【志鸿全优设计】高中数学 1.1.3 四种命题间的相互关系目标导学 新人教A版选修11.doc

1.1.3四种命题间的相互关系问题导学一、四种命题的概念与形式活动与探究1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)若a是有理数，则a是无理数；(2)若ab0，则a，b中至少有一个为零；(3)垂直于同一平面的两条直线平行迁移与应用1命题“若，则tan 1”的逆否命题是()a若，则tan 1b若，则tan 1c若tan 1，则d若tan 1，则2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论(3)对于一些关键词语如“至少”“至多”“”“”“都”等的否定要注意改写正确二、四种命题的真假活动与探究2已知下列命题：“若ab，则ac2bc2”的逆命题；“若两个角是对顶角，则这两个角相等”的否命题；“若a1，则函数f(x)在(0，)上为减函数”的逆否命题；“若xy5，则x2且y3”的否命题其中为真命题的是()a bc d迁移与应用1有下列四个命题：“若b2ac，则a，b，c成等比数列”的否命题；“若m2，则直线xy0与直线2xmy10平行”的逆命题；“已知a，b是非零向量，若ab0，则a与b方向相同”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的逆否命题其中为真命题的个数是()a1 b2 c3 d42判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数yax2bxc中，b24ac0，则该二次函数图象与x轴有公共点；(3)在abc中，若ab，则ab(1)判断四种命题的真假，可以通过逻辑证明或举反例进行判断(2)判断四种命题的真假可以利用真假性关系：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，它们同真同假，在只要求判断真假的题目中，可以不一一写出逐个判断，利用等价性判断更为方便简捷三、等价命题的应用活动与探究3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，则a1”的逆否命题的真假迁移与应用设a，b，c为三个人，命题a：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题b：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，进而间接地证明原命题为真命题答案：课前预习导学【预习导引】1结论条件互逆命题逆命题若q，则p条件的否定结论的否定否命题若p，则q结论的否定条件的否定逆否命题若q，则p预习交流1(1)提示：逆命题：若a24，则a2；否命题：若a2，则a24；逆否命题：若a24，则a2(2)提示：可以其实哪一个作为原命题是人为指定的当把逆命题看成原命题时，原命题就是该命题的逆命题，否命题就是逆否命题，逆否命题就是否命题2逆命题否命题逆否命题预习交流2c3(1)相同(2)没有关系预习交流3(1)提示：具有互为逆否关系的两个命题，它们的等价性可以从集合的角度给出恰当的解释，设ax|xp，bx|xq，其中p，q是集合a，b的特征性质若ab，则意味着对于元素x具有性质p必具有性质q，所以可认为ab与“若p，则q”等同，具有同真同假性由venn图易发现有下面结论：ab与(ib)(ia)等价，如图所示，也就说明“若p，则q”与“若q，则p”是等价的(2)提示：c课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：首先分清楚原命题的条件和结论，再写出其逆命题、否命题、逆否命题解：(1)逆命题：若a是无理数，则a是有理数；否命题：若a不是有理数，则a不是无理数；逆否命题：若a不是无理数，则a不是有理数(2)逆命题：若a，b中至少有一个为零，则ab0；否命题：若ab0，则a，b都不为零；逆否命题：若a，b都不为零，则ab0(3)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面迁移与应用1c解析：命题“若，则tan 1”的逆否命题是“若tan 1，则”2解：(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线活动与探究2思路分析：先正确地写出对应的命题，再进行判断，或根据互为逆否命题同真或同假进行判断c解析：逆命题是“若ac2bc2，则ab”，是真命题；否命题是“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，是假命题；易知原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题；“若xy5，则x2且y3”的逆命题为“若x2且y3，则xy5”，易知逆命题为真命题，故否命题为真命题迁移与应用1b解析：易知为真命题；当a(0,1)，b(1,1)时，ab0，但a与b不同向，所以原命题为假命题，故为假命题；中逆否命题为“若x2x60，则x3”，易知为假命题2解：(1)该命题为真命题逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真命题否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真命题逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真命题(2)该命题为假命题当b24ac0时，二次方程ax2bxc0没有实数根，因此二次函数yax2bxc的图象与x轴无公共点逆命题：若二次函数yax2bxc的图象与x轴有公共点，则b24ac0，为假命题否命题：若在二次函数yax2bxc中，b24ac0，则该二次函数图象与x轴没有公共点，为假命题逆否命题：若二次函数yax2bxc的图象与x轴没有公共点，则b24ac0，为假命题(3)该命题为真命题逆命题：在abc中，若ab，则ab，为真命题否命题：在abc中，若ab，则ab，为真命题逆否命题：在abc中，若ab，则ab，为真命题活动与探究3思路分析：解法一：分析已知命题，写出逆否命题，再判断真假；解法二：先判断原命题的真假，再判断逆否命题的真假解法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集真假判断过程如下：抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，(2a1)24(a22)4a7若a1，则4a70抛物线yx2(2a1)xa22与x轴无交点关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集故逆否命题为真命题解法二：先判断原命题的真假a，x为实数，且关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，(2a1)24(a22)0，4a70，得a，从而a1成立原命题为真命题又原命题与其逆否命题等价，逆否命题为真命题迁移与应用解：显然命题a和b的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看由命题a可知，b不是最大时，则a是最小，c最大，即cba；而它的逆否命题也为真，“a不是最小，则b最大”为真，即bac同理由命题b为真可得：acb或bac故由a与b均为真命题，可知bac因此a，b，c三人的年龄的大小顺序是：b最大，a次之，c最小当堂检测1命题“若aba，则abb”的否命题是()a若aba，则abbb若abb，则abac若abb，则abad若aba，则abb答案：a解析：命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”，故a正确2如果命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是()a若p，则q b若p，则qc若q，则p d以上都不对答案：b解析：原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，从而b正确3命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()a若x21，则x1或x1b若1x1，则x21c若x1或x1，则x21d若x1或x1，则x21答案：d解析：改写逆否命题时，注意“”，“且”的否定分别是“”，“或”4若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是_答案：互逆命题解析：设命题p为“若m，则n”，命题q为“若m，则n”，命题r为“若n，则m”q与r是互逆命题5判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假(1)若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数；答案：解：原命题为真命题逆命题：若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数，是真命题否命题：若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数，是真命