【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第15章 选考部分 不等式选讲教学案 苏教版选修4.doc

选修45不等式选讲1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c.3理解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法4了解算术几何平均不等式与柯西不等式1含_的不等式叫做绝对值不等式|xa|的几何意义：数轴上表示数x与a的两点间的_2解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)_：根据|f(x)|去掉绝对值符号(2)利用等价不等式：|axb|c(c0)_；|axb|c(c0)_.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号形如|xa|xb|c(ab)与|xa|xb|c(ab)的绝对值不等式的解法主要有三种：运用绝对值的几何意义；零点分区间讨论法；构造分段函数，结合函数图象求解3定理：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当_时，等号成立其中不等式|ab|a|b|称为三角绝对值不等式定理：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当_时，等号成立重要绝对值不等式|a|b|ab|_.使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即|ab|a|b|ab0；|ab|a|b|ab0；|a|b|ab|b(ab)0；|a|b|ab|b(ab)0；注：|a|b|ab|a|ab|b|(ab)b|ab|b|b(ab)0.同理可得|a|b|ab|b(ab)0.4定理：如果a，br，那么a2b22ab，当且仅当_时，等号成立基本不等式：如果a，b0，那么_，当且仅当ab时等号成立三个正数的算术几何平均不等式：如果a，b，c0，那么_，当且仅当abc时等号成立基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即，当且仅当_时等号成立5(1)不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等(2)柯西不等式二元柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，a，b，c，dr，等号当且仅当_时成立柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立类似地，从空间向量的几何背景也能得到|.将空间向量的坐标代入，可得到三元柯西不等式：(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2，当且仅当，共线时，即0，或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立一般形式的柯西不等式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1，2，n)时，等号成立6数学归纳法是重要的数学思想方法，数学归纳法常用来证明一些与自然数有关的命题数学归纳法的核心是首先验证命题nn0正确，然后在归纳假设的基础上，完成由nk到nk1的归纳证明，难点在于应用归纳假设完成归纳证明，还要注意数学归纳法的书写格式1求不等式|x3|x2|3的解集2(2012江苏南京三模)解不等式：|x1|.3设a，b为不相等的两个正数，且a3b3a2b2.求证：1ab.4已知a，b，c为正数，且a2b2c214，试求a2b3c的最大值1解绝对值不等式时易犯的错误是什么？提示：解绝对值不等式的关键是利用绝对值的概念或几何意义去掉绝对值符号，在求解过程中实施了非同解变形是常见的错误2利用“零点划分法”解绝对值不等式的一般步骤是什么？提示：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集一、含有绝对值的不等式的解法【例1】设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值方法提炼1解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|axb|c，|axb|c的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图象法求解2已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值请做针对训练1二、利用绝对值的几何意义或含绝对值的函数图象解不等式【例2】设函数f(x)|x2|x2|，若不等式|ab|4ab|a|f(x)对任意a，br，且a0恒成立，求实数x的取值范围方法提炼1不等式|xa|xb|c表示数轴上到两个定点a，b的距离之和不小于c的点的集合；反之，不等式|xa|xb|c表示数轴上到两个定点a，b的距离之和小于c的点的集合2构造形如f(x)|xa|xb|的函数，通过去掉绝对值，将其转化成分段函数，利用其图象求解不等式，体现了函数与方程的思想请做针对训练2三、不等式的证明【例3】(2012江苏南京二模)已知a0，b0，ab1，求证：.方法提炼1以下绝对值不等式|ab|a|b|或|ab|ac|cb|，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值2证明不等式时应注意以下几个问题：(1)比较法通常是进行因式分解或进行配方，利用非负数的性质来进行判断(2)综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向上的差别，一个是“由因导果”，而另一个则是“执果索因”(3)放缩法的要求较高，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中去寻找(4)证明不等式的方法还有反证法、换元法、单调函数法、三角代换法等，应了解每一种证明方法的基本含义和适用范围，不宜盲目追求证明的难度和一题多证，宜以达到“双基”要求为准请做针对训练3不等式选讲是高考的选考内容之一，题目难度不大，关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式通常考查解绝对值不等式，同时与不等式的性质相结合；以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、补运算；与函数、数列等知识相结合综合考查不等式的证明方法等对于不等式的证明，通常考查用综合法、分析法、比较法、反证法、放缩法证明不等式另外，柯西不等式也是考查的重点1解关于x的不等式：3.2(2012江苏泰州第一学期期末)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|xy1|的最大值3(2012江苏镇江第一学期期末)已知a，b都是正实数，且ab2，求证：1.参考答案基础梳理自测知识梳理1绝对值符号距离2(1)分段讨论(2)caxbcaxbc或axbc3ab0(ab)(bc)0|a|b|4aba1a2an5(2)adbc基础自测1解：令x30得x3；令x20得x2.当x3时，原不等式变为x3x23，解集为.当3x2时，原不等式变为x3x23，解得x1，1x2.当x2时，原不等式变为x3x23，解集为r，x2.综上所述，原不等式的解集为x|x12解：当x2，解得x2或x2；当0x2，这个不等式无解综上，原不等式的解集为x|x23证明：由题意，得a2abb2ab.于是(ab)2a2abb2ab，所以ab1.又(ab)24ab，而(ab)2a22abb2ababab，即(ab)2ab，所以ab，所以1ab0，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a2.【例2】解：因为|ab|4ab|(ab)(4ab)|5|a|，又因为a0，所以|a|0.由题意，得5|a|a|f(x)，即f(x)5，解得x或x.所以x的取值范围是x或x.【例3】证法1：因为a0，b0，ab1，所以(2a1)(2b1)14529.而(2a1)(2b1)4，所以.证法2：因为a0，b0，由柯西不等式得(2a1)(2b1)2(12)29.由ab1，得(2a1)(2b1)4，所以.证法3：设2a1x,2b1y，则x1，y1，且xy2a12b14.只需证明即可因为(xy)5529，且xy4，所以.故.演练巩固提升针对训练1解：30，不等式两边同乘|x|，将|2x1|3|x|两边平方，