推理与证明练习题.pdf

推理与证明 1 2012 高考真题全国卷理 12 正方形 ABCD 的边长为 1 点 E 在边 AB 上 点 F 在边 BC 上 AE BF 7 3 动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动 每当碰到正方形的方向的边时反弹 反弹时反射等于入射角 当点 P 第一次碰到 E 时 P 与正方形的边碰撞的次数为 A 16 B 14 C 12 D 10 答案 B 2 2012 高考真题湖南理 16 设N 2 n n N n 2 将 N 个数 x 1 x2 xN依次放入编号为 1 2 N 的 N 个位置 得到排列 P0 x1x2 xN 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出 并按原顺序依次放入对应的前 2 N 和后 2 N 个位置 得到排列 P1 x1x3 xN 1x2x4 xN 将此操作称为 C 变换 将 P1分成两段 每段 2 N 个数 并对每段作 C 变换 得到 2 p 当 2 i n 2 时 将 Pi分成 2 i段 每段 2i N 个数 并对每段 C 变换 得到 Pi 1 例如 当 N 8 时 P2 x1x5x3x7x2x6x4x8 此时 x7位于 P2中的第 4 个位置 1 当 N 16 时 x7位于 P2中的第 个位置 2 当 N 2 n n 8 时 x 173位于 P4中的第 个位置 答案 1 6 2 4 3 211 n 解析 1 当 N 16 时 012345616 Px x x x x xx 可设为 1 2 3 4 5 6 16 113571524616 Px x x xx x x xx 即为 1 3 5 7 9 2 4 6 8 16 2159133711 152616 Px x x x x x x x x xx 即 1 5 9 13 3 7 11 15 2 6 16 x7位于 P2中的第 6 个位置 2 方法同 1 归纳推理知 x173位于 P4中的第 4 3 211 n 个位置 点评 本题考查在新环境下的创新意识 考查运算能力 考查创造性解决问题的能力 需要在学习中培养自己动脑的习惯 才可顺利解决此类问题 3 2012 高考真题湖北理 13 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数 如 22 121 3443 94249 等 显然 2 位回文数有9 个 11 22 33 99 3 位回文数有90 个 101 111 121 191 202 999 则 4 位回文数有 个 21 nn N位回文数有 个 答案 90 n 109 解析 解析 4 位回文数只用排列前面两位数字 后面数字就可以确定 但是第一位不能为 0 有 9 1 9 种情况 第二位有 10 0 9 种情况 所以 4 位回文数有90109 种 答案 90 法一 由上面多组数据研究发现 2n 1 位回文数和 2n 2 位回文数的个数相同 所以可以算出 2n 2 位回 文数的个数 2n 2 位回文数只用看前 n 1 位的排列情况 第一位不能为 0 有 9 种情况 后面 n 项每项有 10 种情况 所以个数为 n 109 法二 可以看出 2 位数有 9 个回文数 3 位数 90 个回文数 计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的中 间添加成对的 00 11 22 99 因此四位数的回文数有 90 个按此规律推导 而当奇数位时 可 以看成在偶数位的最中间添加 0 9 这十个数 因此 则答案为 n 109 4 数列 n a中 a1 1 Sn表示前 n 项和 且 Sn Sn 1 2S1成等差数列 通过计算 S1 S2 S3 猜想当 n 1 时 Sn B A 1 2 12 n n B 1 2 12 n n C n nn 2 1 D 1 1 2 1 n 5 2011 陕西高考 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第 n 个等式为 解析 每行最左侧数分别为 1 2 3 所以第 n 行最左侧的数为 n 每行数的个数分别为 1 3 5 则第 n 行的个数为 2n 1 所以第 n 行数依次是 n n 1 n 2 3n 2 其和为 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 答案 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 6 2014 榆林模拟 甲 乙 丙 丁 戊 5 名学生进行某种劳动技术比赛决出第 1 名到第 5 名的名次 无并列 甲乙两 名参赛者去询问成绩 回答者对甲说 很遗憾 你和乙都没有得到冠军 对乙说 你当然不是最差的 从这个人的回答中分 析 5 人的名次情况共有 种 A 54 B 48 C 36 D 72 考点 进行简单的合情推理 菁优网版权所 有 专题 应用题 排列组合 分析 甲 乙不是第一名且乙不是最后一名 乙的限制最多 故先排乙 有 3 种情况 再排甲 也有 3 种情况 余下的问 题是三个元素在三个位置全排列 根据分步计数原理得到结果 解答 解 由题意 甲 乙都不是第一名且乙不是最后一名 乙的限制最多 故先排乙 有 3 种情况 再排甲 也有 3 种情况 余下 3 人有 A33种排法 故共有 3 3 A33 54 种不同的情况 故选 A 点评 本题主要考查排列 组合与简单的计数问题 解决此类问题的关键是弄清完成一件事 是分类完成还是分步完成 是有顺序还是没有顺序 像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑 7 2012 肇庆一模 观察如图 可推断出 x 应该填的数字是 A 171 B 183 C 205 D 268 考点 进行简单的合情推理 菁优网版权所 有 专题 图表型 分析 观察图形 得到规律 中间数 外围数的平方和 由此能够求出结果 解答 解 由前两个图形发现 中间数等于四周四个数的平方和 即 12 32 42 62 62 22 42 52 82 109 所以 x 处该填的数字是 32 52 72 102 183 故选 B 点评 本题考查简单的合情推理的应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 8 2011 黄冈模拟 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 B 曼德尔布罗特 Benoit B Mandelbrot 在 20 世纪 70 年代创 立的一门新学科 它的创立 为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路 下图按照的分形规律生长成 一个树形图 则第 10 行的空心圆点的个数是 A 55 B 34 C 21 D 13 考点 进行简单的合情推理 菁优网版权所 有 专题 探究型 分析 可以看到第三行起每一行空心圆点的个数都是前两行空心圆点个数的和 由此可以得到一个递推关系 利用此递推 关系求解即可 解答 解 由题意及图形知不妨构造这样一个数列 an 表示空间心圆点的个数变化规律 令 a1 1 a2 0 n 3 时 an an 1 an 2 本数列中的 n 对应着图形中的第 n 行中空心圆点的个数 由此知 a10即所求 故各行中空心圆点的个数依次为 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 a10 21 即第 10 行中空心圆点的个数是 21 故选 C 点评 本题主要考查了数列的应用 解题的关键构造这样一个数列 an 表示空间心圆点的个数变化规律 令 a1 1 a2 0 n 3 时 an an 1 an 2 属于中档题 9 2008 佛山二模 如图 四条直线互相平行 且相邻两条平行线的距离均为 h 一直正方形的 4 个顶点分别在四条直线 上 则正方形的面积为 A 4h2 B 5h2 C 4 h2 D 5 h2 考 点 进行简单的演绎推理 菁优网版权所 有 分 析 过 D 点作直线 EF 与平行线垂直 与 l1交于点 E 与 l4交于点 F 易证 CDE DAF 得 AF h DF 2h 根据勾股定 理可求 CD2得正方形的面积 解 答 解 作 EF l2 交 l1于 E 点 交 l4于 F 点 l1 l2 l3 l4 EF l2 EF l1 EF l4 即 CED DFA 90 ABCD 为正方形 ADC 90 CDE ADF 90 又 CDE DCE 90 ADF DCE AD CD CDE DAF AF DE h DF 2h AD2 h2 2h 2 5h2 即正方形 ABCD 的面积为 5h2 故选 B 点 评 此题考查正方形的性质和面积计算 根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键 难度中等 10 2014 春 象山县校级月考 设 n 为正整数 f n 1 计算得 f x f 4 2 f 8 f 16 3 观察上述结果 按照上面的规律 可推测 f 128 考点 归纳推理 菁优网版 权所有 专题 推理和证明 分析 已知的式子可化为 f 21 f 22 f 23 由此规律可得 f 2n 结合 128 27 可得答案 解答 解 由 f x f 4 2 f 8 f 16 3 可得 f 21 f 22 f 23 以此类推 可得 f 2n 128 27 f 128 故答案为 点评 本题考查归纳推理 把已知的式子变形找规律是解决问题的关键 属基础题 11 2014 春 周口校级月考 把正整数 1 2 3 4 5 6 按某种规律填入下表 2 6 10 14 1 4 5 8 9 12 13 3 7 11 15 按照这种规律继续填写 2014 出现在第 1 行第 1511 列 考点 归纳推理 菁优网版 权所有 专题 规律型 分析 由已知表格中 数字的填写方式 我们易发现每 4 个数字占三列 并可以进一步分析出数字填写的具体行和列 的变化周期性规律 将 2014 除以周期后 代入填写规则 即可得到答案 解答 解 分析表中数据 发现正整数 1 2 3 4 5 6 每 4 个数分为一组 填写在连续的三列中 第一列的第 2 行填写第一个数 第二列的第 1 行填写第二个数 第二列的第 3 行填写第三个数 第三列的第 1 行填写第四个数 2014 4 503 2 故该组数字前共有 503 组 已经占用了 1509 列 2014 为第 504 组的第 2 个数 出现在该组的第二列的第 1 行 故 2014 出现在第 1 行 第 1511 列 故答案为 1 1511 点评 本题考查的知识点是归纳推理 其中根据已知表格中填写的数字 找出数字填写的周期性规律是解答醒的关键 12 2013 秋 商丘期末 观察下列算式 13 1 23 3 5 33 7 9 11 43 13 15 17 19 若某数 m3按上述规律展开后 发现等式右边含有 2013 这个数 则 m 45 考点 归纳推理 菁优网版 权所有 专题 规律型 分析 可得规律 第 n 行的左边是 n3 右边是 n 个连续奇数的和 设第 n 行的第一个数为 an 累加可得 an 计算可得 a45 1981 a46 2071 可知 2013 在第 45 行 解答 解 由题意可得第 n 行的左边是 n3 右边是 n 个连续奇数的和 设第 n 行的第一个数为 an 则有 a2 a1 3 1 2 a3 a2 7 3 4 an an 1 2 n 1 以上 n 1 个式子相加可得 an a1 故 an n2 n 1 可得 a45 1981 a46 2071 故可知 2013 在第 45 行 故答案为 45 点评 本题考查类比推理 涉及累加法求数列的通项公式 属基础题 13 2014 春 周口校级月考 定义集合 A 与 B 的差集 A B x x A 且 x B 记 从集合 A 中任取一个元素 x x A B 为事件 E 从集合 A 中任取一个元素 x x A B 为事件 F P E 为事件 E 发生的概率 P F 为事件 F 发生 的概率 当 a b Z 且 a 1 b 1 时 设集合 A x Z a x 0 集合 B x Z b x b 给出以下判断 当 a 4 b 2 时 P E P F 总有 P E P F 1 成立 若 P E 1 则 a 2 b 1 P F 不可能等于 1 其中所有正确判断的序号为 考点 进行简单的合情推理 菁优网版权所 有 专题 综合题 推理和证明 分析 根据题意 依次分析 4 个命题 对于 当 a 4 b 2 时 求得集合 A 与集合 B 进而可得 A B 与 A B 1 则可求得 P E F 的值 可以判断正误 对于 根据题意 易得 E 与 F 为对立事件 可以得到 正确 对于 若 P E 1 分析可得 A B 再根据题意 计算当 a 2 b 1 时 集合 A 与 B 判断 A B 是否成立 则可以判断故 正确与否 对于 分析易得 当 b a 时 有 A B 即 A B A 此时 P F 1 故 错误 综合可得答案 解答 解 根据题意 依次分析 4 个命题 对于 当 a 4 b 2 时 集合 A x Z 4 x 0 3 2 1 集合 B x Z 2 x 2 1 0 1 可得 A B 3 2 A B 1 则 P E P F 故 正确 对于 根据题意 E 与 F 为对立事件 则总有 P E P F 1 成立 正确 对于 若 P E 1 由 的结论可得 P F 即集合 A 与 B 无交集 而根据题意 而当 a 2 b 1 时 A 1 0 B 1 0 1 此时 A B 故 错误 对于 分析易得 当 b a 时 有 A B 即 A B A 此时从集合 A 中任取一个元素 x x A B 为必然事 件 即 P F 1 故 错误 故答案为 点评 本题考查等可能事件的概率 涉及集合的交 并 补的混合运算 根据题意 分析 A B 的意义 是解题的关 键 14 10 分 已知正数cba 成等差数列 且公差0 d 求证 cba 1 1 1 不可能是等差数列 反证法 15 2012 高考真题福建理 17 本小题满分 13 分 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 1 sin 213 cos217 sin13 cos17 2 sin 215 cos215 sin15 cos15 3 sin 218 cos212 sin18 cos12 4 sin 2 18 cos248 sin 18 cos48 5 sin 2 25 cos255 sin 25 cos55 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 根据 的计算结果 将该同学的发现推广位三角恒等式 并证明你的结论 16 2014 春 临渭区校级期中 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2an n 2 且 a1 1 计算 a2 a3 a4 a5 猜想 an 考点 归纳推理 数列的求和 菁优网版 权所有 专题 规律型 等差数列与等比数列 分析 利用数列的前 n 项和与第 n 项的关系 得到关于数列的递推关系式 即可求得此数列的前几项 分析 an的值随 n 值变化的规律 进而可猜想得到 an的通项公式 解答 解 Sn n2an Sn 1 n 1 2an 1 an 1 Sn 1 Sn n 1 2an 1 n2an an 1 an a1 1 a2 a3 a4 a5 由 a1 1 a2 a3 a4 a5 每一项的分子均为 2 分母是 n 与 n 1 的乘积 由此可猜想 an 点评 本题主要考查数列递推式 归纳推理 第 要注意递推公式的灵活运用 第 要注意 an的值随 n 值变化的规律 17 2014 郑州模拟 如图 在正 ABC 中 点 D E 分别在边 AC AB 上 且 AD AC AE AB BD CE 相交于 点 F 求证 A E F D 四点共圆 若正 ABC 的边长为 2 求 A E F D 所在圆的半径 考点 分析法和综合法 菁优网版 权所有 专题 计算题 证明题 分析 I 依题意 可证得 BAD CBE 从而得到 ADB BEC ADF AEF 即可证得 A E F D 四 点共圆 取 AE 的中点 G 连接 GD 可证得 AGD 为正三角形