【志鸿全优设计】高中数学 第三章3.1 变化率与导数讲解与例题 新人教A版选修11.doc

1 3 13 1 变化率与导数变化率与导数 问题导学问题导学 一 求平均变化率 活动与探究 1 已知函数f x x2 2x 5 的图象上的一点a 1 6 及邻近一点 b 1 x 6 y 则 y x 迁移与应用 1 已知函数y f x x2 1 当x 2 x 0 1 时 y的值为 a 0 40 b 0 41 c 0 43 d 0 44 2 求函数y x2在x 1 2 3 附近的平均变化率 取 x都为 哪一点附近的平均变 1 3 化率最大 1 求函数的平均变化率通常分两步 作差 先求出 y f x2 f x1 和 x x2 x1 作商 对所求的差作商得 y x f x2 f x1 x2 x1 2 求函数的平均变化率时应注意 求函数平均变化率时 注意 x y两者都可正 可负 但 x的值不能为零 y的值可以为零 若函数y f x 为常数函数 则 y 0 求点x0附近的平均变化率 可用的形式求解 f x0 x f x0 x 二 导数概念的理解与运用 活动与探究 2 求函数f x 3x 在x 1 处的导数 2 x 迁移与应用 1 设函数f x 在x0处可导 则 lim x 0 f x0 x f x0 x a f x0 b f x0 c f x0 d f x0 2 求函数y f x 在x 1 处的导数 x 1 求函数在某点处的导数常有两种方法 方法一是定义法 直接按照定义求解 方 法二是导函数的函数值法 即先求导函数再求导函数的函数值 习惯上常用导数定义法 2 由导数定义 求函数在某点处的导数的步骤是 求函数的增量 y f x0 x f x0 求平均变化率 y x f x0 x f x0 x 取极限 得导数f x0 lim x 0 y x 三 导数的几何意义与物理意义 活动与探究 3 1 已知曲线f x x2 2x的一条切线斜率是 4 则切点的横坐标为 1 2 a 2 b 1 c 1 d 2 2 若曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则 a a 1 b 1 b a 1 b 1 c a 1 b 1 d a 1 b 1 2 迁移与应用 1 质点运动规律s t2 3t 其中位移单位 m 时间单位 s 那么该物体在 2 s 时 的瞬时速度是 a 5 m s b 6 m s c 7 m s d 8 m s 2 曲线y x3在点 1 1 处的切线方程为 1 因为 在某点处 和 过某点的 切线方程求法不同 所以解答这类问题需判断点 是否在曲线上 2 求曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程的步骤 求出函数y f x 在点x0处的导数f x0 即为切线的斜率 根据直线的点斜式方程 得切线方程为y f x0 f x0 x x0 若曲线y f x 在点p x0 f x0 处的导数f x0 不存在 切线与y轴平行 若 f x0 0 切线与x轴正向夹角为锐角 若f x0 0 切线与x轴正向夹角为钝角 若f x0 0 切线与x轴平行 答案 答案 课前课前 预习导学预习导学 预习导引 1 1 2 斜率 3 平均速度 f x2 f x1 x2 x1 f x2 f x1 x2 x1 预习交流预习交流 1 1 提示 提示 这一说法不正确 从来看 只是f x2 f x1 如f x y x x2在 1 1 上的平均变化率为 0 但f x 的变化情况是先减后增 2 提示 提示 瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋向于 0 时的值 其 作用是刻画函数值在x0点处变化的快慢 3 提示 提示 2 3 4 5 2 1 导数 f x0 或y x x0 lim x 0 y x lim x 0 f x0 x f x0 x 2 lim x 0 y x lim x 0 f x0 x f x0 x lim x 0 f x x f x x 预习交流预习交流 2 1 提示 提示 函数在一点处的导数 就是在该点的函数改变量与自变量的 改变量的比值的极限 它是一个定值 不是变数 导函数 简称 导数 导数f x 是针对某一区间内任意点x而言的 函数f x 在区间 a b 内每一点 都可导 是指对于区间 a b 内的每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数f x0 根据函数的定义 在区间 a b 内就构成了一个新的函数 就是函数f x 的导函数 f x 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导数f x 在x x0处的函数值 即 f x0 f x x x0 2 提示 提示 3 3 1 斜率 k f x0 lim x 0 f x0 x f x0 x 2 s t0 预习交流预习交流 3 3 提示 提示 设函数y f x 的图象如图 ab是过点a x0 f x0 与点 b x0 x f x0 x 的一条割线 此割线的斜率是 y x f x0 x f x0 x 当点b沿曲线趋近于点a时 割线ab绕点a转动 它的极限位置为直线ad 这条直 线ad叫做此曲线在点a处的切线 于是 当 x 0 时 割线ab的斜率无限趋近于过点a 的切线ad的斜率k 即k f x0 lim x 0 f x0 x f x0 x 2 提示 提示 3 课堂课堂 合作探究合作探究 问题导学 活动与探究活动与探究 1 思路分析 思路分析 先求出自变量的变化量 x x2 x1 再求出函数值的变化 量 y f x2 f x1 从而求出平均变化率 x 解析 解析 y f 1 x f 1 1 x 2 2 1 x 5 6 x 2 1 2 1 x 2 x y x 迁移与应用迁移与应用 1 b 解析 解析 y f x x f x f 2 0 1 f 2 2 1 2 1 5 0 41 2 解 解 设函数y x2在x 1 2 3 附近的平均变化率分别为k1 k2 k3 则 k1 f 1 x f 1 x 1 x 2 12 x 2 x x 2 x 2 x k2 f 2 x f 2 x 2 x 2 22 x 4 x x 2 x 4 x k3 f 3 x f 3 x 3 x 2 32 x 6 x x 2 x 6 x 取 x 时 k1 2 k2 4 k3 6 1 3 1 3 7 3 1 3 13 3 1 3 19 3 k1 k2 k3 函数y x2在x 3 附近的平均变化率最大 活动与探究活动与探究 2 思路分析 思路分析 可利用函数在x x0处的导数定义直接求解 也可先求导函 数 再代入求解 解 解 方法一 定义法 y f 1 x f 1 3 1 x 1 2 1 x 2 3 x 3 x 2 1 x 2 x 1 x 3 y x 3 x 2 x 1 x x 2 1 x 5 lim x 0 y x lim x 0 3 2 1 x f 1 5 4 方法二 导函数的函数值法 y f x x f x 3 x x 3x 2 x x 2 x 3 x 3 x 2 x x 2 x 2 x x x x 3 y x 2 x x x f x 3 lim x 0 y x lim x 0 3 2 x x x 2 x2 f 1 3 2 5 迁移与应用迁移与应用 1 c 解析 解析 lim x 0 f x0 x f x0 x f x0 lim x 0 f x0 x f x0 x 2 解 解 y 1 1 x y x 1 x 1 x 1 1 x 1 f 1 lim x 0 1 1 x 1 1 2 1 2 活动与探究活动与探究 3 1 思路分析 思路分析 可先用定义求出f x 再设出切点坐标 x0 y0 最 后利用f x0 4 求出x0 d 解析 解析 y f x x f x x x 2 2 x x 1 2 x2 2x x x x 2 2 x 1 2 1 2 x x 2 y x 1 2 f x x 2 lim x 0 y x 设切点坐标为 x0 y0 则f x0 x0 2 由已知x0 2 4 x0 2 故选 d 2 思路分析 思路分析 利用函数在x 0 处的导函数值是切线斜率及切点 0 b 在切线上求 a b a 解析 解析 由已知点 0 b 是切点 y 0 x 2 a 0 x b b x 2 a x x a y x 0 a y x lim x 0 y x 切线x y 1 0 的斜率为 1 a 1 又切点 0 b 在切线上 b 1 迁移与应用迁移与应用 1 c 解析 解析 s 2 lim t 0 s 2 t s 2 t lim t 0 2 t 2 3 2 t 22 3 2 t t 7 7 lim t 0 t 2 7 t t lim t 0 2 3x y 2 0 解析 解析 x y x 1 x 3 1 x x 3 3 x 3 x 2 x 2 3 3 x 5 切线斜率k y x 1 3 lim x 0 y x 所求切线方程为y 1 3 x 1 即 3x y 2 0 当堂检测当堂检测 1 一物体的运动方程是s 3 t2 则在一小段时间 2 2 1 内相应的平均速度为 a 0 41 b 3 c 4 d 4 1 答案 答案 d 解析 解析 2 32 1344 41 4 4 1 2 1 20 1 v 2 函数在点处的切线方程为 1 y x 1 2 2 a y 4x b y 4x 4 c y 4x 4 d y 2x 4 答案 答案 b 解析 解析 1124 2 11 1212 22 x y xx x 切线斜率 4 12 y xx 1 0 2 lim4 xx y ky x 所求切线方程为y 2 即y 4x 4 1 4 2 x 3 物体自由落体的运动方程为s t gt2 g 9 8 m s2 若 1 2 9 8 m s 那么下列说法中正确的是 0 11 lim t sts v t a 9 8 m s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率 b 9 8 m s 是 1 s 到 1 t s 这段时间内的速率 c 9 8 m s 是物体在t 1 s 这一时刻的速率 d 9 8 m s 是物体从 1 s 到 1 t s 这段时间内的平均速率 答案 答案 c 解析 解析 由于s t gt2 所以由导数的定义可得v t s t 1 2 当t 1 s 时 v 1 9 8 m s 0 11 lim t sts t 所以 9 8 m s 是物体在t 1 s 这一时刻的速率 4 设曲线y ax2在点 1 a 处的切线与直线 2x y 6 0 平行 则a 答案 答案 1 解析 解析 y x 1 2 0 1 lim x ax