【志鸿全优设计】高中数学 第一章 集合的基本关系讲解与例题 北师大版必修1.doc

2集合的基本关系1子集(1)子集的概念一般地，对于两个集合a与b，如果集合a中的任何一个元素都是集合b中的元素，即若aa，则ab，我们就说集合a包含于集合b，或集合b包含集合a，记作ab(或ba)，这时我们说集合a是集合b的子集谈重点 如何理解子集的概念(1)从文字的角度来看，集合a是集合b的子集，一定要强调集合a中的任意一个元素都是集合b中的元素，即强调任意性，否则不一定成立例如a1,2,3，b2,3,4,5，集合a中有一个元素“1”不在集合b中，b中元素“4,5”不在集合a中，因此集合a与集合b不具有包含关系，尽管集合b中的元素比集合a中的元素多，但也不能以元素个数的多少来确定包含关系(2)从符号的角度看，“ab”说明“对任意的xa，都有xb”这种符号语言对于证明一个集合是另一个集合的子集，作用十分明显(3)当集合a不包含于集合b(或集合b不包含集合a)时，记作ab(或ba)，用符号可以表示为“存在一个xa，使得xb”“ab”表达的意义有两个方面其一，a，b互不包含，如a2,3，b4,5；其二，a有可能包含b，如a2,3,4,5，b3,4,5(2)子集的图形表示为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为venn图常用的封闭曲线有椭圆、矩形等如，若用a表示我们班所有同学组成的集合，用b表示我们班所有女同学组成的集合，则ba.集合a与b的关系可用venn图表示为：(3)子集的性质根据子集的定义和venn图的表示方法可以得到以下性质：任何一个集合a都是它本身的子集，即aa.规定：空集是任何集合的子集，也就是说，对于任何一个集合a，都有a.对于集合a，b，c，如果ab，bc，则ac，即子集具有传递性，并且这条性质也可以推广到有限多个集合，即：若ab，bc，cd，mn，则an.下面仅对三个集合的情况进行证明证明：设x是集合a中的任一元素，ab，xb.又bc，xc，即可由xa推出xc.ac.【例11】下列命题：(1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的子集；(4)若a，则a；(5)集合ab，就是集合a中的元素都是集合b中的元素，集合b中的元素也都是集合a中的元素其中正确的有()a0个 b1个c2个 d3个解析：(1)错误，因为空集是任何集合的子集，其中“任何集合”包括空集，所以也成立(或由于任何一个集合都是它本身的子集，所以空集的子集是它本身)；(2)错误，如空集只有一个子集，即它本身；(3)正确；(4)错误，由a可知，集合a可以是任何集合，其中包括；(5)错误，ab只能说明集合a中的任何元素都是集合b中的元素，而不能说明集合b中的元素都是集合a中的元素答案：b【例12】已知集合a1,0，集合b0,1，x2，且ab，则实数x的值为_解析：由ab可知，集合a中的任何一个元素都是集合b中的元素，也就是说，集合a中的元素1,0都必须在集合b中，故x21，x3.答案：32集合相等对于两个集合a与b，如果集合a中的任何一个元素都是集合b中的元素，同时集合b中的任何一个元素都是集合a中的元素，这时，我们就说集合a与集合b相等，记作ab.即若ab，又ba，则ab.用venn图可表示为：谈重点 如何理解集合相等的概念(1)所谓集合a与集合b相等，就是集合a，b中的元素完全相同例如，试比较集合ax|x210与集合b1,1的关系由x210可知x1，所以集合a用列举法可表示为a1,1，我们看到集合a与b中都含有两个元素1,1，故ab.(2)集合相等的概念中给出了一种证明集合相等的方法，即欲证ab，只需证ab与ba都成立【例21】下列各组中的两个集合相等的有()px|x2n，nz，qx|x2(n1)，nz；px|x2n1，nn，qx|x2n1，nn；px|x2x0，q.a bc d解析：集合p，q都表示所有偶数组成的集合，有pq；p是由1,3,5，所有正奇数组成的集合，q是由3,5,7，所有大于1的正奇数组成的集合，1q，pq.p0,1，当n为奇数时，当n为偶数时，q0,1，pq.答案：b【例22】已知a1，x,2x，b1，y，y2，若ab，且ab，求实数x和y的值分析：由ab，且ab可知ab，即集合a与b中的元素相同，可根据集合中元素的性质，用分类讨论的方法，通过列方程组求出x，y的值；也可根据两个集合中元素的和与积分别相等来建立方程组两种方法殊途同归，需要注意的是最后都要检验集合中的元素是否具有互异性解：(方法1)由ab，且ab知，ab，由集合相等的概念可得：或解方程组得或或当x0，y0时，a1,0,0，b1,0,0不符合集合中元素的互异性，舍去x2，y2或，.(方法2)由ab，且ab知，ab.集合a与b中元素的和与积分别相等，即解得或或当x0，y0时，a1,0,0，b1,0,0不符合集合中元素的互异性，舍去x2，y2或，.3真子集(1)真子集的概念对于两个集合a与b，如果ab，并且ab，我们就说集合a是集合b的真子集，记作ab(或ba)，读作“集合a真包含于集合b(或集合b真包含集合a)”从符号的角度来看，则为对任意的xa，都有xb，但存在x0b，使得x0a.例如：已知集合aa，b，集合ba，b，c，d，试判断集合a，b的关系显然ab，又因为b中存在一个元素c，使ca，所以ab.(2)真子集的venn图表示如果集合a是集合b的真子集，则用venn图表示这两个集合的关系为：即把表示a的区域画在表示b的区域内，但区域a不能与b重合(3)真子集的性质根据真子集的定义和venn图的表示方法可以得到以下性质：任何一个集合a都不是其自身的真子集规定：空集是任何非空集合的真子集，即若集合a，则a.对于集合a，b，c，如果ab，bc，则ac，即真子集具有传递性这条性质可以推广到有限多个集合，即若ab，bc，cd，mn，则an.下面仅对三个集合的情况进行证明证明：设x是集合a中的任一元素，ab，xb，且b中至少有一个元素a，使得aa，又bc，xc，ac，且c中至少存在一个元素b，使得bb，xc，且c中至少有两个元素a，b，使得aa，ba，ac.【例3】设集合a2,8，a，b2，a23a4，且ab，则a的值为_解析：因为ab，所以集合b中的元素都在集合a中，对照两个集合中的元素可得a23a48或a23a4a.由a23a48，得a4或a1；由a23a4a，得a2.经检验：当a2时，集合a，b中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为1或4.答案：1或4警误区 不可忽视元素的互异性此题易错点是忘记对a的值进行检验，忽视集合中元素的互异性4元素与集合、集合与集合之间关系的判断(1)元素与集合的关系是属于与不属于的关系；集合与集合之间的关系是包含与不包含的关系，在包含关系中又分真包含、相等两种情况(2)符号“”和“”的区别：符号“”只能适用于元素与集合之间，符号“”的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如1z，r；符号“”只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如11,0，x|x2x|x3析规律 如何判断两个集合间的基本关系判断两个集合间的关系时，主要是根据这两个集合中元素的特征，结合有关定义来判断对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可知道它们之间的关系；对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明【例41】在以下六个写法中：00,1；0；0,1，11,0,1；0；z全体整数；(0,0)0，错误写法的个数是()a3b4c5d6解析：中是两个集合的关系，不能用“”；表示空集，空集中无任何元素，所以应是0；集合符号“”本身就表示全体之意，故此“全体”不应写；等式左边集合的元素是平面直角坐标系的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等只有和正确，因为空集是任何非空集合的真子集，任何集合都是其本身的子集答案：b【例42】判断下列集合之间的关系：(1)a三角形，b等腰三角形，c等边三角形；(2)ax|x2x20，bx|1x2，cx|x244x；(3)ax|1x1010，bx|xt21，tr，cx|2x13；(4)，.分析：给出两个集合a与b，其关系有如下情况：ab，ab，ba，ab，ba，ab，ba.因此判断两集合之间的关系时，要根据集合相等、真子集、子集、互不包含的定义，转化为分析它们所含元素的关系解：(1)等腰三角形、等边三角形是两种特殊的三角形，而等边三角形又是特殊的等腰三角形，abc.(2)a1,2，bx|1x2，c2，cab.(3)ax|1x1010，bx|x1，cx|x1，abc.(4)，而当kz时，2k1是奇数，k2是整数，ab.5集合子集个数的确定(1)当一个集合的元素个数很少时，可以直接写出它的全部子集，从而获取其子集的个数例如：列举集合1,2,3的所有子集在书写时可以按子集元素个数的多少分别写出所有子集(以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象)含有0个元素的子集有：；含有1个元素的子集有：1，2，3；含有2个元素的子集有：1,2，1,3，2,3；含有3个元素的子集有：1,2,3所以集合1,2,3的所有子集的个数为8.(2)当一个集合中元素个数较多时，一一写出它的全部子集不太现实，对于其子集的个数有如下结论：含有n个元素的集合有2n个子集含有n个元素的集合有2n1个真子集含有n个元素的集合有2n1个非空子集含有n个元素的集合有2n2个非空真子集例如：集合a1,2,3中含有3个元素，其子集的个数是238，真子集的个数是2317，非空子集的个数是7，非空真子集的个数是6.解技巧 求有限集合的子集步骤求有限集合的子集，首先明确有限集合的元素的个数，然后再套用相应的公式即可【例51】集合ax|0x3且xn的真子集的个数是()a16 b8 c7 d4解析：集合a用列举法可表示为0,1,2，其含有3个元素，故a的真子集的个数是2317.答案：c【例52】已知非空集合m1,2,3,4,5，且若am，则6am，那么集合m的个数为()a5 b6 c7 d8解析：已知am,6am，且m1,2,3,4,5，又当a1时，6a5m；当a2时，6a4m；当a3时，6a3m；当a4时，6a2m；当a5时，6a1m，非空集合m可能是3，1,5，2,4，1,3,5，2,3,4，1,2,4,5，1,2,3,4,5，共7个答案：c【例53】已知集合m满足1,2m1,2,3,4,5，则集合m的个数是_解析：(方法1)由题意可知，集合m中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5.故可按m中所含元素的个数分类写出集合m.当m中含有两个元素时，m为1,2；当m中含有三个元素时，m为1,2,3，1,2,4，1,2,5；当m中含有四个元素时，m为1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5；当m中含有五个元素时，m为1,2,3,4,5所以满足条件的集合m有1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,2,3,4,5，共8个(方法2)由1,2m1,2,3,4,5知，集合m中一定含有元素1,2，而不一定含有元素3,4,5，所以问题可转化为求集合3,4,5的子集的个数，即238个答案：86已知两集合间的关系求参数的值已知两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，进而转化为解方程或解不等式这类问题常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时，常借助于数轴，利用数形结合来建立变量间的关系需要特别说明的是有关等号能否取到的问题(界点问题)，在解决具体问题时，一方面要注意端点是实心还是空心，另一方面可以将端点值代入检验例如：已知集合ax|1x4，bx|xa若ab，求实数a的取值范围我们可以先把集合a中的元素在数轴上表示出来，再根据两个集合之间的关系确定a，这样就能非常直观地看出实数a的取值范围是a4(如图所示)警误区 忽视空集致错若ba，则可分b或b两种情况进行分类讨论，有时还会涉及对最高次项系数的讨论，对二次函数根的讨论等，在讨论中，b可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，时刻记住空集是任何集合的子集这一性质【例61】已知集合ax|3x4，bx|2m1xm1，且ba，求实数m的取值范围解：由ba，将集合a，b分别表示在数轴上(如图所示)ba，当b时，m12m1，解得m2；当b时，有解得1m2.综上可知，m的取值范围是m|m1【例62】已知集合ax|x22x80，bx|x2axa2120，求满足ba的a值组成的集合分析：若ba，则可分b和b两种情况进行分类讨论，通过解方程或不等式求出参数a的取值范围解：由已知得a2,4，b是关于x的一元二次方程x2axa2120(*)的解集方程(*)的判别式a24(a212)3(a216)(1)若b，则方程(*)没有实数根，即0，3(a216)0，解得a4或a4.此时ba.(2)若b，则b2或4或2,4若b2，则方程(