【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第12章 曲线与方程、数学归纳法12．1曲线与方程教学案 苏教版.doc

第12章曲线与方程、数学归纳法121曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系1曲线的方程与方程的曲线如果曲线c上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的_，且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在_上，那么，方程f(x，y)0叫做曲线c的方程，曲线c叫做方程f(x，y)0的曲线2平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质3求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设所求轨迹上任一点p(x，y)(3)列式列出动点p所满足的关系式(4)化简化方程f(x，y)0为最简形式(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程4两条曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的_，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组_，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的_条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题1方程x2xyx表示的曲线是_2过圆外一点p作圆x2y21的两条切线pm和pn(m，n为切点)，若mpn，则动点p的轨迹是_3已知定点a(1,2)，b(1,2)，动点p与a，b两点连线的斜率k1，k2满足k1k24，则动点p的轨迹方程是_4(2012江苏苏锡常镇四市调研)已知点m与双曲线1的左、右焦点的距离之比为23，则点m的轨迹方程为_5若动直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_求轨迹有哪些常用方法？提示：(1)直接法：如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x，y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤若方程的化简是恒等变形，则最后的证明可以省略(2)待定系数法：若已知条件告诉了我们曲线的种类或方程的具体形式，可先设出曲线的方程，再确定其中的参数(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或不易直接求出，但形成轨迹的动点p(x，y)却随另一动点q(x，y)的运动而有规律地运动，且动点q的轨迹已给定或容易求得，则可先将x，y表示为x，y的式子，再代入q的轨迹方程，然后整理得p的轨迹方程，代入法也称相关点法(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x，y之间建立起联系，然后再消去参数得出动点的轨迹方程一、直接法求曲线方程【例1】在直角坐标平面中，abc的两个顶点为a(0，1)，b(0,1)平面内两点g，m同时满足：g为abc的重心，|，.求顶点c的轨迹e的方程方法提炼(1)用直接法求轨迹方程的步骤为：建系(若题中已有坐标系，该步骤省略)，设点，列方程化简，其关键是根据条件列出方程来(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上请做针对训练1二、相关点法(代入法)求轨迹方程【例2】设a是单位圆x2y21上的任意一点，l是过点a与x轴垂直的直线，d是直线l与x轴的交点，点m在直线l上，且满足dmmda(m0，且m1)当点a在圆上运动时，记点m的轨迹为曲线c.求曲线c的方程，判断曲线c为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标方法提炼在上述问题中，动点a(主动点)在已知曲线上运动，动点m(被动点)依赖点a的运动而运动，这种求轨迹问题所应用的方法称为“相关点法”其基本步骤为：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程请做针对训练2三、定义法求轨迹方程【例3】已知a，b是圆f：2y24(f为圆心)上一动点，线段ab的垂直平分线交bf于点p，求动点p的轨迹方程方法提炼若由题意能判断出动点的运动轨迹能满足某种曲线的定义，则可用待定系数法设出所求曲线的方程，再确定其中的基本量即可请做针对训练3在高考中对本节内容的考查以解答题为主，并且常常是压轴题，题目一般综合性较强，计算量较大，难度偏大，具有较强的区分度主要侧重以下几个方面：(1)相交弦问题，主要是根与系数关系的应用(2)最值问题，主要是把几何最值问题转化为函数和基本不等式的最值问题来求解(3)存在性问题，一般先假设存在，若能求出符合题目要求的结论，则证明存在；若不能求出，则证明不存在1已知点f(1,0)，直线l：x1，p为坐标平面上的动点，过点p作直线l的垂线，垂足为点q，且.求动点p的轨迹c的方程2设圆c：(x1)2y21，过原点o作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程3(2012江苏南通数学学科基地密卷(一)已知双曲线y21的两个焦点为f1，f2，p为动点，若pf1pf24.(1)求动点p的轨迹e的方程；(2)若a1(2,0)，a2(2,0)，m(1,0)，设直线l过点m，且与轨迹e交于r，q两点，直线a1r与a2q交于点s.试问：当直线l在变化时，点s是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由参考答案基础梳理自测知识梳理1解曲线c4(1)公共解无解(2)充要基础自测1两条直线解析：方程变为x(xy1)0，则x0或xy10.故方程表示直线x0或直线xy10.2圆x2y22解析：依题意，四边形ompn为正方形，所以op2(om)22，即x2y22.3y2x2(x1)解析：设p(x，y)，则由4，得y2x2(x1)4x2y226x250解析：由题意得，即9x290x2599y24x240x2544y2，化简得x2y226x250.5m1且m5解析：由题意知直线l与y轴的交点p(0,1)恒在椭圆内，所以1(m0)，解得m1.因为m5，所以m1且m5.考点探究突破【例1】解：设c(x，y)，g为abc的重心，点g的坐标为.由|知点m在x轴上，由知点m的坐标为.由|，得，化简整理得y21(x0)【例2】解：如图，设m(x，y)，a(x0，y0)，则由dmmda(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|y|.因为点a在单位圆上运动，所以xy1.将式代入式即得所求曲线c的方程为x21(m0，且m1)因为m(0,1)(1，)，所以当0m1时，曲线c是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，)，(0，)【例3】解：如图，连结pa，依题意可知papb.papfpbpfbf2.点p的轨迹为以a，f为焦点，长半轴长为1的椭圆其方程可设为1.又c，a1，b2a2c2.故点p的轨迹方程为x2y21.演练巩固提升针对训练1解：设点p(x，y)，则q(1，y)，由，得(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得c：y24x，故动点p的轨迹c的方程为y24x.2解：如图所示，设oq为过o的一条弦，p(x，y)为其中点，则cpoq.方法一：直接法设oc的中点为m，则mpoc，得方程2y2，其中0x1.方法二：定义法opc90，动点p在以m为圆心，oc为直径的圆上，且其方程为2y2(0x1)方法三：代入法设弦与圆c的另一交点为q(x1，y1)，则又(x11)2y1，(2x1)2(2y)21(0x1)，即2y2(0x1)3解：(1)由题意知f1(，0)，f2(，0)，pf1pf24，动点p(x，y)必在以f1，f2为焦点，长轴长为4的椭圆上，即a2.又c，b2a2c21，动点p的轨迹e的方程为y21.(2)由题意，可设直线l的方程为xmy1.取m0时，由题意可得r，q，直线a1r的方程是yx，直线a2q的方程是yx，则直线a1r与a2q的交点为s(4，)若r，q，由对称性可知交点为s2(4，)若点s在同一条直线上，则直线为l：x4.以下证明对于任意的m(m0)，直线