【志鸿全优设计】高中数学 第三章3.2.1 对数及其运算讲解与例题 新人教B版必修1.doc

3.2.1对数及其运算1对数的概念在指数函数yax(a0，且a1)中，对于实数集r内的每一个值x，在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值y，在r内都有唯一确定的值x和它对应因此，在式子yax中，幂指数x又叫做以a为底y的对数例如：因为4216，所以2是以4为底16的对数；因为414，所以1是以4为底4的对数；因为，所以是以4为底的对数一般地，对于指数式abn，我们把“以a为底n的对数b”记作logan，即blogan(a0，且a1)其中，数a叫做对数的底数，n叫做真数，读作“b等于以a为底n的对数”对数的定义可以从以下三个方面来理解：(1)对数式blogan是指数式nab的另一种表达形式，其本质相同对数式中的真数n就是指数式中的幂值n，而对数式中的对数b就是指数式中的指数b，对数式与指数式中各个量的关系如图所示(2)对于对数式blogan，只有在a0，且a1，n0时才有意义当a0，n为某些数值时，b不存在，如(2)x3没有实数解，所以log(2)3不存在，为此，规定a不能小于0，并且由指数函数的定义也可知a不能小于0.当a0，且n0时，logan不存在，为此，规定a0.当a1，且n不为1时，b不存在，如log12不存在；而a1，n1时，b可以为任何实数，不能确定为此，规定a1.在loganb中，必须n0.这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而在abn中，n总是正数；0和负数没有对数(3)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：式子名称abn指数式abn底数指数幂值对数式blogan底数对数真数【例11】已知3m7，则有()a3log7m b7log3mcmlog73 dmlog37解析：由于axnxlogan，则3m7mlog37.答案：d【例12】完成下表指数式与对数式的转换题号指数式对数式(1)1031 000(2)log392(3)log210x解析：(1)1031 000log101 0003；(2)log392329；(3)log210x2x10.答案：(1)log101 0003；(2)329；(3)2x10.【例13】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)0；(2)logx27；(3)xlog84.解：(1)log2(log5x)0，log5x1.x515.(2)logx27，27.x3481.(3)xlog84，8x4.23x22.3x2，即.2对数恒等式与对数的性质(1)根据对数的定义，可得对数恒等式.例如等需注意，当幂的底数和对数的底数相同时，对数恒等式才适用(2)根据对数的定义，对数logan(a0，且a1)具有下列性质：零和负数没有对数，即n0；1的对数为0，即loga10；底的对数等于1，即logaa1.【例2】已知log7log3(log2x)0，那么等于()a b c d解析：由log7log3(log2x)0，得log3(log2x)1，log2x3，x238.答案：c3常用对数与自然对数(1)以10为底的对数叫做常用对数为了简便，通常把底数10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10n记作lg n.以后如果没有特别指出对数的底，都是指常用对数例如：100的对数是2，就是指100的常用对数是2，即lg 1002.常用对数的性质：()lg 10；()lg 101；()10lg nn(n0)(2)以e为底的对数叫做自然对数(其中e2.718 28)logen通常记作ln n.自然对数有如下性质：ln e1；eln aa(a0)【例3】有以下四个结论：lg(lg 10)0；ln(ln e)0；若10lg x，则x10；若eln x，则xe2.其中正确的是()a b c d答案：c4对数的运算法则如果a0，且a1，m0，n0，那么：(1)loga(mn)logamlogan.对于(1)，又可表述为：正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和(简言之：积的对数等于对数的和)此性质可以推广到若干个正因数的积：loga(n1n2nk)logan1logan2logank.(2)logamlogan.对于(2)，又可表述为：两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数(简言之：商的对数等于对数的差)(3)logamlogam.对于(3)，又可表述为：正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数由(3)可推出对数的几个常用结论：logalogam；logalogam；logalogam，其中m0，n，pn，n，p1.谈重点 牢记对数运算法则及其成立的条件1要把握好对数运算法则及其成立的条件，特别是经常将对数的加减乘除与真数的加减乘除混淆注意：loga(mn)(logam)(logan)；loga(mn)logamlogan；loga.2指数与对数运算性质对比表：指数对数性质amanamnloga(mn)logamloganamnlogalogamlogan(am)namnlogamnnlogam3对数运算法则口诀：积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前【例41】计算：(1)2log122log123；(2)lg 500lg 5.解：(1)原式log1222log123log124log123log12121.(2)原式lg 100lg 1022lg 102.【例42】已知lg 20.301 0，lg 30.477 1，求.分析：可以将转化为只含有lg 2和lg 3的形式解：lg(59)(lg 5lg 9)(1lg 22lg 3)，又lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg(10.301 020.477 1)0.826 6.点技巧 巧用常用对数的变形由于lg 2lg 5lg 101，所以lg 51lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论5换底公式(1)设logbnx，则bxn.两边取以a为底的对数，得logabxlogan，得xlogablogan，所以x，即logbn.即换底公式：logbn.(2)公式作用：利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，这是解决关于对数运算问题的基本思想方法【例51】的值是()a bc1 d2解析：思路一：将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即.思路二：将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即.答案：a【例52】计算.解：原式12.6对数定义中的隐含条件根据对数的定义，对数符号logan中实数a和n满足的条件是底数a是不等于1的正实数，真数n是正实数因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件【例6】已知对数log(1a)(a2)有意义，则实数a的取值范围是_解析：根据对数的定义，得解得2a0或0a1.答案：(2,0)(0,1)7对数的化简、求值问题(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差如log3log35log39log35log35log392.二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数如，log3log35log3log392.三是“拆”与“收”相结合(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式通常是先分别换底，化简后再将底数统一进行计算也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如lg 2lg 51，logablogba1等【例7】求下列各式的值：(1)；(2)2log32log38log5125；(3)log2(1)log2(1)分析：根据各个式子的特点，综合运用积、商、幂的对数公式变形求解解：(1)原式.(2)原式2log32(log325log332)log323log5532log32(5log322)3log3232log325log3223log3231.(3)log2(1)log2(1)log2(1)(1)log2(1)2()2.点技巧 对数运算法则的灵活运用利用对数运算法则计算时，通常要将底数、真数进行质因数分解，将不同底数化为同底数，在计算过程中常常会逆用运算法则8利用已知对数表示其他对数用对数logax和logby等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b.解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式对数的运算性质总结：如果a0，且a1，m0，n0，那么：loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam(nr)换底公式：logbn(a0，且a1；b0，且b1；n0)【例81】已知lg 2a，lg 3b，则log36()abcd解析：由换底公式得.答案：b【例82】已知log189a,18b5，求log3645.(用a，b表示)解：18b5，blog185.点技巧 巧用换底公式巧用换底公式是解决本题的关键，其中“log182log181log1891a”是点睛之笔9与对数有关的方程的求解问题关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x的方程logaf(x)b，通常将其化为指数式f(x)ab，这样解关于x的方程f(x)ab即可，最后要注意验根例如：解方程log64，将其化为指数式为，又，则x，所以x1，经检验x1是原方程的根第二类是形如关于x的方程logf(x)nb，通常将其化为指数式f(x)bn，这样解关于x的方程f(x)bn即可，最后要注意验根例如，解方程log(1x)42，将其化为指数式为(1x)24，解得x3或x1，经检验x3是增根，原方程的根是x1.第三类是形如关于x的方程f(logax)0，通常利用换元法，设logaxt，转化为解方程f(t)0得tp的值，再解方程logaxp，化为指数式则xap，最后要注意验根【例91】解方程lg 2xlg x230.分析：利用换元法，转化为解一元二次方程解：原方程可化为lg2x2lg x30.设lg xt，则有t22t30，解得t1或t3，lg x1或3，解得或x1 000，经检验，x1 000均符合题