【志鸿全优设计】高中数学 1.1.2余弦定理目标导学 新人教A版必修5.doc

1.1.2余弦定理1了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论2能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和_这两边与它们的夹角的余弦的积的_倍图形语言符号语言在abc中，a2b2c22bccos a，b2c2a22accos b，c2_推论在abc中，cos a，cos b，cos c_作用解三角形、判断三角形的形状等(1)余弦定理中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量，即“知三求一”(2)余弦定理适用的题型：已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解(3)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具【做一做1】 在abc中，a4，b4，c30，则c2等于()a3216 b3216c16 d48【做一做2】 在abc中，a2，b5，c6，则cos b等于()a. b. c. d答案：减去两a2b22abcos c【做一做1】 a【做一做2】 acos b.1确定三角形中三个内角的范围剖析：由余弦定理，可得在abc中，cos a.若a为锐角，则cos a0，有b2c2a20，即b2c2a2；若a为直角，则cos a0，有b2c2a20，即b2c2a2；若a为钝角，则cos a0，有b2c2a20，即b2c2a2.由此可得到一个在解选择题和填空题时经常用到的结论：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角为直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角2利用正弦定理、余弦定理求角的区别剖析：如表所示余弦定理正弦定理相同点先求某种三角函数值再求角不同点条件已知三边已知两边一角依据cos a等sin a等求角解方程cos am，a(0，)解方程sin am，a(0，)检验ycos x在(0，)上为减函数，解方程所得的解唯一ysin x在(0，)上先增后减，解方程可能产生增根，需检验题型一 已知两边及夹角，解三角形【例题1】 在abc中，已知a2，b2，c15，解三角形分析：思路一：可先用余弦定理求边c，再用正弦定理求角a.思路二：可先用余弦定理求边c，再用余弦定理的推论求角a.反思：已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)的步骤：方法一：利用余弦定理求出第三边；利用正弦定理求出另外一个角；利用三角形内角和定理求出第三个角方法二：利用余弦定理求出第三边；利用余弦定理的推论求出另外一个角；利用三角形内角和定理求出第三个角此时方法一中通常需要分类讨论，因此建议应用方法二解三角形题型二 已知三边，解三角形【例题2】 在abc中，已知a7，b10，c6，解三角形(精确到1)分析：已知三边求三角，用余弦定理的推论，如用cos a求解反思：已知三边解三角形的步骤：分别用余弦定理的推论求出两个角；用三角形内角和定理求出第三个角题型三 已知两边及一边的对角，解三角形【例题3】 在abc中，已知b3，c3，b30，求边a的长反思：用正弦定理解三角形时要注意解的个数，往往需要讨论边角关系，而用余弦定理求角时，结果是钝角、直角还是锐角从余弦值的正负情况便可以判断出来；如果求边则类似于本题，一般可借助一元二次方程求解，它的正根的个数即是三角形解的个数特别地，已知两边及一边的对角解三角形，往往利用余弦定理建立等量关系，利用方程解决较方便，如本题解法二题型四 判定三角形的形状【例题4】 在abc中，若b2sin2cc2sin2b2bccos bcos c，试判断abc的形状分析：思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系反思：判定三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别依据边角关系判断时，主要有两条途径：利用正弦定理转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用abc这个结论如本题解法一利用余弦定理转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状如本题解法二在两种解法的等式变形中，一般两边不要随意约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解题型五 易错辨析【例题5】 在钝角三角形abc中，a1，b2，ct，且c是最大角，则t的取值范围是_错解：abc是钝角三角形且c是最大角，c90，cos c0.cos c0，a2b2c20，即14t20.t25.又t0，t，即t的取值范围为(，)错因分析：错解忽略了两边之和大于第三边，即abc这个隐含条件，导致t的取值范围变大反思：解题时，容易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，从而使某些字母的取值范围变大答案：【例题1】 解法一：cos 15cos(4530)，sin 15sin(4530).由余弦定理，得c2a2b22abcos c482()84，c.由正弦定理，得sin asin c.又0a180，a30或150.又ba，ba，角a为锐角，a30.b180(ac)135.解法二：cos 15cos(4530)，由余弦定理，得c2a2b22abcos c482()84，c.cos a.又0a180，a30.b180(ac)135.【例题2】 解：cos a0.725，a44.cos c0.807 1，c36.b180(ac)180(4436)100.【例题3】 解法一：(利用正弦定理)由正弦定理，可得sin c.0c180，c60或120.当c60时，则有a180(bc)90，于是a6；当c120时，则有a180(bc)30，于是a3.a6或3.解法二：(利用余弦定理)由余弦定理，得b2a2c22accos b，则32a2(3)22a3cos 30，即a29a180，解得a6或3.【例题4】 解法一：由正弦定理2r(r为abc外接圆的半径)，将原式化为r2sin2bsin2cr2sin bsin ccos bcos c.sin bsin c0，sin bsin ccos bcos c，cos bcos csin bsin c0，即cos(bc)0.bc90，a90.abc为直角三角形解法二：将已知等式变为b2(1cos2c)c2(1cos2b)2bccos bcos c.由余弦定理，得b2c2b22c222bc，即b2c2.整理得b2c2a2.故abc为直角三角形【例题5】 正解：a，b，c是三角形的三边，cab，t123.又abc是钝角三角形，且c是最大角，90c180.cos c0，cos c0，t25.又t0，t.t的取值范围是(，3)1已知abc满足b60，ab3，ac，则bc的长等于()a2 b1 c1或2 d无解2在abc中，bcos aacos b，则abc是()a等边三角形 b等腰三角形c直角三角形 d锐角三角形3在abc中，若ab1，c，则c_.4(201