方根是.5开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方开立方与立方互为逆运算我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根被开立方的数可以是正数、负数和0；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根(2)用计算器求一个数的立方根及近似值用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按键，再按书写顺序按键即可例如用计算器求，在计算器上依次键入，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即12.26【例5】解方程：(1)125x3270；(2)(5x3)3343分析：(1)把原方程变形为x3后，可知x是的立方根(2)把5x3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x.解：因为125x3270，所以x3.故x.(2)因为(5x3)3343，所以5x37，即5x10故x2利用开立方解方程的方法：先把方程化为x3m的形式，然后根据开立方得到x.特别地，要注意整体思想的应用6立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.(1)立方根的符号与被开方数的符号一致；(2)一个数的立方根是唯一的；(3)，a，()3a.【例6】下列语句正确的是()a的立方根是2b3是27的立方根c的立方根是d(1)2的立方根是1解析：因为8，而2的立方等于8，所以的立方根是2，即a正确，解答时不要把“求的立方根”误解为“求64的立方根”；因为3的立方是27，所以3是27的立方根是错误的；因为的立方是，所以的立方根是，因此c是错误的；因为(1)21，它的立方根是1，而不是1，所以d是错误的故本题选a答案：a(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根7用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零(2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数【例71】已知2x1和x11是一个数的平方根，求这个数分析：因为2x1和x11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x1和x11相等或互为相反数当2x1和x11相等时，可列出方程2x1x11，当2x1和x11互为相反数时，可列出方程2x1x110，从而求出x的值，进一步可求出这个数解：根据平方根的定义，可知2x1和x11相等或互为相反数当2x1x11时，x10，所以2x121，这时所求的数为(21)2441；当2x1x110时，x4，所以2x17，这时所求的数为7249综上可知，所求的数为49或441【例72】若，求a2 012的值分析：根据立方根的唯一性和，可知2a1与5a8互为相反数，从而可构造出关于a的一元一次方程2a1(5a8)进一步可求出a2 012的值解：因为，所以，即2a1(5a8)解得a1故a2 012(1)2 01218非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有：(1)绝对值|a|0；(2)平方a20；(3)算术平方根具有双重非负性：本身具有非负性，即0；算术平方根的被开方数具有非负性，即a0.非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题|()20，|0，()20，甚至同一道题目中出现这三个内容|()20；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算【例81】如果y2，则4xy的平方根是_解析：因为2x10且12x0，所以2x112x0，即x.于是y22因此4xy424故4xy的平方根为2答案：2【例82】如果y2 012成立，求x2y3的值分析：由算术平方根被开方数的非负性知x240,4x20，因此，只有x240，即x2；又x20，即x2，所以x2，y2 012，于是得解解：由题意可知x240且4x20，因此x240，即x2又x20，即x2，x2，y2 012故x2y3222 01232 013【例83】已知(b2)20，求(ab)2 012的值分析：表示a1的算术平方根，所以为非负数因为(b2)2为偶次幂，所以(b2)2为非负数由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可解：因为0，(b2)20，且(b2)20，所以0，(b2)20，解得a1，b2故(ab)2 012(12)2 01219利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍.(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍.(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索【例9】(1)观察下列各式：2，3，4，请你将发现的规律用含自然数n(n1)的等式表示出来_(2)借助计算器可以求出，观察上述各式特点，猜想：_.解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数与左边被开方数的相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数与左边被开方数相同且4比3大1，故有(n1)(n1)(2)借助计算器，可以分别求得5，55，555，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或3的个数决定，故猜想.答案：(1)(n1)(n1)(2)10平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定