【志鸿优化设计】（山东专用）高考数学一轮复习 第十章计数原理10.2排列与组合教学案 理 新人教A版.doc

10.2排列与组合考纲要求1理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能解决简单的实际问题1排列与排列数：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是一件事情，只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数”，它是所有不同排列的个数，是一个数值排列数公式_，右边的第一个因数是n，后面的每一个因数都比前面一个少1，最后一个是nm1，共_个连续正整数相乘当m，n较小时，可利用该公式计数；排列数公式还可表示成_，它主要有两个作用：一是当m，n较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时，写出这种形式更便于发现它们之间的规律2组合与组合数：“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组”，它是一件事情；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数值组合数公式的推导要借助于排列数公式，公式_，其分子的组成与排列数相同，分母是m个元素的全排列数当m，n较小时，可利用该公式计数；组合数公式还可以表示成_，它有两个作用：一是当m，n较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的组合数式子进行变形和论证3组合数公式有两个性质：(1)_，该公式说明，从n个不同元素中取出m个元素与从n个不同元素中取出nm个元素是一一对应关系，实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系；(2)_，该公式说明，从a1，a2，an1中取出m个元素的组合数可以分成两类：第一类含有元素a1，共个；第二类不含元素a1，共个18名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()a b c d2(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为()a232 b252 c472 d4843设集合s1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合aa1，a2，a3是s的子集，且a1，a2，a3满足a1a2a3，a3a26，则满足条件的集合a的个数为()a78 b76 c84 d834刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要有两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人入园的顺序排法共有_种55个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有_种(用数字作答)一、有限制条件的排列问题【例11】用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_(用数字作答)【例12】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数：(1)甲不在排头、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)方法提炼对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先排其他元素，然后将这些要求不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法请做演练巩固提升5二、组合问题【例21】某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()a14 b16 c20 d48【例22】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选方法提炼1注意问题有无顺序要求，一般有序问题用排列，无序问题用组合；2有些复杂问题用直接法不好解决，往往选用间接法；3均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序分组要除以均匀组数的阶乘数；还要考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数请做演练巩固提升1三、排列与组合的综合应用【例31】现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机4项工作之一，每项工作至少有1人参加甲、乙不会开车但能从事其他3项工作，丙、丁、戊都能胜任4项工作，则不同安排方案的种数是()a152 b126 c90 d54【例32】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？方法提炼排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分组标准请做演练巩固提升3排列组合的综合应用【典例】(2012课标全国高考)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()a12种 b10种 c9种 d8种解析：将4名学生均分为2个小组共有3种分法，将2个小组的同学分给两名教师共有2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有2种分法，故不同的安排方案共有32212种答案：a答题指导：1仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；2深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；3对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；4由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同1某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()a4种 b10种 c18种 d20种2(2012陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()a10种 b15种c20种 d30种3将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为()a10 b20 c30 d404从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有_种54个男同学，3个女同学站成一排(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)参考答案基础梳理自测知识梳理1n(n1)(n2)(nm1)m23基础自测1a解析：运用插空法先将8名学生排列，有a种排法；再把2位老师插入8名学生形成的9个空中，有a种排法，因此共有aa种排法2c解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有cccc256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有cccc216种，由分类加法计数原理得共有472种，故选c.3d解析：易知在满足a1a2a3的集合a中，仅有1,2,9不满足a3a26，故满足条件的集合a的个数为c183.424解析：先将两位爸爸排在首尾，再将两位小孩视为一个整体同两位妈妈一起排列，最后将两位小孩内部进行排列，故这6人入园的顺序排法种数共有aaa24.572解析：其余三个人站成一排有a6种，甲、乙两人插空有a12种，共61272种考点探究突破【例11】40解析：先将3,5排列，共有a种排法；再将4,6插空排列，有2a种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，共有c种排法由分步乘法计数原理，共有a2ac40种【例12】解：(1)直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况若甲排在排尾共有aa6种排法若甲既不在排头也不在排尾共有aaa8种排法，由分类计数原理知满足条件的排法共有aaaaa14(种)也可间接计算：a2aa14(种)(2)可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位，则乙有3种排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3319(种)(3)可先排丙、丁有a种排法，则甲、乙只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有a112(种)，或看作定序问题12(种)【例21】b解析：直接法：可分为两种情况：(1)甲企业选中1人，有cc12种选法；(2)甲企业无人选中，有c4种选法，所以由分类计数原理可知共有12416种可能间接法：ccc16.【例22】解：(1)依题意，应选一名女生，四名男生，故共有cc350(种)(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有cc165(种)(3)至少有一名队长包含两类：只有一名队长和有两名队长，故共有：cccc825(种)或采用排除法：cc825(种)(4)至多有两名女生包含三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生故选法为：ccccc966(种)(5)分两类：第一类女队长当选，有c种；第二类女队长不当选：ccccccc.故选法共有：cccccccc790(种)【例31】b解析：(直接法)以从事司机工作为分类标准进行讨论：若有2人从事司机工作，则方案有ca18；若有1人从事司机工作，则方案有cca108种，所以不同安排方案种数是18108126.(间接法)5人从事4项工作，所有不同安排方案的种数是ca240.不符合要求的有两类：一是甲、乙都从事开车工作，有a6种；二是甲、乙有1人从事开车工作，它包括只有1人从事开车工作和有2人从事开车工作，故共有ccacca3672108种所以不同安排方案种数是2406108126.【例32】解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有ccca144(种)(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法(3)确定2个空盒有c种方法4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有cca种方法；第二类有序均匀分组有a种方法故共有c84(种)演练巩固提升1b解析：可分为两种情况：画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有c6种画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有c4种，共有6410种2c甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有c3种情形；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有c6种情形，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选c.3b4140解析：从10名同学中挑选4名参加该项公益活动有c种不同挑选方法；从甲、乙之外的8名同学中挑选4名参加该项公益活动有c种不同挑选方法；甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有cc21070140种5解：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有a种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有a种排法，由分步计数原理，有aa720种不同排法(2)先将男生排好，共有a种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空当中插入3个女生有a种方案，故符合条件的排法共有aa1 440种不同排法(3)甲、乙两人先