【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.2.1 圆的标准方程目标导学 北师大版必修2 .doc

2.1圆的标准方程学习目标重点难点1.记住圆的标准方程，根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径会用待定系数法求圆的基本量a，b，r，从而确定圆的方程2会用点与圆的位置关系解决有关问题3通过圆的标准方程的学习，进一步培养用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想.重点：根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径会用待定系数法求圆的方程难点：根据不同的条件，利用直接法借助几何性质和待定系数法求圆的标准方程疑点：解决与圆有关的实际问题时怎样建立坐标系？1确定圆的条件圆的几何特征是圆上任一点到圆心的距离等于定长，这个定长称为半径，一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来2圆的标准方程(1)已知圆的圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.(2)以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x2y2r2.预习交流1方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆吗？提示：方程(xa)2(yb)2m2不一定表示圆，当m0时，方程表示点(a，b)要使此方程表示圆，需保证m0.圆的标准方程中，r是半径，r0.预习交流2当圆过原点、圆心在x轴或在y轴上时，圆的标准方程分别是什么？提示：条件方程形式过原点(xa)2(yb)2a2b2(a2b20)圆心在x轴上(xa)2y2r2(r0)圆心在y轴上x2(yb)2r2(r0)预习交流3(1)圆(x5)2(y4)218的圆心坐标是_，半径是_(2)圆心为(1,1)，半径为2的圆的标准方程是_(3)圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的标准方程是()ax2y225 bx2y25c(x3)2(y4)225 d(x3)2(y4)225提示：(1)(5，4)(2)(x1)2(y1)24(3)c3点与圆的位置关系设点p到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系drdrdr预习交流4若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？提示：不是，因为从几何意义上讲圆指的是“圆圈”，圆上的点并不含圆心从点与圆的位置关系看，圆心应该在圆内.1直接法求圆的标准方程求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心为(2，2)，且过点(6,3)；(2)过点a(4，5)，b(6，1)且以线段ab为直径；(3)圆心在直线x2上且与y轴交于两点a(0，4)，b(0，2)思路分析：首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程解：(1)由两点间距离公式，得r，所求圆的标准方程为(x2)2(y2)241.(2)圆心即为线段ab的中点，为(1，3)又|ab|2，半径r.所求圆的标准方程为(x1)2(y3)229.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，3)，半径r，圆的方程为(x2)2(y3)25.求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心为(3,4)，半径是；(2)圆心为(8，3)，且经过点p(5,1)；(3)过两点p1(4,7)，p2(2,9)，且以线段p1p2为直径；(4)与圆(x2)2(y3)216同心，且过点p(1,1)；(5)圆心在x轴上的圆c与x轴交于两点a(1,0)，b(5,0)解：(1)圆的标准方程是(x3)2(y4)25.(2)r5，圆的标准方程为(x8)2(y3)225.(3)圆心为(3,8)，半径r|p1p2|，圆的标准方程为(x3)2(y8)22.(4)圆心为(2，3)，半径r5，圆的标准方程为(x2)2(y3)225.(5)圆心为(3,0)，半径r2，圆的标准方程为(x3)2y24.1.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程2求圆的标准方程时常用的几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心；(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心；(3)圆心与切点的连线长为半径；(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h，满足r2d2h2.2待定系数法求圆的标准方程(1)求过点a(6,0)，b(1,5)，且圆心在直线l：2x7y80上的圆的方程；(2)求圆心在直线5x3y8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程思路分析：先设出圆的标准方程，由题设列出关系式，组成方程组，由待定系数法求解解：(1)圆心在直线l：2x7y80上，可设圆心的坐标为，由题意，得，解得a3，圆心的坐标为(3,2)，r2(36)2(20)213，所求圆的标准方程为(x3)2(y2)213.(2)设所求圆方程为(xa)2(yb)2r2.圆与坐标轴相切，圆心满足ab0或ab0.又圆心在直线5x3y8上，5a3b8.解方程组或得或圆心坐标为(4,4)或(1，1)可得半径r|a|4或r|a|1.所求圆的方程为(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.1求圆心在x轴上，且过点a(5,2)和b(3，2)的圆的标准方程解：设圆心坐标为m(a,0)，则|ma|mb|，即，解得a4.所以圆心坐标为(4,0)，半径r|ma|.所以圆的标准方程为(x4)2y25.2求过点a(2，3)，b(2，5)，且圆心在直线x2y30上的圆的方程解：因为圆心在直线x2y30上，故可设圆心为c(2b3，b)，半径为r，则圆的方程为(x2b3)2(yb)2r2.又因为圆过a(2，3)，b(2，5)两点，所以式，左边相等，即10b1030b50，所以b2，所以圆心坐标为(1，2)，r.所以所求圆的方程为(x1)2(y2)210.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为：(1)设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2；(2)根据题意，建立a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值；(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求3点和圆的位置关系(1)圆的直径端点为(2,0)，(2，2)，求此圆的方程，并判断a(5,4)，b(1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内(2)点p(3a2,4a)在圆(x2)2y21的内部，求a的取值范围思路分析：(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断(2)利用点在圆的内部建立不等式求a的取值范围解：(1)由已知得圆心坐标为c(2，1)，半径r1.圆的方程为(x2)2(y1)21.|ac|1，|bc|1，a，b两点都在圆外(2)点p(3a2,4a)在圆(x2)2y21的内部，(3a22)2(4a)21，即25a21，a2.解得a.a的取值范围是.1点p(m2,5)与圆x2y224的位置关系是()a在圆外 b在圆内 c在圆上 d不确定解析：(m2)252m42524，点p(m2,5)在圆外答案：a2求过点p1(3,8)，p2(5,4)且半径最小的圆的方程，并判断点m(5,3)，n(3,4)，p(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外解：|p1p2|2，p1p2的中点坐标为(4,6)依题意，所求圆的圆心为c(4,6)，半径为.所求圆的方程为(x4)2(y6)25.|mc|，|nc|，|pc|，点m在圆外，点n在圆上，点p在圆内点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较大小(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：(x0a)2(y0b)2r2，点在圆外；(x0a)2(y0b)2r2，点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2，点在圆内1圆心为c(1，1)，半径为2的圆的标准方程为()a(x1)2(y1)22b(x1)2(y1)24c(x1)2(y1)22d(x1)2(y1)24答案：d2以点p(2，3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是()a(x2)2(y3)24 b(x2)2(y3)29c(x2)2(y3)24 d(x2)2(y3)29解析：半径r2，圆的方程为(x2)2(y3)24.答案：c3圆x2y21的圆心到直线3x4y250的距离是()a5 b3 c4 d2解析：d5.答案：a4若点(3，)在圆x2y216的外部，则a的取值范围是_解析：由题意知32()216，a7.答案：(7，)5已知圆c与y轴相