【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第二章 函数2．3函数的奇偶性与周期性教学案 理 新人教A版 .doc

2.3函数的奇偶性与周期性1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)是偶函数关于_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)是奇函数关于_对称2周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xt)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称t为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个_正数就叫做f(x)的最小正周期3对称性若函数f(x)满足f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则函数f(x)关于直线_对称1函数f(x)x的图象关于()ay轴对称 b直线yx对称c坐标原点对称 d直线yx对称2若函数f(x)为奇函数，则a()a. b. c. d13函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，3)上()a先减后增 b先增后减c单调递减 d单调递增4若f(x)是r上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)()a1 b1 c2 d25若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间6，4上是减函数，则f(x)在0,2上的单调性是_一、函数奇偶性的判定【例1】 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)(x1)；(3)f(x).方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：1定义法2图象法3性质法：(1)“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶；(2)“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶；(3)“奇偶”是奇，“奇偶”是奇提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程请做演练巩固提升1二、函数奇偶性的应用【例21】 设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()ax|x2，或x0 bx|x0，或x4cx|x0，或x6 dx|x2，或x2【例22】 设a，br，且a2，若定义在区间(b，b)内的函数f(x)lg是奇函数，则ab的取值范围为_【例23】设函数f(x)x3bx2cx(xr)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求b，c的值；(2)求g(x)的单调区间与极值方法提炼函数奇偶性的应用：1已知函数的奇偶性求函数的解析式，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值3奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反4若f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f(x)是偶函数且在x0处有定义，就不一定有f(0)0，如f(x)x21是偶函数，而f(0)1.请做演练巩固提升3,4三、函数的周期性及其应用【例31】已知定义在r上的函数f(x)满足f(x)f，且f(1)3，则f(2 014)_.【例32】已知函数f(x)满足f(x1)，若f(1)2 014，则f(103)_.方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f(xt)f(x)，由函数周期性的定义可知t是函数的一个周期；(2)若满足f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a是函数的一个周期；(3)若满足f(xa)，则f(x2a)f(xa)af(x)，所以2a是函数的一个周期；(4)若函数满足f(xa)，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果t是函数yf(x)的周期，则kt(kz且k0)也是yf(x)的周期，即f(xkt)f(x)；若已知区间m，n(mn)的图象，则可画出区间mkt，nkt(kz且k0)上的图象请做演练巩固提升5没有等价变形而致误【典例】 函数f(x)的定义域dx|x0，且满足对于任意x1，x2d，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围错解：(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3，由f(3x1)f(2x6)3，得f(3x1)(2x6)f(64)又f(x)在(0，)上是增函数，(3x1)(2x6)64.x5.分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1x21.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(x)的关系，从而想到赋值x11，x2x.即f(x)f(1)f(x)(3)就是要出现f(m)f(n)的形式，再结合单调性转化为mn或mn的形式求解正解：(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.由f(3x1)f(2x6)3，变形为f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64)又f(x)在(0，)上是增函数，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.解得x或x3或3x5.x的取值范围是.答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示如“m”等价于“n”、“m”变形为“n”(2)要写明转化的条件如本例中：f(x)为偶函数，不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64)(3)转化的结果要等价如本例：由于f|(3x1)(2x6)|f(64) |(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.若漏掉(3x1)(2x6)0，则这个转化就不等价了1下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是()ay2|x| bylg(x)cy2x2x dylg2已知函数f(x)对一切x，yr，都有f(xy)f(x)f(y)，则f(x)为()a偶函数 b奇函数c既是奇函数又是偶函数 d非奇非偶函数3函数f(x)的定义域为r，且满足：f(x)是偶函数，f(x1)是奇函数，若f(0.5)9，则f(8.5)等于()a9 b9 c3 d04设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为()ax|x2，或x4bx|x0，或x4cx|x0，或x6dx|x2，或x25已知定义在r上的奇函数f(x)的图象关于直线x1对称，f(1)1，则f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)f(2 012)f(2 013)_.参考答案基础梳理自测知识梳理1f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点2(1)f(x)(2)存在一个最小最小3xa基础自测1c解析：判断f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故选c.2a解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即：恒成立，整理得：a.故选a.3d解析：当m1时，f(x)2x3不是偶函数，当m1时，f(x)为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y轴，故需m0，此时f(x)x23，其图象的开口向下，所以函数f(x)在(5，3)上单调递增4a解析：f(3)f(52)f(2)f(2)2，f(4)f(51)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1，故选a.5单调递增解析：t4，且在6，4上单调递减，函数在2,0上也单调递减又f(x)为偶函数，故f(x)的图象关于y轴对称，由对称性知f(x)在0,2上单调递增考点探究突破【例1】 解：(1)由得x或x.函数f(x)的定义域为，对任意的x，x，且f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)要使f(x)有意义，则0，解得1x1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)2x2且x0.函数f(x)的定义域关于原点对称又f(x)，f(x)，f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数【例21】 b解析：当x0时，x0，f(x)(x)38x38.又f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38.f(x)f(x2)由f(x2)0得：或解得x4或x0，故选b.【例22】 解析：f(x)在(b，b)上是奇函数，f(x)lg f(x)lg lg ，对x(b，b)成立，可得a2(a2舍去)f(x)lg .由0，得x.又f(x)定义区间为(b，b)，0b，2ab.【例23】 解：(1)f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc，g(x)f(x)f(x)x3(b3)x2(c2b)xc.g(x)是一个奇函数，g(0)0，得c0，由奇函数定义g(x)g(x)得b3.(2)由(1)知g(x)x36x，从而g(x)3x26，由此可知，(，)和(，)是函数g(x)的单调递增区间；(，)是函数g(x)的单调递减区间g(x)在x时，取得极大值，极大值为4；g(x)在x时，取得极小值，极小值为4.【例31】 3解析：f(x)f，f(x3)fff(x)f(x)是以3为周期的周期函数则f(2 014)f(67131)f(1)3.【例32】 解析：f(x1)，f(x2).f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期为4.f(1)2 014，f(103)f(2543)f(3).演练巩固提升1d解析：对于d，ylg的定义域为x|x1，不关于原点对称，是非奇非偶函数2b解析：显然f(x)的定义域是r，它关于原点对称令yx，得f(0)f(x)f(x)，又f(0)0，f(x)f(x)0，即f(x)f(x)f(x)是奇函数，故选b.3b解析：由题可知，f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)又f(x1)是奇函数，所以f(x1)f(x1)令tx1，可得f(t)f(t2)，所以f(t2)f(t4)所以可得f(x)f(x4)，所以f(8.5)f(4.5)f(0.5)9，故选b.4b解析：当x0时，令f(x)2x40，所以x2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)0的解集为x|x2，或x2将函数yf(x)的图象向右平移2