【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.3.1 抛物线及其标准方程讲解与例题 新人教A版选修11.doc

2.3.1抛物线及其标准方程问题导学一、求抛物线的标准方程活动与探究1根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(3，1)；(2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点迁移与应用动圆p与定圆a：(x2)2y21外切，且与直线l：x1相切，求动圆圆心p的轨迹方程求抛物线方程的方法：(1)定义法：直接利用定义求解；(2)待定系数法：若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0)二、由抛物线方程求焦点坐标、准线方程活动与探究2已知下列抛物线的方程，分别求其焦点坐标和准线方程：(1)y28x；(2)2x25y0；(3)y2ax(a0)迁移与应用1抛物线y4x2的焦点坐标为()a(1,0) bc d2求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点p(2，4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向注意焦点与准线在原点的两侧，它们与原点的距离均等于一次项系数的绝对值的三、抛物线定义的应用活动与探究3(1)设圆c与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则c的圆心轨迹为()a抛物线 b双曲线c椭圆 d圆(2)设m(x0，y0)为抛物线c：x28y上一点，f为抛物线c的焦点，以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是()a(0,2) b0,2c(2，) d2，)迁移与应用1若抛物线y24x上有一点p到焦点f的距离为5，且点p在直线xy30的上方，则p的坐标为_2抛物线x2ay过点a，则点a到此抛物线焦点的距离为_在解答有关抛物线上任意一点p(x0，y0)到焦点f的距离(常称为焦半径)的问题时，我们有以下结论(p0)：(1)对于抛物线y22px，|pf|x0；(2)对于抛物线y22px，|pf|x0；(3)对于抛物线x22py，|pf|y0；(4)对于抛物线x22py，|pf|y0四、与抛物线有关的最值问题活动与探究4已知抛物线的方程为x28y，f是焦点，点a(2,4)，在此抛物线上求一点p，使|pf|pa|的值最小迁移与应用1已知点p在抛物线y24x上，那么点p到点q(2，1)的距离与点p到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点p的坐标为()a bc(1,2) d(1，2)2已知抛物线y22px(p0)上的一点m到定点a和焦点f的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等答案：课前预习导学【预习导引】1距离相等焦点准线预习交流1(1)提示：轨迹是过定点f且垂直于定直线l的一条直线(2)提示：b2y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y预习交流2(1)提示：以y22px(p0)为例，焦点是，准线方程是x，所以p是焦点到准线的距离(2)提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上；焦点确定，开口方向也随之确定(3)提示：(1,0)x1左课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：(1)点在第三象限，则抛物线的焦点可能在x轴的负半轴上，也可能在y轴的负半轴上，按这两种情况进行讨论；(2)直线与坐标轴的交点有两个，分情况讨论焦点的位置，从而确定抛物线的标准方程解：(1)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p所求抛物线的标准方程为y2x或x29y(2)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所求抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x所求抛物线的标准方程为x212y或y216x迁移与应用1解：如图，设动圆圆心p(x，y)，过点p作pdl于点d，作直线l：x2，过点p作pdl于点d，连接pa设圆a的半径为r，动圆p的半径为r，可知r1圆p与圆a外切，|pa|rrr1又圆p与直线l：x1相切，|pd|pd|dd|r1|pa|pd|，即动点p到定点a与到定直线l距离相等，点p的轨迹是以a为焦点，以l为准线的抛物线设抛物线的方程为y22px(p0)，可知p4，所求的轨迹方程为y28x活动与探究2思路分析：解答本题可先把原方程转化为标准方程，求得参数p，再求焦点坐标和准线方程解：(1)p4，所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是x2(2)2x25y0化为x2y，且抛物线开口向下，p抛物线的焦点坐标为，准线方程是y(3)由于a0，p，抛物线的焦点坐标为，准线方程为x迁移与应用1d解析：原方程化为标准方程为x2y，焦点在y轴上，且p，抛物线的焦点坐标为2解：由已知设抛物线的标准方程是x22py(p0)或y22px(p0)，把p(2，4)代入x22py或y22px得p或p4，故所求的抛物线的标准方程是x2y或y28x当抛物线方程是x2y时，焦点坐标是f，准线方程是y当抛物线方程是y28x时，焦点坐标是f(2,0)，准线方程是x2活动与探究3(1)思路分析：利用圆与圆外切、直线与圆相切的几何条件求轨迹a解析：由题意知动圆圆心c到点(0,3)距离与到定直线y1的距离相等，c的圆心轨迹是抛物线(2)思路分析：利用抛物线的定义将|fm|转化为点m到准线的距离，再利用直线与圆相交的条件求解c解析：由抛物线方程为x28y，得焦点坐标为(0,2)，准线方程为y2，则|fm|等于点m到准线y2的距离，|fm|y02又圆与准线相交，|fm|y024y02迁移与应用1(4,4)解析：设p的坐标为(x0，y0)，抛物线方程为y24x，准线方程为x1|pf|x015x04代入抛物线方程，得y4x016，y04又p在直线xy30的上方，p的坐标为(4,4)2解析：把点a代入抛物线方程得a4，即抛物线方程为x24y，准线方程为y1由抛物线定义，得|af|1活动与探究4思路分析：根据抛物线的定义把|pf|转化为点p到准线的距离，画出图形，通过观察图形，利用“数形结合”的思想即可求出点p的坐标解：(2)284，点a(2,4)在抛物线x28y的内部如图，设抛物线的准线为l，过点p作pql于点q，过点a作abl于点b，由抛物线的定义可知：|pf|pa|pq|pa|aq|ab|，当且仅当p，q，a三点共线时，|pf|pa|取得最小值，即为|ab|a(2,4)，不妨设|pf|pa|的值最小时，点p的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0故使|pf|pa|的值最小的抛物线上的点p的坐标为迁移与应用1a解析：点q(2，1)在抛物线内部，如图所示由抛物线的定义知，抛物线上的点p到点f的距离等于点p到准线x1的距离，过q点作x1的垂线，与抛物线交于k，则k为所求，当y1时，x，p为2解：(1)当点a在抛物线内部时，422p，即p时，|mf|ma|ma|ma|当a，m，a共线时(如图中a，m，a共线时)，(|mf|ma|)min5故5p3，满足3，所以抛物线方程为y26x(2)当点a在抛物线外部或在抛物线上时，422p，即0p时，连接af交抛物线于点m，此时(|ma|mf|)最小，即|af|min5，24225，3p1或p13(舍去)故抛物线方程为y22x综上，抛物线方程为y26x或y22x当堂检测1抛物线y24x的焦点到准线的距离为()a1 b2 c4 d8答案：b解析：由y24x得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1，焦点到准线的距离为22以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()ay216x by212xcy220x dy220x答案：a解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)，则设抛物线的标准方程为y22px(p0)，p8所求方程为y216x3已知动点m(x，y)的坐标满足，则动点m的轨迹是()a椭圆b双曲线c抛物线d以上均不对答案：c解析：设f(2,0)，l：x2，则m到f的距离为，m到直线l：x2的距离为|x2|，又|x2|，所以动点m的轨迹是以f(2,0)为焦点，l：x2为准线的抛物线4设抛物线y28x上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点