【志鸿全优设计】七年级数学上册 4.5 最基本的图形——点和线例题与讲解 （新版）华东师大版.doc

4.5最基本的图形点和线1点、线段、射线和直线(1)点点的概念：用削尖的铅笔轻触一张白纸，就在纸上留下了点的直观形象在许多图示上，点常用来表示那些大小尺寸可以忽略的物体例如，在小比例尺地图上，一个城市就常常用一个点来表示许多点的聚集又可以表现不同的图形，例如，报纸上的图片、电视屏幕上的画面，都是由浓淡不同或者色彩各异的点组成的点通常用大写字母来表示下图中的两点分别用“a”，“b”来表示(2)线段线段的概念在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象实际上，线段是无数排成行的点的聚集线段具有两个特征：a.线段是直的；b.线段有两个端点，所以说它是有界的像我们身边的黑板的四边，桌子的四边等都是线段线段的表示方法a一条线段可用它的两个端点的大写字母来表示如图，以a，b为端点的线段，可记作“线段ab”或“线段ba”b一条线段可用一个小写字母来表示如图，线段ab也可记作“线段a”线段的基本性质线段的性质是“两点之间，线段最短”这就是说，所有连结a，b两点的线中，线段ab最短即“两点之间，线段最短”两点的距离连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离注意：在这里，距离指的是具体的“数”，而不是线段这个图形(3)射线射线的概念把线段向一方无限延伸就形成了射线，像手电筒，探照灯所射出的光线都可以近似地看成射线它只有一个端点，向一方无限延伸，是无界的射线的表示方法用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一个点来表示如图中的射线可表示为“射线oa”，表示端点的字母必须写在前面射线的识别a端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图中射线mb，mc，mn都表示同一条射线b端点相同，但延伸方向不相同的射线不是一条射线，如图中射线ab，ac就不是同一条射线c端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线bn，cn的延伸方向一致，但端点不同，所以不是同一条射线(4)直线直线的概念把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线直线的表示方法a可用小写字母表示，如图中的直线可记作“直线a”；b也可用在这条直线上的两个点来表示，如图中的直线可记作“直线ab”或“直线ba”警误区 表示直线时要注意的问题表示直线的两个字母没有顺序性，表示直线时，在字母的前面一定要写上“直线”两字直线的基本性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线(或者说“两点确定一条直线”)直线的性质包含着两层意思：a.存在性：过两点一定有一条直线；b.唯一性：经过这两点的直线是唯一的，不会有两条、三条或更多条因为过一个点可以作出无数条直线，所以不能采用代表一个点的字母来表示直线；而用代表三个点或更多个点的字母来表示又没有必要，故只要用直线上的两个点来表示直线就可以了(5)直线、射线和线段的区别和联系图形表示延伸性端点长度直线直线ab、直线ba或直线l向两方无限延伸无无限射线射线oa由一端向一方无限延伸一个无限线段线段ab、线段ba或线段a不延伸两个可度量破疑点 “三线”的区别和联系延伸和延长是不同的，线段不能延伸，但可以延长，直线和射线能延伸，但是不能延长；直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换；连结ab，指的是画线段ab.【例1】 平面上有任意3个点a，b，c.则一共可以画出多少条直线？以一点为端点且经过另一点的射线可以得到多少条？可以得到多少条线段？分析：射线、线段都是直线的一部分，因而首先必须考虑可以画出多少条直线，由于经过两点有且只有一条直线，所以必须知道3点中每两点组成一组，一共可以组成多少个组另一方面，已知3点的位置是任意的，就是说，这3点的位置是不确定的我们先由其中两点(如a，b)画出一条直线ab，那么c点与直线ab的位置关系就只有两种：点c在直线ab上或点c不在直线ab上，在这两种情况下，所得到直线的条数也是不一样的考虑了直线的条数，在此基础上就可以得到射线和线段的条数解：经过a，b两点可以画一条直线，则点c与直线ab的位置关系有：(1)点c在直线ab上(如图)，显然直线ca，cb与直线ab是同一条直线，因此在这种情况下可以画出一条直线由于a，b，c在同一条直线上，以最左端一点a为端点而经过b点、c点的射线有两条ab、ac，但这两条射线实际上是同一条射线，同样以最右端的一点c为端点的射线cb，ca也是同一条射线，只有以中间一点b为端点的两条射线ba，bc由于延伸方向不同，是不同的两条射线，所以，可以得到4条射线同样，根据线段的定义，如果a，b，c在同一直线上，可以得到3条不同的线段ab，bc，ca.(2)点c不在直线ab上，(如图)根据过两点有且只有一条直线可以画出3条直线：ab，bc，ca.而以a点为端点的射线有4条，其中只有两条分别经过点b，点c，所以，以a为端点的满足条件的射线有两条ab，ac.同理，以点b，以点c为端点的射线也分别有两条满足条件所以一共可以画6条射线：ab，ac，ba，bc，ca，cb.以a，b，c 3点为端点的线段仍然有3条综合上述，给出平面上的任意3点，可以得到一条或3条直线；4条或6条以一点为端点而经过另一点的射线；不论3点的相互位置如何，总可以得到3条线段2.线段的长短比较(1)线段的长短比较方法叠合法比较两条线段ab，cd的长短，可以将它们移到同一条直线上，使一个端点a和c重合，另一个端点b和d落在直线上a和c的同侧，如图，如果点d和b重合，就说线段ab和cd相等，记作abcd；如果点d在线段ab上，就说线段ab大于cd，记作abcd；如果点d在线段ab的延长线上，就说线段ab小于cd，记作abcd.度量法比较线段的大小，也可以先分别度量出每条线段的长度，然后按长度的大小，比较出线段的大小，线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的(2)用圆规作一条线段等于已知线段先作一条射线ab(如图)；用圆规量出已知线段的长度(记作a)，再在射线ab上以a为圆心，截取aca.(3)线段的中点如果一个点把线段分成两条相等的线段，那么这个点就叫做这条线段的中点显然，若点m是线段ab中点(如图)，那么ammbab，ab2am2mb；反之，如果点m在线段ab上，且有ammbab，或ab2am2mb，那么m是线段ab的中点(4)关于线段的计算两条线段长度相等，这两条线段称为相等的线段，记作abcd，平面几何中线段的计算结果仍为一条线段即使不知线段具体的长度也可以作计算例：如图：abbcac，或说：acabbc.若accddb，则ab3ac3cd3bd或acab，adab，abad.【例2】 根据语句画图并计算：作线段ab，在ab的延长线上取点c，使bc2ab，m是ac的中点，若ab40，试求线段bm的长分析：画图是解决本题的关键，这样有利于找出未知线段与已知线段之间的联系，从而达到未知向已知转化的目的本题要求bm的长，注意到bmamab，而ab已知，问题就转化为求am的长了，由m是ac的中点，于是问题转化为求ac的长，而acabbc.解：根据题意，作图如下：因为bc2ab，且ab40，所以bc80，acabbc8040120.又因为m是ac的中点，所以amac12060.所以bmamab604020.析规律 求线段长度的思路求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均已确定，所求问题便可以顺利得解3利用线段解决最小值问题近年来，中考数学的一个热门考点就是“线段和的最值与定值”问题，也是难点之一学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径解题的依据是连结两点的所有连线中线段最短解题时，连接两个点，得到一条线段，这条线段就是所求的最短路径警误区 解决图形问题勿忘表述理由在解题时，往往感觉题目很简单，从而忽略了解题步骤的书写，也有的同学只会作图，不会表述理由【例3】如图所示，直线mn表示一条河流，在河流两旁各有一点a，b表示两块稻田，要在河岸开渠引水灌溉稻田，问在河岸哪个位置开渠使水到两块地的距离最短？分析：连结ab，线段ab交mn于点c，c即为开渠位置解：如图所示，在c点开渠4线段在实践中的应用借助于线段图解题，可以化抽象的语言为具体、形象、直观的图形，小学时我们经常利用线段图解决应用题，现在利用线段的端点的数目，可以解决许多现实生活中的应用题例如求往返于两地之间的某一客车中途有几个停靠站，需要多少种不同的车票，多少种不同的票价等等一般的，如果一条直线上有n个点，这条直线上线段的条数是.在一条直线上(有n个停靠点)行驶的列车，需要的车票票价有种；由于车票分往返两种，所以最多需要n(n1)种不同的车票【例41】 往返于a，b两个城市的客车，中途有三个停靠点(1)该客车有_种不同的票价？(2)该客车上要准备_种车票？解析：根据题意画图表示(1)图中线段有ac，ad，ae，ab，cd，ce，cb，de，db，eb，共有10条，因此有10种不同的票价；(2)同一路段，往返时起点和终点正好相反，所以应准备20种车票答案：(1)10(2)20【例42】 小明乘公共汽车