【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 不等式选讲教学案 理 新人教A版选修4.doc

选修45不等式选讲1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c.3了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法1含_的不等式叫做绝对值不等式2解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f(x)|去掉绝对值符号(2)利用等价不等式：|axb|c(c0)_；|axb|c(c0)_.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号3定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当_时，等号成立4定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当_时，等号成立5|xa|的几何意义：数轴上表示数x与a的两点间的_6形如|xa|xb|c(ab)与|xa|xb|c(ab)的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义；(2)零点分区间讨论法；(3)构造分段函数，结合函数图象求解7重要绝对值不等式：|a|b|ab|_.使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即|ab|a|b|ab0；|ab|a|b|ab0；|a|b|ab|b(ab)0；|a|b|ab|b(ab)0；注：|a|b|ab|a|ab|b|(ab)b|ab|b|b(ab)0.同理可得|a|b|ab|b(ab)0.1若存在实数x满足|x3|xm|5，求实数m的取值范围2设函数f(x)|x1|xa|(a0)若不等式f(x)5的解集为(，23，)，求a的值3若不等式|a2|1对于一切非零实数x均成立，求实数a的取值范围4设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)2；(2)若关于x的不等式af(x)有解，求实数a的取值范围一、含有一个绝对值的不等式的解法【例1】 (2012辽宁高考)已知f(x)|ax1|(ar)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围方法提炼1解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|axb|c，|axb|c的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图象法求解2已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值请做演练巩固提升3二、含有两个绝对值的不等式的解法【例2】设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xr，f(x)2，求a的取值范围方法提炼1解含两个绝对值符号的不等式，可先将其转化为|xa|xb|c的形式，对于这种绝对值符号里是一次式的不等式，一般有三种解法，分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法”此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用2绝对值不等式|xa|c(c0)表示数轴上到点a的距离不小于c的点的集合；反之，绝对值|xa|c(c0)表示数轴上到点a的距离小于c的点的集合3“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集请做演练巩固提升1三、利用绝对值的几何意义或含绝对值的函数图象解不等式【例3】已知函数f(x)|x8|x4|.(1)作出函数yf(x)的图象；(2)解不等式|x8|x4|2.方法提炼1不等式|xa|xb|c表示数轴上到两个定点a，b的距离之和不小于c的点的集合；反之，不等式|xa|xb|c表示数轴上到两个定点a，b的距离之和小于c的点的集合2构造形如f(x)|xa|xb|的函数，通过去掉绝对值，将其转化成分段函数，利用其图象求解不等式，体现了函数与方程的思想请做演练巩固提升2四、不等式的证明【例4】 已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立方法提炼1以下绝对值不等式|ab|a|b|或|ab|ac|cb|，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值2证明不等式时应注意以下几个问题：(1)比较法通常是进行因式分解或进行配方，利用非负数的性质来进行判断(2)综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向上的差别，一个是“由因导果”，而另一个则是“执果索因”(3)放缩法的要求较高，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中去寻找(4)证明不等式的方法还有反证法、换元法、单调函数法、三角代换法等，应了解每一种证明方法的基本含义和适用范围，不宜盲目追求证明的难度和一题多证，宜以达到“双基”要求为准请做演练巩固提升4等价转化思想在解含绝对值不等式中的应用【典例】 (10分)(2012课标全国高考)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围规范解答：(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集为x|x1x|x4(5分)(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0(10分)答题指导：1.本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解f(x)|x4|的解集的错误，应该是利用1,2是其解集而将绝对值先去掉再转化为1,2 2a,2a这一问题，注意不要弄反2等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想的关键是强调“等价”两字，转化的目的是使问题简单化1(2012陕西高考改编)若存在实数x使|xa|x1|3成立，求实数a的取值范围2对于xr，求不等式|x10|x2|8的解集3设不等式|2x1|1的解集为m.(1)求集合m；(2)若a，bm，试比较ab1与ab的大小4若正数a，b，c满足abc1，证明1.参考答案基础梳理自测知识梳理1绝对值符号2(2)caxbcaxbc或axbc3ab04(ab)(bc)05距离7|a|b|基础自测1解：存在实数x满足|x3|xm|5(|x3|xm|)min5，即|m3|5，解得2m8.2解：由题意，知f(2)f(3)5，即1|2a|4|3a|5，解得a2.3解：2，|a2|12，即|a2|1，解得1a3.4解：(1)原不等式等价于或或解得x7或x4或x4.所以原不等式的解集为x|x7或x(2)由题意知af(x)min，又f(x)所以f(x)minf.所以a.考点探究突破【例1】 解：(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意当a0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.【例2】 解：(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，由f(x)3得|x1|x1|3，(方法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为.(方法二)不等式可化为或或所以不等式的解集为.(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若a1，f(x)f(x)的最小值为1a；若a1，f(x)f(x)的最小值为a1.所以对于xr，f(x)2的充要条件是|a1|2，从而a的取值范围为(，13，)【例3】解：(1)f(x)图象如下：(2)不等式|x8|x4|2，即f(x)2，由2x122得x5.由函数f(x)的图象可知，原不等式的解集为(，5)【例4】证法一：因为a，b，c均为正数，所以a2b2c2，所以2.故a2b2c22.又26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当时，式等号成立即当且仅当abc时，原式等号成立证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以a2b2c2abbcac.同理，故a2b2c22abbcac3336.所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立即当且仅当abc时，原式等号成立演练巩固提升1解：由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x到a点与1点的距离的和小于等于3.由图可得2a4.2解：令y|x10|x2|则可画出其函数图象如图所示：由图象可以观