【志鸿优化设计】高考数学二轮专题升级训练 解答题专项训练(立体几何) 理 新人教A版(1).doc

专题升级训练 解答题专项训练(立体几何)1.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中m,g分别是ab,df的中点.(1)求证:cm平面fdm;(2)在线段ad上(含a,d端点)确定一点p,使得gp平面fmc,并给出证明.2. (2013江西,理19)如图,四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,e为bd的中点,g为pd的中点,dabdcb,ea=eb=ab=1,pa=,连接ce并延长交ad于f. (1)求证:ad平面cfg;(2)求平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值.3.如图,正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直,adcd,abcd,ab=ad=2,cd=4,m为ce的中点. (1)求证:bm平面adef;(2)求证:平面bde平面bec;(3)求平面bec与平面adef所成锐二面角的余弦值.4.如图,四棱锥p-abcd中,底面abcd为平行四边形,dab=60,ab=2ad,pd底面abcd. (1)证明:pabd;(2)设pd=ad,求二面角a-pb-c的余弦值.5.如图,已知在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,且ad=2,ab=1,pa平面abcd,e,f分别是线段ab,bc的中点. (1)证明:pffd;(2)判断并说明pa上是否存在点g,使得eg平面pfd;(3)若pb与平面abcd所成的角为45,求二面角a-pd-f的余弦值.6.如图,在四棱锥p-abcd中,ab平面pad,pd=ad,e为pb的中点,向量,点h在ad上,且=0. (1)求证:ef平面pad.(2)若ph=,ad=2,ab=2,cd=2ab,求直线af与平面pab所成角的正弦值.求平面pad与平面pbc所成二面角的平面角的余弦值.7.如图,在边长为4的菱形abcd中,dab=60.点e,f分别在边cd,cb上,点e与点c,d不重合,efac,efac=o.沿ef将cef翻折到pef的位置,使平面pef平面abfed.(1)求证:bd平面poa;(2)当pb取得最小值时,若点q满足=(0),试探究:直线oq与平面pbd所成的角是否一定大于?并说明理由.#1.解:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面adf中addf,df=ad=a.(1)证明:fd平面abcd,cm平面abcd,fdcm.在矩形abcd中,cd=2a,ad=a,m为ab中点,dm=cm=a,cmdm.fd平面fdm,dm平面fdm,fddm=d,cm平面fdm.(2)点p在a点处.证明:取dc中点s,连接as,gs,ga,g是df的中点,gsfc.又ascm,asag=a,平面gsa平面fmc.而ga平面gsa,gp平面fmc.2.解:(1)在abd中,因为e是bd中点,所以ea=eb=ed=ab=1,故bad=,abe=aeb=,因为dabdcb,所以eabecb,从而有fed=bec=aeb=,所以fed=fea,故efad,af=fd,又因为pg=gd,所以fgpa.又pa平面abcd,所以cfad,故ad平面cfg.(2)以点a为坐标原点建立如图所示的坐标系,则a(0,0,0),b(1,0,0),c,d(0,0),p,故.设平面bcp的法向量n1=(1,y1,z1),则解得即n1=.设平面dcp的法向量n2=(1,y2,z2),则解得即n2=(1,2).从而平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值为cos=.3.(1)证明:取de中点n,连接mn,an.在edc中,m,n分别为ec,ed的中点,所以mncd,且mn=cd.由已知abcd,ab=cd,所以mnab,且mn=ab,所以四边形abmn为平行四边形.所以bman.又因为an平面adef,且bm平面adef,所以bm平面adef.(2)证明:在正方形adef中,edad.又因为平面adef平面abcd,且平面adef平面abcd=ad,所以ed平面abcd.所以edbc.在直角梯形abcd中,ab=ad=2,cd=4,可得bc=2.在bcd中,bd=bc=2,cd=4.所以bcbd.所以bc平面bde.又因为bc平面bce,所以平面bde平面bec.(3)解:由(2)知ed平面abcd,且adcd.以d为原点,da,dc,de所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.b(2,2,0),c(0,4,0),e(0,0,2),平面adef的一个法向量为m=(0,1,0).设n=(x,y,z)为平面bec的一个法向量,因为=(-2,2,0),=(0,-4,2),所以令x=1,得y=1,z=2.所以n=(1,1,2)为平面bec的一个法向量.设平面bec与平面adef所成锐二面角为,则cos=.所以平面bec与平面adef所成锐二面角的余弦值为.4.(1)证明:因为dab=60,ab=2ad,由余弦定理得bd=ad.从而bd2+ad2=ab2,故bdad.又pd底面abcd,可得bdpd.因为pdad=d,所以bd平面pad,故pabd.(2)解:如图,以d为坐标原点,ad的长为单位长,射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系d-xyz.则a(1,0,0),b(0,0),c(-1,0),p(0,0,1).=(-1,0),=(0,-1),=(-1,0,0).设平面pab的法向量为n=(x,y,z),则因此可取n=(,1,).设平面pbc的法向量为m,则可取m=(0,-1,-),cos=-.故二面角a-pb-c的余弦值为-.5.(1)证明:pa平面abcd,bad=90,ab=1,ad=2,建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz,则a(0,0,0),b(1,0,0),f(1,1,0),d(0,2,0).不妨令p(0,0,t),=(1,1,-t),=(1,-1,0),=11+1(-1)+(-t)0=0,即pffd.(2)解:设平面pfd的法向量为n=(x,y,z),由令z=1,解得:x=y=.n=.设g点坐标为(0,0,m),e,则,要使eg平面pfd,只需n=0,即+0+1m=m-=0,得m=t,从而满足ag=ap的点g即为所求.(3)解:ab平面pad,是平面pad的法向量,易得=(1,0,0),又pa平面abcd,pba是pb与平面abcd所成的角,得pba=45,pa=1,平面pfd的法向量为n=.cos=.故所求二面角a-pd-f的余弦值为.6.解:(1)证明:取pa的中点q,连接eq,dq,e是pb的中点,eqab,且eq=ab.又,dfab,且df=ab.eqdf,且eq=df,四边形eqdf为平行四边形.efqd.又ef平面pad,且dq平面pad,ef平面pad.(2)方法一:证明:=0,即phad.又ab平面pad,ph平面pad,abph.又abad=a,ph平面abcd.连接ae,af,pd=ad,q为pa的中点,dqpa.又ab平面pad,且dq平面pad,abdq.abpa=a,dq平面pab.由(1)知 efdq,ef平面pab.ae为af在平面pab上的射影.fae为直线af与平面pab所成的角.pd=ad=2,ph=,在rtphd中,hd=1.h为ad的中点.又phad,pa=pd=ad=2,ef=dq=ph=.ab平面pad,abad.dfab,dfad.在rtadf中,af=.又ef平面pab,efae.在rtaef中,sinfae=.直线af与平面pab所成的角的正弦值为.延长da,cb交于点m,连接pm,则pm为平面pad与平面pbc所成二面角的交线.abcd,ab=cd,点a,b分别为dm,cm的中点,且dm=4.在rtphm中,pm2=ph2+mh2,pm=2.pd2+pm2=dm2.pmpd.又cd平面pmd,且pm平面pmd,cdpm.cdpd=d,pm平面pcd.pmcp.cpd即为所求的二面角的平面角.在rtpcd中,coscpd=.方法二:由方法一,可得ph平面abcd.又ab平面pad,在平面abcd内过点h作hgab,交bc于点g,hg平面pad.以h为原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系h-xyz.pd=ad=2,ph=,在rtphd中,hd=1.h为ad的中点.a(1,0,0),p(0,0,),b(1,2,0),e,f(-1,1,0).=(-2,1,0).设平面pab的一个法向量为n=(x,y,z).=(1,0,-),=(1,2,-),由得y=0,令z=,得x=3.n=(3,0,).设直线af与平面pab所成的角为.则sin=|cos|=.直线af与平面pab所成的角的正弦值为.显然向量为平面pad的一个法向量,且=(0,2,0).设平面pbc的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),=(1,2,-),=(-2,2,0),由n1=0,得到x1+2y1-z1=0,由n1=0,得到-2x1+2y1=0,令x1=1,则y1=1,z1=.n1=(1,1,),cos=,平面pad与平面pbc所成二面角的平面角的余弦值为.7.解:(1)证明:菱形abcd的对角线互相垂直,bdac,即bdao.efac,poef.平面pef平面abfed,平面pef平面abfed=ef,且po平面pef,po平面abfed.bd平面abfed,pobd.aopo=o,bd平面poa.(2)如图,以o为原点,建立空间直角坐标系o-xyz.设aobd=h.dab=60,bdc为等边三角形,故bd=4,hb=2,hc=2.又设po=x,则oh=2-x,oa=4-x.o(0,0,0),p(0,0,x),b(2-x,2,0),故=(2-x,2,-x),|=.当x=时,|pb|min=.此时po=,oh=.设点q的坐标为(a,