【志鸿全优设计】高中数学 第一章1.6.1 垂直关系的判定目标导学 北师大版必修2 .doc

6.1垂直关系的判定学习目标s重点难点1通过实例，掌握直线和直线垂直、直线和平面垂直、平面和平面垂直的定义2掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并会利用定理证明垂直关系3正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的概念，会求简单的二面角的平面角重点：直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义、判定定理及推论难点：直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理在证明题中的应用疑点：二面角的平面角的作法.1直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直(2)直线和平面垂直的判定定理文字叙述：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直符号表示：若a，b，aba，la，lb，则l.图形表示：作用：线线垂直线面垂直预习交流1能够证明直线l与平面垂直的条件是()l与内两条平行直线垂直；l与内两条相交直线垂直；l与内无数条直线垂直；l与内任意两条直线垂直；lm，m；直线m，n确定平面，lm，ln.a b c d提示：c2二面角及其平面角(1)半平面的定义：一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面(2)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面(3)二面角的记法：以直线ab为棱，半平面，为面的二面角，记作二面角ab.(4)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角预习交流2以下命题正确的个数是()一个二面角的平面角只有一个；二面角的棱必垂直于这个二面角的平面角所在的平面；分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的直线所成的角等于二面角的大小a0b1c2d3提示：b3平面与平面垂直的判定(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面和平面垂直的判定定理文字叙述：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直符号表示：.图形表示：作用：线面垂直面面垂直预习交流3如何理解平面和平面垂直的判定定理？提示：(1)本质：证面面垂直证线面垂直(2)关键：寻找其中一个平面的垂线(3)找平面垂线的方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若不存在则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据，并有助于证明，不能随意添加1线面垂直的判定如图，在abc中，abc90，d是ac的中点，s是abc所在平面外一点，且sasbsc.(1)求证：sd平面abc；(2)若abbc，求证：bd平面sac.思路分析：题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，abbc，d是ac的中点，要证(1)需在平面abc内找两条相交直线与sd垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面sac内找两条相交直线与bd垂直，而(1)的结论可利用证明：(1)因为sasc，d是ac的中点，所以sdac.在rtabc中，adbd，由已知sasb，所以adsbds，所以sdbd.又acbdd，所以sd平面abc.(2)因为abbc，d为ac的中点，所以bdac.由(1)知sdbd，因为sdacd，所以bd平面sac.1已知四棱锥pabcd的底面是菱形，且abc60，papc2，pbpd.若o是ac与bd的交点，求证：po平面abcd.证明：papc，pdpb，且o是ac和bd的中点，poac，pobd.又acbdo，po平面abcd.2如图，ab是圆o的直径，c是圆周上异于a，b的任意一点，pa平面abc.(1)图中共有多少个直角三角形？(2)若ahpc，且ah与pc交于h，求证：ah平面pbc.(1)解：由pa平面abc，可得paac，paab，pabc，又由题设知bcac.由bcac，bcpa，paaca得bc平面pac，pc平面pac，bcpc.故图中有4个直角三角形：pac，pab，abc，pcb.(2)证明：由(1)知bc平面pac，ah平面pac，bcah.又ahpc，bcpcc，ah平面pbc.1.利用直线和平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论2利用直线和平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法2面面垂直的判定如图，pa垂直于矩形abcd所在的平面，adpa2，cd2，e，f分别是ab，pd的中点(1)求证：af平面pce；(2)求证：平面pce平面pcd.思路分析：(1)要证af平面pce，只需证明af平行于平面pce内的一条直线即可，取pc的中点g，则该直线为ge.(2)要证明平面pce平面pcd，只需证明ge平面pcd，而由(1)知geaf，故只需证明af平面pcd即可证明：(1)取pc的中点g，连接fg，eg，f为pd的中点，e为ab的中点，fgcd，且fgcd，aecd，且aecd，fgae，且fgae，四边形aegf为平行四边形，afge.ge平面pec，af平面pce，af平面pce.(2)paad2，afpd.pa平面abcd，cd平面abcd，pacd.又adcd，paada，cd平面pad.af平面pad，afcd.pdcdd，af平面pcd，ge平面pcd.ge平面pec，平面pce平面pcd.1如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc90，pa平面abcd，acbde，ad2，ab2，bc6.求证：平面pbd平面pac.证明：pa平面abcd，bd平面abcd，bdpa.又tanabd，tanbac，abd30，bac60，aeb90，即bdac.又paaca，bd平面pac.bd平面pbd，平面pbd平面pac.2如图，棱柱abca1b1c1的侧面bcc1b1是菱形，b1ca1b，求证：平面ab1c平面a1bc1.证明：因为侧面bcc1b1是菱形，所以b1cbc1.又b1ca1b，且a1bbc1b，所以b1c平面a1bc1.又b1c平面ab1c，所以平面ab1c平面a1bc1.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，关键是先证线面垂直，再证线在另一个平面内，最终得到面面垂直具体方法是：线线垂直线面垂直面面垂直3综合问题如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点(1)求证：acsd；(2)若sd平面pac，求二面角pacd的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱sc上是否存在一点e，使得be平面pac？若存在，求seec的值；若不存在，试说明理由思路分析：(1)要证acsd，可先证明ac平面sbd.(2)要求二面角pacd的大小，可先找出二面角的平面角，再进行计算(3)是一探索性问题，可先假设存在点e，再根据线面、面面的平行关系进行推理论证(1)证明：连接bd，设ac交bd于o，连接so.由题意知soac.在正方形abcd中，acbd，所以ac平面sbd，得acsd.(2)解：设正方形边长为a，则sd=a，又od=a，所以sdo=60.连接op，由(1)知ac平面sbd，所以acop，且acod，所以pod是二面角pacd的平面角由sd平面pac，知sdop，所以pod=30，即二面角pacd的大小为30.(3)解：在棱sc上存在一点e，使be平面pac.由(2)可得pd=a，故可在sp上取一点n，使pn=pd.过n作pc的平行线与sc的交点即为e.连接bn，在bdn中，知bnpo.又由于nepc，故平面ben平面pac，这得be平面pac.由于snnp21，故seec21.如图，在六面体abcdefg中，平面abc平面defg，ad平面defg，abac，ed dg，efdg，且abaddedg2，acef1.(1)求证：bf平面acgd；(2)求二面角aegd的正切值(1)证明：设dg的中点为m，连接am，fm，则由已知条件易证四边形defm是平行四边形，mfde，且mfde.平面abc平面defg，平面abed分别交平面abc，平面defg于ab，de，abde，又abde，mfab，且mfab，四边形abfm是平行四边形，即bfam.又bf平面acgd，am平面acgd，故bf平面acgd.(2)解：连接ae，ag，eg，ad平面defg，addg，adde.adeddg，aeag.取eg的中点h，连接ah，dh，有aheg，dheg，则ahd是二面角aegd的平面角在rtadh中，由addedg2，得dh.tanahd，故二面角aegd的正切值为.1.二面角的平面角的作法(1)垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角；(2)垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；2根据线线、线面、面面之间的垂直关系探讨点的位置，解题的思路是从特殊位置入手，一般是中点或线段的端点处另外，对于解答题，在解答后面小题时可注意应用前面小题的结论1给出下列四个命题：若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线其中正确的命题共有()a1个 b2个c3个 d4个解析：中两条直线若不相交，则直线与平面不一定垂直；错误；由线面垂直的定义知正确；由于梯形的两腰所在直线是相交的，故正确；若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则该直线与梯形所在平面不一定垂直，从而不一定垂直于两腰所在直线，错误答案：b2经过平面外两点作与此平面垂直的平面，则这样的平面()a只能作一个 b只能作两个c可以作无数个 d可作一个或无数个解析：当两点所在直线垂直于平面时，可作无数个；否则，有且仅有1个答案：d3如图，已知pa垂直于abc所在平面，且abc90，连接pb，pc，则图形中互相垂直的平面有()a一对 b两对 c三对 d四对解析：平面pab平面abc；平面pac平面abc；平面pab平面pbc.答案：c4如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，点e在线段ad