【志鸿全优设计】高中数学 第一章1.7.1 定积分在几何中的应用讲解与例题 新人教A版选修22.doc

1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用问题导学一、由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求法活动与探究1已知抛物线y4x2(1)求该抛物线与x轴所围成图形的面积；(2)求该抛物线与直线x0，x3，y0所围成图形的面积迁移与应用1阴影部分的面积是()a2 b2c d2曲线ycos x与坐标轴所围成的面积为_(1)当f(x)在a，b上有正有负时，则平面图形面积s|f(x)|dx(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，此时曲边梯形的面积等于定积分的相反数所以在求曲线与直线所围成图形的面积时应先判断曲线在x轴上方还是下方，否则求出的面积是错误的二、由两条曲线所围成的平面图形的面积的求法活动与探究2(1)求由曲线y2xx2与曲线y2x24x围成图形的面积(2)求由曲线yx22x3与直线yx3所围成图形的面积(3)求由曲线yx2与直线xy2围成的图形的面积(4)求由曲线yex，yex及x1所围成的图形的面积迁移与应用1曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是_2试求由抛物线yx21与直线yx7以及x轴、y轴所围成图形的面积(1)在求平面图形的面积时，如果平面图形的曲边部分由两条不同的曲线构成，则应分两段分别求面积之和相加，这时在相应的两段积分区间上分别用不同的被积函数(2)求由两条曲线所围成的平面图形面积时，一定要画出图形，再求出两曲线的交点坐标，然后结合图形写出面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值即得面积三、与曲边图形有关的综合问题活动与探究3如图，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值迁移与应用1已知函数f(x)x3ax2bx(a，br)的图象如图所示，它与直线y0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为_2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积解决与曲边图形有关的综合问题，关键是要正确分析题意，先分清是求曲边图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定积分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程，进行求解答案：课前预习导学【预习导引】1被积函数积分的上、下限2(1)f(x)dxf(x)dx|f(x)|dxf(x)dxf(x)dx(2)f(x)g(x)dxf(x)dx|g(x)|dxf(x)g(x)dx预习交流提示：(1)根据已知条件作出区域草图；(2)通过图形判断或联立方程组，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)根据图形写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理以及定积分性质计算积分，求出面积课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：画出图形，结合图形分析定积分的积分区间，同时注意面积与积分的关系解：(1)如图(1)，由于抛物线y4x2与x轴相交于(2,0)和(2,0)点，故其与x轴围成图形的面积为s(2)如图(2)，抛物线y4x2与直线x0，x3，y0所围成的图形在x轴上方和下方各一部分，故其面积s(4x2)dx|4x2|dx(4x2)dx(x24)dx迁移与应用1c解析：23解析：由于当0x时，cos x0，x时，cos x0，故图形的面积为sin xsin x3活动与探究2思路分析：作出所求图形的草图，正确划分图形，写出被积函数，结合定积分求解解：(1)由得x10，x22，由图可知，所求图形的面积为s(2xx2)dx(2xx2)dx(2x24x)dx4(2)由解得x10，x23由图可知，所求图形的面积为s(x3)dx(x22x3)dxx3(x22x3)dx(x23x)dx(3)如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组得或即两个交点为(1,1)，(2,4)则所求面积为s(2x)x2dx(4)如图，由解得交点为(0,1)所求面积为s(exex)dx(exex)e2迁移与应用1解析：两曲线方程联立得交点(1,1)，求得两切线方程为xy20,2xy10故所围成图形面积为s(2x1)dx(x2)dx2解：画出图形(如图)解方程组得或(舍去)，即抛物线与直线相交于点(2,5)于是所求面积为s(x21)dx(7x)dx活动与探究3思路分析：先求抛物线yxx2与x轴所围图形的面积，再求ykx与yxx2两交点的横坐标解：抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标分别为x10，x21，抛物线与x轴所围图形的面积为s(xx2)dx又解得两交点的横坐标分别为x10，x21k，(xx2kx)dx(1k)3又s，(1k)3，(1k)3k11迁移与应用13解析：f(x)3x22axb，直线y0在原点处与函数f(x)相切，f(0)0b0f(x)x3ax2x2(xa)，与x轴两交点为(0,0)，(a,0)由图知a0又s阴影f(x)dx(x3ax2)dx|(a0)，a32解：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axbf(x)2x2，a1，b2，f(x)x22xc又方程f(x)0有两个相等实根，即x22xc0有两个相等实根，44c0，即c1，故f(x)x22x1(2)依题意，所求面积s(x22x1)dx当堂检测1曲线yx3与直线yx所围成图形的面积等于()a(xx3)dx b(xx3)dxc(x3x)dx d(xx3)dx答案：b解析：如图，x轴下方与上方的面积相等2由，x1，x2，y0所围成的平面图形的面积为()aln 2 bln 21 c1ln 2 d2ln 2答案：a解析：所求面积为sln xln 23如图，阴影部分的面积为()a9 bc d答案：c解析：由求得两曲线交点为a(2，4)，b(1，1)结合图形可知阴影部分的面积为sx2(x2)dx(x2x2)dx4曲线ysin x与直线，以及x轴所围成图形的面积等于_答案：2解析：结合图形知所求面积s|sin x|dx(sin x)dxsin xdxcos xcos x25如图，函数yx22x1与y1相交形成一个封闭图