【志鸿全优设计】高中数学 第三章 对数讲解与例题 北师大版必修1.doc

4对数1对数的概念一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于n，即abn，那么数b叫作以a为底n的对数，记作loganb.其中a叫作对数的底数，n叫作真数logan读作以a为底n的对数谈重点 对数概念的理解(1)式子abn和loganb(a0，a1，n0)的关系对数式loganb是由指数式abn变化得来的，两式是等价的，即abnloganb.两式底数相同，对数式中的真数n就是指数式中的幂的值n，而对数值b是指数式中的幂指数b，对数式与指数式的关系如下表所示式子名称abn指数式abn底数指数幂对数式loganb底数对数真数在指数式abn中，若已知a，n求幂指数b，便是对数运算blogan.因为对任何实数a(a0，a1)，指数函数yax，xr的值域是(0，)，所以对任何正实数n，logan是存在的，并且由于指数函数是单调函数，所以logan是唯一的(2)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(2)24不能写成log(2)42，只有在a0，a1，n0时，才有abnblogan.【例11】将下列指数式写成对数式：(1)2664；(2)(2)1；(3)537；(4)5.73.解：(1)log2646；(2)；(3)log537；(4).【例12】将下列对数式写成指数式：(1)log2164；(2)log3273；(3)6；(4)log0.10.01m.解：(1)2416；(2)3327；(3)x；(4)0.1m0.01.析规律 对数式与指数式互化的依据对数式和指数式互化的主要依据是关系式abn等价于loganb(a0，a1，n0)【例13】求下列对数的值：(1)log327；(2)；(3).解：(1)3327，log3273；(2)，即，；(3)设x，则27x，即(33)x31，33x31，3x1，故.2对数logan的性质根据对数的定义，对数logan(a0，且a1)具有下列性质：(1)零和负数没有对数，即n0：因为对任意xr，总有axn0，所以对数的真数必须为正数；(2)1的对数为零，即loga10：因为a01loga10；(3)底的对数等于1，即logaa1：因为a1alogaa1；(4)对数恒等式：设abn，则blogan，所以abn.要注意对数恒等式的结构特征：幂的底数与对数的底数是相同的、指数中含有对数形式、值为对数的真数【例21】若log(x1)(x1)1，则x的取值范围是()ax1 bx1cx2 dx1且x2解析：因为在对数式loganb中规定a0且a1，n0，所以，由log(x1)(x1)1得即所以x1且x2.答案：d【例22】若log2 011(x21)0，则x_.解析：因为1的对数为0，即loga10(a0，a1)，所以x211，故x.答案：【例23】已知log2(log3(log4x)log3(log4(log2y)0，求xy的值解：log2(log3(log4x)0，log3(log4x)1，log4x3，x4364.log3(log4(log2y)0，log4(log2y)1，log2y4，y2416.xy641680.3常用对数和自然对数通常将以10为底的对数叫作常用对数，n的常用对数log10n简记作lg n.e是一个重要的常数，是无理数，它的近似值为2.718 28.科学技术中常以e作为对数的底数，以e为底的对数称为自然对数n的自然对数logen简记作ln n.在常用对数中，我们省去了底数不写，如：lg 10log10101，lg 3log103.同样，以e为底的对数也省去了底数不写，但符号“log”应写成“ln”，不要写成“lg”自然对数与常用对数的关系：ln n2.302 6lg n.常用对数和自然对数是特殊的也是生活实践中常用到的对数求一个正实数的常用对数或自然对数，可通过查对数表或使用计算器求解常用对数与自然对数在数学计算和科学技术中经常用到，请大家熟记【例3】有以下四个结论：lg(lg 10)0；lg(ln e)0；若eln x，则xe2；ln(lg 1)0.其中正确的是()a bc d解析：可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化，对各结论进行判断由于1的对数等于0，底数的对数等于1，所以可判断均正确；中应得到xee，故错误；中由于lg 10，而0没有对数，所以此式不成立综上可知，正确的结论是，故选a.答案：a4对数的运算性质性质符号语言文字语言积的对数loga(mn)logamlogan(a0，a1，m0，n0)两个正数积的对数等于同一底数的两个正数对数的和幂的对数logamnnlogam(a0，a1，m0，nr)正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数商的对数logamlogan(a0，a1，m0，n0)两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数谈重点 对数运算性质的理解1在使用对数的运算性质时，应注意各个字母的取值范围：a0，a1，m0，n0，尤其是m，n都是正数这一条件，否则m，n中有一个小于或等于0，就导致logam或logan无意义，另外还要注意m0，n0与mn0并不等价例如lg(2)(3)存在，但lg(2)，lg(3)不存在，lg(10)2存在，而2lg(10)不存在等，因此不能得出lg(2)(3)lg(2)lg(3)，lg(10)22lg(10)2运用对数的运算性质，可进行对数式的化简求值问题，但要防止出现下面的错误：loga(mn)logamlogan；loga(mn)logamlogan；loga(mn)logamlogan；logamn(logam)n(其中a0，a1，m0，n0，nr)3对数的运算性质loga(mn)logamlogan(a0，a1，m0，n0)可推广为loga(n1n2nm)logan1logan2loganm(a0，a1，ni0，i1，2，m)4对数的运算性质都可以由指数幂的运算性质推出下面根据指数幂的运算性质来证明对数的运算性质(1)loga(mn)logamlogan(a0，a1，m0，n0)证明：设logamp，loganq，则由对数定义，得apm，aqn.由指数的运算性质，得mnapaqapq，loga(mn)pq，即loga(mn)logamlogan.(2)logamnnlogam(a0，a1，m0，nr)证明：设logamp，则由对数定义，得apm.由指数的运算性质，得mn(ap)nanp.logamnnp，即logamnnlogam.(3)logamlogan(a0，a1，m0，n0)证明：设logamp，loganq，由对数定义，得apm，aqn.由指数的运算性质，得apaqapq.pq，即logamlogan.5对数的运算性质记忆口诀：积的对数变加法，商的对数变减法，幂的乘方取对数，要把指数提到前【例41】下列各等式中，正确运用对数运算性质的是()a(lg x)2lg yb(lg x)2lg y2lg zc2lg xlg y2lg zd2lg xlg y解析：lg x2lg y2lg xlg y2lg xlg y.答案：d【例42】化简：_.解析：由于对数与的底数相同，所以要求两者的和可逆用对数的运算性质loga(mn)logamlogan(a0，a1，m0，n0)故.答案：【例43】已知alog32，那么log382log36用a表示是()a5a2 ba2c3a(1a)2 d3aa21解析：要把式子log382log36用a表示，只需将其化为关于log32的形式因为log382log36log3232log3(23)3log322(log32log33)3log322log322log33log322，所以log382log36用a可表示为a2.答案：b析规律 对数运算性质的功能对数的运算性质是化简对数式的主要依据，利用性质(2)logamnnlogam(nr)可将能写为幂形式的真数的对数化简，性质(1)loga(mn)logamlogan和性质(3)logamlogan能把同底的对数进行合并5换底公式对数换底公式为：证明：设xlogbn，根据对数定义，有nbx.根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以a为底的对数，得loganlogabx，而logabxxlogab，所以loganxlogab.由于b1，则logab0，解出x，得x，因为xlogbn，所以logbn.由换底公式容易得到logba.破疑点 换底公式的作用(1)数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，这样只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数因此必须用换底公式将以任意不等于1的正数作为底数的对数，转换为常用对数或自然对数再者，计算器或计算机上能够计算的对数都是常用对数或自然对数，这就更有必要学习换底公式由换底公式可知logab或logab，利用计算器中的“log”键或“ln”键就可算出logab的值(2)应用换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简【例51】计算：的值为()a b c2 d3解析：可利用换底公式将不同底数的对数式化成同底数的对数式，再利用对数的运算性质计算.，或.答案：a【例52】若2a5b10，则_.解析：根据2a5b10，可将指数式化成对数式得到alog210，blog510，于是lg 2lg 5lg(25)lg 101.答案：16利用对数的运算性质化简、求值(1)同底的对数的化简常用方法先“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；再“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)前者是对数的运算性质loga(mn)logamlogan和logamlogan(a0，a1，m0，n0)的逆用，后者是两运算性质的正用对于系数不等于1的对数式，常逆用对数的运算性质logamnnlogam(a0，a1，m0，nr)将其系数化为1.例如，log212log242log212.(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5lg 21”来解题例如，(lg 2)2(lg 5)22lg 2lg 5(lg 2lg 5)2lg(25)2(lg 10)2121.(3)对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值例如，log6log4(log381)log6log4(log334)log6(log44)log610.(4)在计算真数是“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”例如，.【例6】计算下列各式的值(1)；(2)2log510log50.25；(2)2log32log38；(4)2lg 5lg 8lg 5lg 20lg22；(5)log2(log216)解：(1)lg 101；(2)2log510log50.25log5102log50.25log5(1020.25)log525log5522log55212；(3)2log32log382log32(log332log39)log32332log32log325log3323log3232log325log3223log3231；(4)2lg 5lg 8lg 5lg 20lg222lg 5lg 23lg 5lg(225)lg222lg 53lg 2lg 5(2lg 2lg 5)lg222lg 52lg 22lg 5lg 2lg25lg222(lg 5lg 2)(lg252lg 5lg 2lg22)2lg(52)(lg 5lg 2)22lg 10lg21021123；(5)log2(log216)log2(log224)log2(4log22)log24log2222log22212.解技巧 对数运算性质的正用和逆用利用对数的运算性质化简、求值时，既要会正用性质，又要会逆用性质一方面是将式子中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一方面就是将式子中的对数的和、差、积、商运用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值7解对数方程未知数在对数的底数或真数的位置上的方程称为对数方程，常见的有以下两种情形(1)形如关于x的方程loga(kxm)b或log(kxm)nb的形式，通常将其化为指数式来解例如，解方程log64x.根据对数的定义，可得.又由指数的运算性质知，.又如，解方程logx42.根据对数的定义，得x24，易知x2.(2)形如关于x的方程klogxmlogaxb0的形式，通常利用换元法转化为一元二次方程来解注意解对数方程要验根例如，解方程lg2xlg x230.此方程可化为lg2x2lg x30.设lg xt，则有t22t30，解得t1或t3，即lg x1或lg x3，所以x或x1 000，经检验，它们均符合题意故原方程的根为x或x1 000.【例71】方程lg xlg(x3)1的解为x等于()a5或2 b5c2 d无解解析：由lg xlg(x3)1，得lgx(x3)1，所以解得x5.答案：b警误区 变形要注意等价性将lg xlg(x3)化为lgx(x3)实质上是非等价变形，因为lg xlg(x3)中只允许而lgx(x3)中允许或若忽略这一点，将扩大定义域，从而产生增根【例72】方程log3(x1)log9(x5)的解是_解析：对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法，利用换底公式可得log9(x5)，所以，方程log3(x1)log9(x5)可化为log3(x1)，即2log3(x1)log3(x5)，log3(x1)2log3(x5)所以(x1)2x5，即x23x40，解得x1或x4.将x1，x4分别代入方程检验知：x1不合题意，舍去因此，原方程的解是x4.答案：x48对数运算的实际应用在日常生活实际中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题解有关对数应用问题的步骤是：审清题意，弄清各数据的含义；恰当地设未知数，建立数学模型，即已知axn(a，n是常数，且a0，a1)，求x；利用换底公式借助于计算器来解决数学模型；还原为实际问题，归纳结论例如，光线每通过一块玻璃板，其强度要减少10%，至少要把几块这样的玻璃板重叠起来，才能使通过它们的光线强度在原强度的以下？(lg 30.477 1)我们可设光线没有通过任何玻璃板时的强度为1，通过x块玻璃板后其强度为y.则光线强度关于玻璃板块数的关系式为(110%)x，即0.9x.所以xlog0.910.4，即至少要把11块这样的玻璃板重叠起来【例81】经科学研究