基于广场喷泉设计的数学模型.pdf

第二届湖北省土木工程争业大学生科技创新论坛论文集2 0 0 9 年6 月 基于广场喷泉设计的数学模型 叶俊 刘丰 张俊峰 武汉大学土木建筑工程学院土木工程 湖北武汉4 3 0 0 7 2 摘要 本文在露天广场上的喷泉射出的水流会受风影响的背景下讨论了喷泉喷出水流的距离和高度与风力强度 水管直径 风速计位置及水滴半径之问的关系 首先从实际喷泉模型中抽象出一个标准形式的喷泉模型 通过建 立的算法来调整水速防止水滴超出限定的范围 关键词 单喷流喷泉 竖直喷射 斜向喷射 1 引言 在宽阔的露天广场上装饰喷泉把水喷向高空 刮风时 风会把水花从喷泉吹向过路行人 在邻近一 栋楼房的顶上安装有一个风速计用于测量风的速 度和方向 与风速计相连的一个机械装置可控制喷 泉射出的水流 为行人在赏心悦目的景象和淋水浸 湿之间提供可以接受的平衡 即 风刮得越猛 水 量和喷射高度就越低 从而较少的水花落在水池范 围以外 要求运用风速计给出的数据设计一个算 法 随着风力条件的变化来调整由喷泉射出的水 流 2 模型建立 考虑到水在空气中运动情况 将其运动的过程 分为上升和下降两个阶段 在上升阶段 由于高处的 水柱速度小且其重力对下面部分的水柱有影响 水 的粘滞力足以使水结合在一起 故水一直呈柱状 在最高点处 竖向速度变为0 水开始向下运动 经过一小段距离后 由于水滴之间的粘滞力不足以 将水柱约束成一个整体 在重力的作用下 水柱迅 速地变为水花 假设每个水滴的大小都是一样的 于是 在下降阶段 认为是水滴的运动过程 实际 上 水在从管口喷出来时 一方面要受管壁粘滞阻 力的作用 另一方面要受到空气卷积的作用 这样 不可避免地会形成水花 由于水花较少 忽略这一 部分的影响 另外 水柱在向下运动而形成小水滴 经过的这部分距离由于很小 因此也忽略不计 即 认为水柱到达最高点后就全部成了水滴 因此 在 下降阶段 可以仅考虑一个水滴的运动情况 2 1 竖直喷射 此时的喷泉模拟图如图l 所示 图1 喷泉模拟图 1 上升阶段 在上升阶段 由于水柱重力的影响远远比空气 阻力大 因此不考虑空气阻力而仅仅考虑重力和风 力的作用 现给出流体力学中的一个公式 流体 型阻力计算公式 根据流体力学理论 空气作为一种特殊的流 体 运动在其中的物体所受的粘滞力满足如下普遍 公式 1 D 寺白风 1 2 彳 Z 其中 D 表示物体所受的粘滞力 C d 为型阻 系数 一般取为0 2 8 0 3 4 风为空气的密度 一 般情况下取1 2 9 k g m 3 表示运动的物体相对于 空气的速度 A 表示物体运动时在风的方向上的投 影面积 卜 斗 风力 叶 o 图2 水柱 元受力图 作者简介 张俊 男 本科生 武汉大学土木建筑学院土木工程专业 通信联系人 傅旭东 1 9 6 6 一 男 教授 垮士生导师 武汉大学土木工程建筑学院土木工程专业 2 0 0 9 年6 月第二届湖北省土木工程专业大学生科技创新论坛论文集4 5 现截取水柱的一个长为d 微元作为研究对 象 设水在水平方向上任意时刻的加速度为a 在水平方向上任意时刻的速度为1 微单元的质 量为 l l 迎风的面积为彳 在竖直方向上由于忽 略了空气阻力的作用 仅有重力起作用 于是设水 出管时的初速度为v o 运动到最高点需要的时间为 t 最高点距喷水口为H 最高点水平速度为匕o 重力加速度用g 表示 于是在水平方向上单元体作 变加速运动 在竖直方向上作匀减速运动 其受力 如图2 所示 利用牛顿第二定律 可以得到以下关 系 水平方向上 D j 1c 几 v 叫 2A m a a x 鲁 竖直方向上 f 一 一一 g 2 日 上L 其中 Kl f 0 0 C P w A 1 厂 V o 瓦 石再赢 o 现设水柱在上升阶段水平位移为S l 于是有 岛 J D g 叱 d t 小一石一卜 一场 哆 二 一 2 m l gC P w A n 警2 mg L j 这里 取一般情况下的数据 型阻系数C o 3 g 1 0 州j 2 p 1 0 0 0 k g l m 3 几 1 2 9 k g m 3 由几何关系 又可得到 彳 J 砂 玛 气1 呀铲 砂 将以上数据代入方程 4 中 得到 s 业一4 0 58 d 1 l0 l n 三 兰鱼兰 竺 生 5 d 2 下降阶段 在下降阶段 由于水滴的半径通常很小 为 l m m 2 r a m 之间 空气的阻力相对于重力和风 力均不可忽略 为此取一个水滴作为研究对象 其 受力为重力 风力 空气阻力 设其质量为m 引入符号Z 表示竖直方向上的空气阻力 表示 在竖直方向上任意时刻的速度 a 表示竖直方向上 任意时刻的加速度 在水平方向上由于空气阻力相 对于风力很小 故可以忽略不计 水滴的受力如图 3 所示 风力 o 叶 由型阻公式可得竖直方向上的空气阻力为 t i 1 c p v i A 根据水滴在竖直方向上的受力 运用牛顿第二 定律有 研 口 加 g i 1c 尸 y 2 以 历 d r 矿y研2 口 2 加2 9 i c 尸w 叫 y 以 历2 矿 6 又水滴从上升到的最高点H 开始下落 故 日 r r 翁 联立 6 7 可得 4 6 J J E 十 I 1 k Z 2 0 0 9 H 哮卜I1 麓 m 2 x 1 cP v 一v 1 2 9 舭 r 一 2a t 刘十小水珠 其半往为r 则 t Pz 一 一 z 2 代入 9 式 于 4 z2 巧而i 2 帝 南 3 式和 1 0 式 可得 r 叫p A 一吁 1 nov 弛g b 型l 3 cp t l 3 式巾的t o 由 8 式决定 带八柞个数据并用 m a t l a b 求觯得到 一 笪生 联血 5 和 i2 式 得到水滴运动的最远 距离为 5 B v V o 一4 0 5 8d 5 2 置 是2 1 0 1 n 2 4 6 x l O J S v o v f 13 d 6 1 0 6 v gv 考虑到接近地面的风受到障碍物和地表粗糙 性的影响会减缓风速 在距离地晰5 公里芹右的犬 气层中 风速就不受地球表面障碍物和粗糙性的影 响了 舟十两层之间的空问 风速随着高度的变化 而变化 这种现象被称为垂直风剪切面 风速分布 示意胃如图4 所示 通过海尔曼的潜能公式可以计算不周高度上 的风速 v 其中 h 是喷泉所在位置的高度 v 是h 高度L 的平均M 速 h f 是风向计的高度 v m 是高度 h 处的风向计测樽的平均风速 d 足高度变化指 这样 通过簿尔曼的潜能公式就将侧风仪测得 的楼顶的M 迷转化成了喷泉处的风速 考虑到要保持喷泉的美观性 因此应使喷泉射 出的水流在落在水池范幽内的前提F 雎可能的高 则目标函数为 m a xH 为了使行 不被喷泉淋湿 应谈使喷泉射山的 水流的水托落地的昂远点s 在水池的半径R 以内 闭 此得到约束条件为 S R 综上可以得到竖直喷射情况的口标函数为 l 2 0 0 9 年6 月第二届湖北省土木工程专业大学生科技创新论坛论文集 4 7 m a xH s 1 s 二丛一4 0 5 8 d 1 0 1 2 4 6 x 1 0 巧v o v ll m 一 d 6 x 1 0 巧v v H 笪 3 模型求解和结果分析 对竖直喷射情况的求解 根据前面 1 3 式中S 与v o 的关系可以画出两 者的关系曲线如图5 所示 图5 风速与出口水速的关系 考虑到模型中有水滴半径 水管直径 风速计 高度和风速计测得的风速四个变量 每次取其中一 个变量进行讨论 得到当喷射距离刚好为水池半径 时 不同的变量与喷泉的水流初速和高度之间的关 系 假定喷水池的半径为5 m 则分以下四种情况讨 论当喷射距离达到5 m 时各个量之间的关系 1 取水管直径为变量 得到结果如表一所示 表一水管直径为变量时的结果 水滴半径r m 0 10 0 0 l0 l 水管直径嘶m O 0 1 5O 0 l O0 5 风速计高度 o m 1 01 01 0 风速计测得风速吁o m s 1 01 01 0 喷水池半径R m 555 风速吩 m s 1 0 1 01 0 水流初速度 m s 6 7 1 5 4 l3 7 2 喷泉高度H m 2 2 61 4 70 6 9 喷泉喷射距离s I n 555 从表一可以看出 当水滴半径 风速计高度和 风速计测得的风速一定时 水管直径越大 要达到 5 m 的喷射距离所需的水流的初速度越大 喷泉能达 到的高度越高 2 取水滴半径为变量 得到结果如表二所示 衰二水滴半径为变量时的结果 水滴半径r m 0 l O o o l 50 2 水管直径d m 0 0 1 50 0 1 5O 0 1 5 风速计高度以o m l O1 01 0 风速计测得风速v l o m s 5 5 5 喷水池半径R m 555 风速v l m s 555 水流初速度v o r r 以 1 3 4 31 6 2 4 1 8 5 5 喷泉高度H 9 0 21 3 1 91 7 2 0 喷泉喷射距离S 55 从表二可以看出 当水管直径 风速计高度和 风速计测得的风速一定时 水滴半径越大 要达到 5 m 的喷射距离所需的水流的初速度越大 喷泉能达 到的高度越高 3 取风速计的高度为变量 得到结果如表三 所示 表三风速计的高度为变量时的结果 水滴半径 m O 0 0 1 O 0 0 10 0 0 l 水管直径d m O 0 1 50 0 1 50 0 1 5 风速计高度 o m 1 0 1 5 2 0 风速计测得风速v o m s 1 01 01 0 喷水池半径R m 55 5 风速v m s 1 0 9 4 4 8 2 9 0 7 5 2 水流初速度1 I D m s 6 7 l7 1 17 4 0 喷泉高度H 2 2 62 5 32 7 4 喷泉喷射距离s m 555 从表三可以看出 当水滴半径 水管直径和风 速计测得的风速一定时 风速计高度越高 要达到 1 旦 6一 豫 驴 腿 4 8第二届湖北省土木工程专业大学生科技创新论坛论文集2 0 0 9 年6 月 5 m 的喷射距离所需的水流的初速度越大 喷泉能达 到的高度越高 4 取风速计测得的风速为变量 得到结果如 表四所示 表四风速计测得的风速为变量时的结果 水滴半径如 0 l0 l0 l 水管直径d m O 0 1 5O 0 1 50 0 1 5 风速计高度 o m 1 01 0l O 风速计测得风速v 0 m s 1 053 喷水池半径R m 555 风速吁 m s l O53 水流初速度V o m s 6 7 l1 3 4 42 2 4 0 喷泉高度H m 2 2 69 0 22 5 0 7 喷泉喷射距离S m 555 从表四可以看出 当水滴半径 水管直径和风 速计的高度一定时 风速计高度越大 要达到5 m 的 喷射距离所需的水流的初速度越小 喷泉能达到的 高度越低 根据以上从四个不同的角度对水流初速度的 影响的分析发现所得的结果与所建立的模型一致 4 模型评价与推广 本文在单喷流喷泉的模型上 综合考虑多方面 的因素建立了风力与喷泉受力关系的模型 并分析 讨论了各因素与喷泉水流初速度及喷泉高度之间 的关系 最后根据建立的模型 选取了合理的数据 对其进行验证 结果所得到的结论与所建立的模型 一致 参考文献 王保国 刘淑艳 黄伟光 气体动力学 M 北京 北 京理工大学出版社 2 0 0 5 8 郭烈锦 两相与多相流体动力学 M 西安 西安交通 大学出版社 2 0 0 2 1 2 s a l c h J M 流体流动手册 M 1 北京 中国石化出版社 2 0 0 4 陈懋章 粘性流体动力学基础 M 北京 高等教育出 版社 2 0 0 6 董志勇 射流力学 M 北京 科学出版社 2 0 0 5 李大美 流体力学 M 武汉 武汉大学出版社 2 0 0 4 M a t h e m a t i c a lm o d e lb a s e do nt h ed e s i g no fs q u a r e f o u n t a i n Y EJ u L I UF e n g Z H A N GJ u n f e n g C i v i lE n g i n e e r i n ga n dA r c h i t e c t u r eI n s t i t u t e W u h a nU n i i v e r s i t y W u h a n 躬0 0 7 2 C h i n a A b s t r a c t I nt h i sp a p e r w ed e v i s eaf o u n t a i nc o n t r o la l g o f i t h mt om o n i t o rw i n dc o n d i t i o n sa n de n s u r et h a ta f o u n t a i na tt h et m n t e ro fap l a z af i r e sw a t e rh i g he n o u g ht ob ed a