【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第15章 选考部分 几何证明选讲教学案 苏教版选修4.doc

第15章选考部分选修41几何证明选讲1理解相似三角形的判定与性质定理，了解直角三角形射影定理2会证明并应用圆周角定理、弦切角定理、圆的切线的判定定理及性质定理3会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、割线定理、切割线定理1平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也_推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成_推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边(或_)所得的对应线段_推论2：用平行于三角形一边且和其他两边_的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应_3相似三角形的判定定理：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似4相似三角形的性质定理：(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于_；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于_结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于_，外接圆的面积比等于_射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_5圆内接四边形的性质与判定定理：(1)性质定理1：圆的内接四边形的对角_性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的_(2)判定定理：如果一个四边形的_，那么这个四边形的四个顶点_推论：如果四边形的一个外角等于它的_，那么这个四边形的四个顶点_6圆的切线的性质及判定定理：(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过_(2)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_7圆周角定理和弦切角定理：(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的_等于它所对的_的一半推论1：同弧或_所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的_也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_8圆心角定理：圆心角的度数等于它_的度数9相交弦定理、切割线定理和割线定理：(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的_相等(2)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_相等10切线长定理：从_一点引圆的两条切线，它们的_相等，圆心和这一点的连线_两条切线的夹角1如图，已知在abc中，acb90，cdab于d，ac6，db5，求ad的长2(2012江苏南通二模)如图，圆o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p，e为圆o上一点，aeac，求证：pdepoc.3如图，ad是bac的平分线，o过点a且与bc边相切于点d，与ab，ac分别交于e，f两点求证：efbc.1使用平行线分线段成比例定理及其推论时易犯的错误是什么？提示：将比例关系搞错是易犯的错误，在使用上述定理及其推论时， 一定要搞清有关线段或边的对应关系2有关线段的比值问题，通常用什么方法解决？提示：通常用平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定和性质解答此类问题对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决一、平行线分线段成比例定理的应用【例1】如图，在abc中，d为bc中点，e在ca上且ae2ce，ad，be相交于点f，求，.方法提炼1在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定理去证明2作平行线的方法：(1)利用中点作出中位线可得平行关系；(2)利用已知线段的比例关系，作相关线段的平行线解题时要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果请做针对训练1二、相似三角形的性质与判定定理的应用【例2】(2012江苏盐城二模)如图，等边三角形abc内接于圆o，d为劣弧bc上一点，连结bd，cd并延长分别交ac，ab的延长线于点e，f.求证：cebfbc2.方法提炼证明三角形相似时，应根据条件，结合图形选择恰当的方法一般的思考顺序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就需证明三边对应成比例一般地，证明等积式成立时，可先将其化成比例式，再考虑利用平行线分线段成比例定理证明或相似三角形的性质证明其成立要特别注意，三角形相似具有传递性请做针对训练2三、圆周角、弦切角和圆的切线问题【例3】(2012苏北四市二模)如图，直线ab经过圆o上的点c，并且oaob，cacb，圆o交直线ob于e，d，连结ec，cd，若tanced，圆o的半径为3，求oa的长方法提炼1圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，进而可求得线段或角的大小2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角请做针对训练3四、相交弦定理的运用【例4】 如图，o1与o2相交于a，b两点，过点a作o1的切线交o2于点c，过点b作两圆的割线，分别交o1，o2于点d，e，de与ac相交于点p.(1)求证：adec；(2)若ad是o2的切线，且pa6，pc2，bd9，求ad的长方法提炼相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理请做针对训练4几何证明选讲是高考的选考内容之一，主要以平行线分线段成比例定理、直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定与性质、相交弦定理、圆内接四边形的性质与判定、切割线定理为载体，解决有关求角、求线段长及线段长度之比等题目，以解答题的形式出现题目的难度不大1一直角三角形的两条直角边之比是13，求它们在斜边上的射影比2(2012江苏南京三模)如图，o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p，e为o上一点，de交ab于点f.求证：pfpopapb.3(2012苏北四市三模)如图，半径分别为r，r(rr0)的两圆o，o1内切于点t，p是外圆o上任意一点，连结pt交o1于点m，pn与内圆o1相切，切点为n.求证：pnpm为定值4如图，abc内接于o，过点a的直线交o于点p，交bc的延长线于点d，且ab2apad.(1)求证：abac；(2)如果abc60，o的半径为1，且p为弧ac的中点，求ad的长参考答案基础梳理自测知识梳理1相等2比例两边的延长线成比例相交成比例4相似比相似比的平方相似比相似比的平方比例中项比例中项5(1)互补对角(2)对角互补共圆内角的对角共圆6(1)半径切点圆心(2)切线7(1)圆周角圆心角等弧弧直角直径(2)圆周角8所对弧9(1)积(3)积10圆外切线长平分基础自测1解：在rtabc中，acb90，cdab，ac2abad.设adx，则abx5，又ac6，62x(x5)，即x25x360.解得x4(x9舍去)，ad4.2证明：因为aeac，ab为圆o的直径，故oacoae.所以pocoacocaoacoaceac.又eacpde，所以pdepoc.3证明：如图，连结de.因为ad是bac的平分线，所以eaddac.因为bc切o于点d，所以eadedb.所以edbdac.又defdac，所以defedb.所以efbc.考点探究突破【例1】解：过点d作dgac且交be于点g，因为点d为bc的中点，所以ec2dg.因为ae 2ce，所以.从而，所以.因为bgge，所以.【例2】 证明：因为三角形abc内接于圆o，且bac60，所以bdc120，所以dbcdcb60.又bfcdcb60，所以dbcbfc.同理，dcbceb，所以cbebfc.所以，即bc2bfce.【例3】 解：连结oc.因为oaob，cacb，所以ocab.因为oc是圆的半径，所以ab是圆的切线因为ed是直径，所以ecd90.所以eedc90.又bcdocd90，ocdodc，所以bcde.又因为cbdebc，所以bcdbec.所以bc2bdbe，又因为tanced，bcdbec，.设bdx，则bc2x，因为bc2bdbe，所以(2x)2x(x6)所以xbd2.所以oaobbdod235.【例4】(1)证明：连结ab，ac是o1的切线，bacd.又bace，de.adec.(2)解法一：pa是o1的切线，pd是o1的割线，pa2pbpd，即62pb(pb9)pb3，或pb12(舍去)在o2中由相交弦定理，得papcbppe，pe4.debdpbpe93416.ad是o2的切线，de是o2的割线，ad2dbde916，ad12.解法二：设bpx，pey.pa6，pc2，由相交弦定理得papcbppe，即xy12.adec，.由可得，或(舍去)，de9xy16.ad是o2的切线，de是o2的割线，ad2dbde916.ad12.演练巩固提升针对训练1.解：如图，在直角三角形abc中，acb90，bcac13，作cdab于d，由射影定理得bc2bdab，ac2adab，则，故它们在斜边上的射影的比是19.2证明：连结oc，oe，则eoc2edc.因为，所以aoceoc.所以aocedc，所以pocpdf.又pp，所以pocpdf.所以，即pfpopcpd.又由割线定理，得pcpdpapb，所以pfpopapb.3证明：如图，作两圆的公切线tq，连结op，o1m，则pn2pmpt，所以.由